一个五维世界

对我很大的东西，对你很小。

如果这是我做的最后一件事，我就要让你知道。

苏珊·薇格（Suzanne Vega）

一个有关五维世界的梦

阿西娜突然惊醒了。最近她总是重复做着同一个梦，这次的梦又是从她进入兔子洞开始的。在她的梦境里，当兔子宣布“下一站，二维世界”时，阿西娜根本不想理会，就等她念到自己中意的站点。

在3个空间维度的那一站，兔子宣布：“如果你住在这里，现在就到家了。”可无论阿西娜怎么恳求，说自己真的住在这里，而且非常想回家，他就是不肯打开门。

在下一站，穿统一制服的六维居民想要进来，可一看到他们一个个庞大的腰身，兔子立即关上了电梯门，说电梯里装不下他们，要上来只能给他们强行瘦身。[64]听到兔子的恫吓，他们赶忙转身离开了。

电梯继续着它的奇异旅程。当它再次停下的时候，兔子宣布：“弯曲几何——一个五维世界。”[65]他温和地将阿西娜推向门边，告诉她：“进入哈哈镜里，它会把你带回家的。”因为兔子曾提到过第五维度，阿西娜觉得这极有可能。而她也别无选择，只能硬着头皮进入，但愿兔子没有捉弄她，说的都是真话。

当你学习一种语言时，会记住哪些词汇要看你最感兴趣和最需要的是什么。例如，我在意大利骑自行车旅行时，学到了各种各样水的表述方法——自来水、瓶装水、汽水、纯净水，等等。同样地，当一位物理学家看到一些新的物理景象时，每个人都有他自己的视点和想法，他可能注意到一个系统的某些特定方面，或发现某些已知现象的不同含义，即便面对的是同样的语言或情景，每个人听到的都是不同的东西。仔细倾听，异常重要。

我和拉曼都对等级问题思考了很多年，但开始合作时，我们并没有想到寻找解决等级问题的更新、更好的办法。如我在第17章里所说，我们在致力于一个隔离的超对称破缺模型的研究。在这一研究过程中，我们不期然地发现：在两个膜之间束缚着一个神奇的弯曲时空几何。

因为我和拉曼的焦点都聚集在粒子物理和引力的微弱上，所以我们很快认识到弯曲几何的潜在意义：如果把粒子物理学的标准模型置于这样的时空中，等级问题便迎刃而解。我不知道我们是否是第一个研究爱因斯坦的这组特殊方程的人，但我们肯定是最先认识到这一惊人含义的。

后面的几章我就将解释弯曲时空以及其他几种引人注目的可能，并说明其结果为什么有时会违背我们的预期。本章集中探讨一个弯曲的五维世界，它将帮助解释粒子物理学里极其重要的质量差异。尽管在四维量子场论里，人们预期粒子的质量大致相同，但在弯曲的高维几何里，情况并不如此。弯曲几何给出了一个框架，其中悬殊巨大的质量会自然而然地出现，量子效应也在掌控之内。在本章描述的这一特定几何里，我们会看到以下现象。

两个平坦的边界膜之间时空严重弯曲，粒子物理学的等级问题被自然而然地消除——根本不需要大的维度，也不需要任何一个庞大的参数。在这一图景里，一个膜经受强大的引力，而另一个膜不经受。时空在第五维度的方向上急剧变化，从而成功地将与两膜间隔相关联的小数转化为与引力的相对强度相关联的大数（约1亿亿）。

首先，我们将以引力子的概率函数来解释在第二个膜上引力的微弱，这一函数决定了引力子在第五维度上任一位置的相互作用。但我们也会以另一种不同的方式来解释引力的微弱，其基础是弯曲几何本身，而不是引力子相互作用的强度。我们会看到，弯曲几何的一个神奇结果就是，在第五维度上大小、质量甚至是时间都要取决于位置。在这个有两个膜的结构里，时间和空间的弯曲就像是在黑洞视界附近的时间弯曲，但在这一情境里，空间是膨胀的，时间被拉长，在其中一个膜上粒子有很小的质量——这样等级问题就自动消除了。

