二进制和易卦的结构及排序

对易卦结构和排序的解析，我们所用的方法，到现在为止，是建立在二进制数值方法的基础上。前面各讲尤其是本讲对四种编号排序的比较，充分显示出邵雍的“加一倍法”和二进制算法的联系是极为紧密的。一个问题，长久以来引人注目，然而始终未能获得确证的，是易学的演进与二进制的制定有着怎样的关系。

如所周知，二进制的运算法则是由德意志著名学者、大数学家莱布尼茨首创的^[9]。他的这项贡献在十七、八世纪由于技术条件限制，并没如他与牛顿分别独自研发的微积分那样应用广泛，而是两百余年后才显露其伟大的意义。莱布尼茨的二进制，同布尔代数、香农的逻辑电路和信息理论以及冯·诺依曼的计算机范式一起，被公认为是数值计算机理论和技术的最重要的源头之一。

本书演示了易卦的构成、配对、以及排序（小循环和大循环）都可以通过二进制数值方法来得到。然而，我们的先祖在创建《易经》的符号体系的过程里，有没有意识到过二进制方法这个课题，可以继续讨论，并从史迹的发掘获得实据，逐步证实或证伪。至少，邵雍的“加一倍法”以及他手定的“伏羲六十四卦圆方图”和二进制方法高度契合，有异曲同工之妙，则是无可置疑的。事实上，两种方法的紧密契合，早经莱布尼茨本人指明。

莱布尼茨制定二进制算术的努力开始于1670年代，论文正式发表则是二十多年以后的事了，而且终其一生在不断推进不断改善。莱布尼茨和白晋^[10]在《易经》探索上有过长期的交流（1697—1707）。他们之间有许多书信往返，现在保存在德国的图书馆（图林根的图书馆和汉诺威的莱氏文献馆）里的有七封。莱布尼茨高度兴趣地研读了白晋给他的两幅《易经》的先天图（是由邵雍首次披露、托名伏羲的《伏羲六十四卦次序图》和《伏羲六十四卦方位图》），从而给出了所有六十四个易卦的二进制编号。（图23.9）

图23.9

这是莱布尼茨于1703年见到的邵雍的“伏羲先天圆图”和“伏羲先天方图”，由耶稣会士白晋随信寄给他的。白晋1688年进入中国传教，并成为康熙皇帝的科学老师和顾问，是沟通康熙和路易十四的使节。该信1701年11月4日写于北京，直到1703年4月1日才被莱布尼茨读到。阅函后莱氏大喜过望，因为易卦结构明显地展现出其蕴涵的数理与自己钻研了二十余年的二进制算法是如出一辙。莱布尼茨于次日立即回复，详细记录了白晋有关这两个系统具有同一性的发见，并写下自己的一些思考。

我们先前展示的是该图的现代版。请注意图中的唯一的几个数字：在方图的主轴线上的乾一、兑二、离三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。

莱布尼茨把坤卦（000000）定为0，乾卦（111111）定为63。其他如，否卦（111000）定为7，既济（010101）定为42，夬卦（011111）定为62……同邵雍排序的编号是完全一致的。显然，莱布尼茨勘破了邵雍的思路，是以阴爻为0、阳爻为1，自上而下来进行加倍的计算的。

但是，这样的计算法只限于对易卦的诠释，与通常的二进制是颠倒着的。将之顺过来，否卦的排序编号应当是56，既济卦的排序编号应当是21，而夬卦的应当是32。相应地，泰卦（000111）的编号才是7；未济卦（101010）的编号才是42；而姤卦（111110）的编号才为32……正是我们所说的数值编号排序。（请见图23.1—23.4，特别是图23.4的排列。）

莱布尼茨对三爻的八卦也做了编号，得到排序为天7、泽6、火5、雷4、风3、水2、山1、地0。在下图23.10（即图23.1a的横排）可以看到很明白。设若莱布尼茨以阴爻为1、阳爻为0来计算的话，反映在B2的排序，就与邵雍图里的数字乾一、兑二、离三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八，几乎等同。

图23.10

邵雍的八卦序何以是逆向的，似乎涵盖着他的著名论断，“是故，易逆数也”的精义。也有可能，是八卦周流不居，从小到大还是从大到小（方图的列自右至左还是自左至右）关系并不大，只要彼此相对的位置是确定的就行。但须注意的，它们和数值排序的相对位置是不一致的：山1、风3、雷4、泽6转换成了山4、风6、雷1、泽3。从下往上看是山1，若从上往下看就是雷1，从下往上看的风6，从上往下看就是泽6。第十七讲里我们曾有讲解，图17.3c的八卦环图，由内朝外看卦象时是邵雍排序；从外向内来看卦象的话，不就是数值排序了吗？（请参看第十七讲里面的图17.5及脚注）

从上文的推理得知，我们可以把第三讲里的图3.1画成下图23.11。对照自上而下的邵雍八卦序和自下而上的数值方法排成的八卦序，将更容易领会。更进一步，以二进制数值法处理，成了图23.12，其间的脉络和逻辑内涵表达就更为清晰了：八卦序应当是二进制数值法的“数值排序”。

图23.11

图23.12

图23.12里像似有两棵家族树：从根向上长到枝干最后长成叶的是“邵雍排序”，从根向下长到枝干最后长成叶的是“数值排序”。两棵“树”都展现出易经的基础原理，“有生于无——无极而太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦相错相荡，从而化生出万物万象”。我们已经反复证明了，数值排序优于邵雍排序，诠释和证伪的能力也更强。

在邵雍的伏羲先天图的启发下，莱布尼茨从易卦的卦象得出了二进制编号，为之很是惊喜，在致白晋的信中他写道，“我发现二进制算法还是二十年前。到了今天我才发现……中国人在四千年前，已经了解到0与1的二元数学了。”莱布尼茨的论文发表于1703年，那篇里划时代的论文的题目，译完整了，是“二进制算术的解释——只用0—1符号，兼及它的一些应用，以及对古代中国伏羲图像的破解”^[11]。足见在二进制的思考过程中，莱布尼茨和邵雍的象数和图的确是息息相通的。

至于他对易学的赞语有没有“溢美”的成分？作者不得不说应该是有的，理由的关键是我们的祖先还没有符号0，这个至关重要的数—位表达。^[12]

【注释】

[1]“康节之学，虽作用不同，而其实伏羲所画之卦也，明道所谓加一倍法也。”——蔡元定

[2]“大衍之数，其算法之原乎！是以算数之起，不过乎方圆曲直也。乘数，生数也；除数，消数也。算法虽多，不出乎此矣。”——邵雍《皇极经世书·观物外篇上》。
《洪范》“五行”数，自一至五。先儒谓之此“五行生数”，各益以土数，以为“成数”。以谓五行非土不成，故水生一而成六，火生二而成七，木生三而成八，金生四而成九，土生五而成十，合之为五十有五，唯《黄帝素问》：“土生数五，成数亦五。”盖水、火、木、金皆待土而成，土更无所待，故止一五而已。画而为图，其理可见。为之图者，设木于东，设金于西，火居南，水居北，土居中央。四方自为生数，各并中央之土，以为成数。土自居其位，更无所并，自然止有五数，盖土不须更待土而成也。合五行之数为五十，则大衍之数也。此亦有理。揲蓍之法：四十九蓍，聚之则一。而四十九隐于一中；散之则四十九，而一隐于四十九中。一者，道也。谓之无，则一在；谓之有，则不可取。四十九者，用也。静则归于一，动则惟睹其用，一在其间而不可取。此所谓“大衍之数五十，其用四十有九。”——沈括（《梦溪笔谈》卷七象数一）

[3]《易传·系辞》“大衍之数五十”章：“大衍之数五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四以象四时，归奇于扐以象闰，五岁再闰，故再扐而后挂。天数五，地数五，五位相得而各有合。天数二十有五，地数三十。凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。乾之策二百一十有六，坤之策百四十有四，凡三百有六十，当期之日。二篇之策万有一千五百二十，当万物之数也。是故四营而成易，十有八变而成卦，八卦而小成，引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣”。