在讨论过弯曲几何及其对等级问题的意义后，本章最后，我们将探讨这一理论对未来实验的特殊意义，它最令人兴奋的一个方面是：与上一章的大额外维度一样，如果该理论正确，不久它就将在粒子加速器里留下可观察的结果。事实上，我们会看到，它们的印记甚至比我们曾探讨过的能量流失的印记还要显著。引力子的KK伙伴虽然来自高维空间，却是很容易辨认的可见粒子，它将衰变成我们四维空间膜的熟悉粒子。

令人惊讶的弯曲几何

在本章中，我们将探讨的空间几何包含两个膜（见图20-1），它们是第五维度的边界，这一构成与我们在第17章中探讨过的构成类似：都有两个膜，而两个膜之间延伸着第五维度。然而，这是一个全新的理论，粒子和能量的分布都不相同，而且理论中也没有超对称。可是，与那个理论一样，我们都认为标准模型的所有粒子以及引起弱电对称破缺的希格斯粒子，都被限制于其中一个膜上。

图20-1　有两个膜的五维弯曲几何。宇宙有5个时空维度，而标准模型只居住于四维的膜上（弱力膜）。在这一构成中，时空维度的总数也是5个，而空间维度是4个，其中三维在膜上延伸，而另一维延伸于两膜之间。

如前所述，在这一情景里，我们假设引力是存在于第五维度中唯一的力，这就意味着，如果不是引力，每个膜都将与传统的四维宇宙一样。

被限制于膜上的规范玻色子和粒子会传递力并互相作用，就像第五维度根本不存在一样；标准模型粒子只在有三个平坦维度的膜上穿行，力也只沿着膜的三维平坦表面发散。

然而，引力却不同，因为它没有被限制在膜上，而是存在于整个体空间里。所以在第五维度上，我们处处都能感受到引力，但这并不意味着我们感受到的引力处处都相同。在膜上和在整个五维体空间里的能量会使时空产生弯曲，这就使得引力场产生了巨大的差异。

上一章的大额外维度利用了膜能束缚粒子和力的事实，却忽略了膜本身所承载的能量。我和拉曼并不确信这个假设一定就好，因为爱因斯坦广义相对论的一个核心要素是：能量导致了引力场。这就意味着当膜承载能量时，它们能弯曲空间和时间。我们意图探讨的是只有一个额外维度的宇宙，在这样一个宇宙里，没有任何证据显示膜和体能量可以忽略不计：膜的引力效应不会那么快就消散，因此即使在远离膜的地方，我们仍可以想象时空会有弯曲。

我们想知道，当两个高能量的膜束缚着额外维度空间时，时空将产生怎样的弯曲。我和拉曼解开了这一两膜结构的爱因斯坦引力方程，并假设在空间和膜上都存在能量，我们发现这种能量真的非常重要——它们导致时空产生了极大的弯曲。

在有些情况下，弯曲空间很容易描画，例如一个球体的表面是两维的——你只需知道经度和维度就可以确定你的位置，但它显然是弯曲的。但是，许多弯曲空间因为在三维空间不容易表现，所以很难勾画。现在我们要探讨的这一弯曲时空就是这样，它是叫作反德西特空间（anti de Sitter space的一个时空组成部分，反德西特空间有负曲率，不像球而更像品客薯片。其名称源于荷兰数学家、宇宙学家威廉·德·西特尔（Willem de Sitter），他研究的是一种正曲率空间，叫作德西特空间（de Sitter space）。尽管现在我们不需要这一名称，但后面当我们将这一理论与弦理论学家一直研究的反德西特空间理论联系起来时，将会涉及它。

在探讨五维时空弯曲的有趣方式之前，我们先看看第五维度两端的两个膜，这两个边界膜是完全平坦的。如果你在其中一个膜上，那么你会困在一个三维加一维的世界里（三维空间，一维时间），[66]这一世界在三个空间维度里无限延伸，俨然是平坦的时空，没有任何特别的引力效应。

而且，弯曲时空有一个奇异的特点：如果你把自己限制在沿着第五维度的任一薄片上，而不仅仅是两端的膜上，你都会发现这个薄片是完全平坦的。也就是说，尽管在第五维度上，除了两个边界外并非处处都有膜，但如果把自己限于五维空间的任一点上，你由此得到的三维加一维的几何表面看上去都是平的，它与边界的两个大的平坦膜有着相同的形状。如果你把边界膜看作一个长面包两头的外壳，那么在时空第五维度任一点上平坦、平行的四维区域就像从面包里取出的任一平坦的切片。