[4]诸多占卦预测的方法里，大衍筮法始终占据着主导地位。《左传》、《国语》中记载的二十多则先秦筮案均为大衍筮案。后世以预测精确著称的官辂、郭璞等高人所用的无不是大衍筮法，北宋的陈抟和邵雍用的也都是大衍筮法。近代如易学大家尚秉和先生的《筮案辑存》，数十则案例无一不是大衍筮案。

[5]朱熹曰，“六爻不动，占本卦彖辞。”
他又认为，“有天地自然之易，有伏羲之易，有文王、周公之易，有孔子之易。自伏羲以上皆无文字，只有图书最宜深玩。可见作易本原精微之意。文王以下，方有文字，即今之《周易》。然读者亦宜各就本文消息，不可便以孔子之说为文王之说也。”（《周易本义·卷首》），而弄明白“伏羲卦象”要比读懂《周易》通行文本重要。他说：“必欲知圣人作易之本，则当考伏羲之画；若只欲知今易书文义，则但求之文王之经、孔子之传足矣。两者初不相妨，而亦不可以相杂。”（《周易本义》卷二十三）

[6]大衍筮法是用49根蓍草，因此变化非常丰富奇谲。设若“取其二策，反于柜中”，“但用四十八蓍”——用的是48根蓍草的话，变化就要简单得多，那种情况下6、7、8、9四个数的概率才是1:3:3:1。

[7]大衍之数何以是五十，它是不是一种进位制（base-50），还一直没有定论。或许是两手十指和一手五指之乘积，便于“手算”？不过有“小衍之数”为五的说法，洛书数之和为四十五、河图数之和为五十五，洛书加一“小衍之数”，河图减一“小衍之数”，恰好是“大衍之数”。例如，邵雍就认为，“五十者，蓍数也。六十者，卦数也。五者，蓍之小衍也。故五十为大衍也。八者，卦之小成，则六十四为大成也。”（《皇极经世书·观物外篇上》）

[8]“揲其全策为十二者四，除卦一，数止四十八。以八卦六爻当之，以每位八卦配之，皆四十八。则蓍之用适与卦合，总为十二而四因之耳。”（《皇极经世书·观物外篇上》）

[9]莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716），德意志的大哲学家、大数学家，历史上少见的通才，曾被誉为十七世纪的亚里士多德。他和牛顿各自独立地创建了微积分学。其著作多以拉丁文和法文写成。据说莱布尼茨是在意大利游历时，遇到了在中国传教返回的耶稣会士（白晋），自此对中国事物发生兴趣。白晋是当时有数的汉学大师，他向莱布尼茨介绍了《周易》和八卦的系统。莱布尼茨认为阴、阳基本上就是他终身在探究的二进制的汉文明版本，并尝试用二进制替八卦排序和认定六十四个易卦。

[10]白晋（Joachim Bouvet，1656—1730），又名白进，生于法国勒芒市。1678年入耶稣会学校就读，接受了神学、语言学、哲学、自然科学等的全面教育，对数学和物理学尤其兴趣浓厚。1687年被路易十四选派第一批六名来华耶稣会士之一，于1688年抵达北京。他们向清廷进献了许多科学仪器和图籍。有系统地向康熙皇帝讲授过几何学和算术（1690），其满文讲稿整理成册并译成汉文，由康熙亲自审定作序（满文本《几何原本》）为故宫博物院所藏，汉文本则收入了《数理精蕴》。作为亲善大使，白晋直接沟通路易十四和康熙两位君主，并深受器重。他得以同康熙频繁切磋，并将他的切近观察写成《康熙大帝传》，对欧洲了解中华产生了影响。
白晋对中国的贡献有多种，其中之一是传教士受康熙委任，全疆域地勘测地理。白晋参与测量绘制并总成的《皇舆全览图》，历时九年，经康熙审定后于1718年颁行天下。
雍正八年白晋卒于北京（1730，享年74岁），遗体安葬在正福寺墓地。
来自法国的耶稣会士着力向西方传播中国的文化经典，白晋在推介《易经》上贡献尤为突出。白晋曾在巴黎以《易经》为题目作了报告（1697），在演讲中他把《易经》看做可以同柏拉图、亚里士多德齐驾并驱的合理、完美的哲学体系。他和莱布尼茨的通信往返研讨，对二进制算法的开创有里程碑式的贡献。

[11]The full title of Leibniz’s article（1703）is translated into English as the“Explanation of the Binary Arithmetic，which uses only the characters 1and 0，with some remarks on its usefulness，and on the light it throws on the ancient Chinese f gures of Fu Xi（伏羲）”.Leibniz’s system uses 0 and 1，like the modern binary numeral system.

[12]在计数和计算上，0作为 binary number、binary coding、positional notation，数—位的功能是不同的。
古印度—阿拉伯符号0的出现、发展、完善是一个东方的理念，它在西方传播和应用的过程相当艰难曲折，本身就是一段极富教益的有趣历史。
古希腊文明成就辉煌，彼等擅长逻辑分析，凡事要求奠定在数理的基础上。但是，古希腊、罗马的计数系统却非常累赘，他们不允许“无”、“空”等概念出现，甚至断定这些想法从根本上就属于邪恶，成了束缚的一个大罩门。由于没有0及其表达，他们的十进位制是残缺的。因此，古希腊罗马的计数系统严重阻碍了他们以及传承他们的欧陆各邦国的计算功能和科技发展，直至13世纪初叶。
0没在希腊罗马出现非但不是偶然，甚至可说是注定的。由于对0的拒斥，认其为“邪恶”，古希腊人采用了类似古埃及的数字系统，而不是采用更为先进的古巴比伦的数字系统。同时，古希腊罗马人对“无限”、“极限”的理解也非常之狭隘。
毕德哥拉斯被广泛奉为“数圣”，可是他及其门徒学派对“无”（nothingness）和“无限”（infinity）的断然排斥，画地自牢，从今天回看简直可以说是不可思议。毕德哥拉斯把他的前提假设看做是完美的公理系统，譬如他偏好比例，认为所有的数都必须能表示为两个整数之比，否则就是“无理”的。毕氏门派的森严偏执严重束缚了后代，例如亚里士多德等贤哲的学说。坏影响所及，到了12世纪，欧洲的数学已被阿拉伯人大大超越。阿拉伯学者得益于从古印度引进0的符号和算法，有力地开拓了代数学和推进了天文学测算。
斐波纳契（Leonardo Fibonacci，1170—1250）出生于比萨，跟随父亲到北非的商港学生意的年间，认知并学习了摩尔人的算术，回到意大利后撰写并出版了《算经》（Liber Abaci，1202）。在这本具有里程碑历史意义的书里，斐波纳契向欧洲正式引进了0这个阿拉伯符号，并做了各种演算来解答当时的许多应用难题，其中包括阐发了围绕“黄金分割比”（Golden Ratio of 1.618或0.618）而展开的斐波那契数列，是启动文艺复兴的伟大思潮的几个得到公认的主要源头之一。
0——零的阿拉伯符号，不只是极大地便利了计算应用，而且对人类如何洞察和认知万事万象，以及人际的互动合作有极大的促进。例如，0对西方的审美观的影响——形象艺术从一个原点出发做焦点透视的原理，就是斐波那契引进0后影响所及的一个“副产品”。当然，0作为原点和无限，推动人类文明认知宇宙，对天体运行的考察，开启了近代科学技术的突飞猛进的先河，意义就更大了。
0代表着“无”（nothingness），0的倒数是“无限”（infinity），任何数是乘以0为“无”，除以0为“无限”，已普遍接受为常识性的公理。但在中世纪之前的古希腊罗马、犹太—基督教文明，0却被认定是“邪恶的异端”，引进和接受0，因此经历了沉沦千年的无谓挣扎和磨难。不过，对于汉文明，“无”（虚无、无极、太极），与其对立的“无限”（恒常、周流不息的“变”）却是古已有之，体现为阴阳二元对立，永恒同在、相反相成的“道”，是华夏文明固有的价值判断。0的采纳，对于中国人及其周边的族群，因而是水到渠成之事。我们可以进一步申论，二元对立、矛盾进展的辩证逻辑的胚芽，早已蕴含在华夏先祖的智慧中了。
本书的讨论，0不但用在易卦的排序，也是其框架的一个组成元素。