但不管怎么说，我们探讨的五维时空是弯曲的，四维平坦时空的切片沿着第五维度粘连在一起的方式就可以反映出这一弯曲。我第一次谈起这种几何是在圣塔芭芭拉的卡夫里理论物理研究所。在那里，弦理论学家汤姆·班克斯（Tom Banks）告诉我，从专业角度来看，我和拉曼发现的五维几何是弯曲的。尽管有许多弯曲时空在日常口语中都被说成是弯曲的，但专业术语所指的几何是其中的每一切片都是平坦的，[67]它们会被一个整体弯曲系数连在一起。弯曲系数是改变整体标度的函数，它随着在第五维度上不同点的位置、时间、质量和能量而不同。弯曲几何的这一神奇特征非常微妙，下一节里我将进一步解释。弯曲系数还反映在引力子的概率函数和相互作用上，我们也将很快进行探讨。

图20-2画的是一个有着平坦切片的弯曲空间。这是一个实心漏斗，我们可以用刀将漏斗切成平整的薄片，但漏斗表面明显是弯曲的。在某些方面，这就像是我们正探讨的五维时空，但这种比喻并不十分恰当，因为在漏斗里，唯一弯曲的地方是漏斗的边界，即它的表面，而在弯曲时空里，处处都存在着弯曲。这种弯曲可以通过在整体上重新标度空间标尺和时钟速度来刻画，它们在第五维度的每一点都是不同的。

图20-2　一个实心漏斗是由许多平坦切片粘连在一起形成的。

说明弯曲时空曲率的一个更为简单的方法是通过引力子概率函数的形状。引力子是传递引力的粒子，它的概率函数说明在空间某个特定位置找到引力子的概率。引力强度也反映在函数中：它的值越大，引力子在那一点的相互作用越强，引力强度就越大。

对平坦时空而言，引力子出现在各处的概率都一样，因此，平坦时空的引力子概率函数是恒定的；但对弯曲时空，正如在我们所考虑的弯曲几何中一样，情况不再如此，弯曲给我们揭示了引力的形状，当时空产生弯曲时，在时空的不同位置上，引力子概率函数的值是不一样的。

因为在我们的弯曲几何中，时空的每个切片都是完全平坦的，在沿着三个常见的空间维度上，引力子的概率函数没有变化——它只在第五维度上发生改变。[68]换句话说，即使引力子在第五维度上每个点的概率函数值不同，但只要两点到第五维度的距离相同，它们的值就是相同的。这告诉我们，引力子的概率函数只取决于在第五维度上的位置，但它能完全代表时空弯曲的特征。因为这个函数只随一个坐标的改变而改变，即第五维度坐标，因此很容易描绘。

沿着第五维度，引力子的概率函数如图20-3所示，我们称第一个膜为引力膜，第二个膜为弱力膜。离开第一个膜向第二个膜靠近时，概率函数陡然下降。引力膜与弱力膜不同，前者携带正能量，而后者携带负能量，这种能量分布使得引力子在引力膜附近的概率函数要大许多。

图20-3　引力子概率函数。在远离引力膜靠近弱力膜的过程中，引力子的概率函数呈指数级陡然下降。

概率函数陡降的结果是，在弱力膜附近很难发现引力子，而引力作用正是通过这种粒子的交换才产生的。因此，引力子的相互作用在弱力膜上受到了高度抑制。

引力的强度如此强烈地依赖于第五维度上的位置，以至于在界定弯曲的五维世界两个端点的膜上所经受的引力强度有着异常大的差距。引力在它定域的第一个膜上强，而在标准模型所在的第二个膜上弱。因为引力子的概率函数在第二个膜上小得可以忽略，因此引力子与被困于这个膜上的标准模型粒子的相互作用也极其微弱。

这告诉我们，有希望在这一弯曲时空中发现可观测质量与普朗克级质量之间的等级差异。虽然引力子无处不在，但它与引力膜上粒子的相互作用远强于与弱力膜上粒子的相互作用。引力子并不总是在那里逗留。引力子在弱力膜上的概率函数极其微小，如果这一图景与真实世界相符，那么这个微小的值就决定了我们所处世界中引力的微弱。

在这个模型里，弱力膜上微弱的引力并不要求两膜之间有巨大的距离。一旦离开引力子概率函数高度集中的引力膜，引力就会呈指数级衰减，从而使弱力膜上的引力变得微弱。因为引力子概率函数陡然下降，引力在弱力膜上（我们居住的地方）被高度抑制。即便两个膜相隔非常近，它也会比没有弯曲时的强度弱1亿亿倍。

理论的这一方面，即两个膜并不需要相隔很远，使得这一模型远比大额外维度要更为现实。尽管大额外维度是对等级问题的诱人诠释，但直到最后，它还留有一个没有解释的庞大数字——额外维度的大小。在我们现在讲述的理论里，即便弱力膜与第一个膜（引力膜）只相隔很短的距离，弱力膜上的引力仍比其他的力要弱多个数量级。

在这一弯曲几何里，两膜之间的距离只需比普朗克长度稍大一点。大维度图景需要引进一个庞大的数字，即维度的大小，而在弯曲几何中，无须一个特别设计的庞大数字来解释等级。这是因为指数会自动地把一个适中的数转化成一个极为庞大的数（指数）或一个极小的数（指数倒数）。

在弱力膜上，引力强度非常微小，它的强度随两膜之间的距离而呈指数级衰减。[69]不同质量间的比值约为1016（1亿亿），如果弱力膜在引力膜外16个单位距离处，[70]就可以预见普朗克级质量（这一庞大的质量告诉我们引力很微弱）与希格斯粒子（弱力规范玻色子）质量的庞大比值。这意味着两个膜之间的距离只要比最直观的猜想再大16倍，就足以解释等级问题。16个数量级听起来很大，但比起我们试图解释的1亿亿，已经小多了。

多年来，粒子物理学家一直希望为等级问题找到一个指数级的解释，也就是说，我们希望把以前不能解释的庞大数字解释为一个自然发生的指数级函数的结果。现在，通过引入额外维度，我和拉曼发现了一种使粒子物理学能自动兼容一个指数级质量等级的方法。在我们的膜上，即弱力膜上，引力的相互作用比其在引力子概率函数的高峰值上要低许多。因为在我们的膜上引力被弯曲几何所削弱，如果标准模型被局限在弱力膜上，等级问题便解决了。这就是等级问题的解决方案，这一结果正符合我们的期望。

还有一种方法可以用来理解弯曲几何这一令人瞩目的新特征，我们来看看引力是怎样被削弱的。在第19章中，我们以引力线的方式解释了ADD图景里引力的微弱问题：从一个有质量物体放射出的引力线，由于在整个大的维度里发散而被削弱。根据我和拉曼的观点，这种削弱还可以解释为引力子概率函数的结果。

这一概率函数告诉我们引力在空间中是如何发散的。在大额外维度的图景中，引力在额外维度里的每个地方都同样强大，在这种情况下，引力子概率函数就是平坦的。这一平坦的概率函数告诉我们，引力子——传递引力的粒子，遍布于由额外维度包围的庞大区域中，而这个在整个额外维度空间均衡分布的平坦概率函数表明，引力的作用在四维里被大大削弱了。

在我们现在考虑的弯曲的五维时空里，有一种有趣的弯曲：引力子在引力膜和弱力膜两个边界之间的五维空间出现的概率不再处处相同。作为膜所承载的能量和空间能量的自然结果，引力子的分布事实上根本不均等。引力子的概率函数会有所变化：它在一个区域很大，而在其他所有区域都很小。正是这种变化提供了一个分散系数，使得引力在我们的世界里这么微弱。引力在弱力膜上非常微弱是因为引力子在那里的概率函数极小。

现在，我们再回到早先用来解释引力强度随距离减弱的洒水装置的例子。洒水装置喷洒的区域越大（见图20-4中上图所示），水分散得越广。当额外维度很大时，引力在一个大区域里也会被削弱。因此，在一个低质量的四维有效理论里，引力看起来就很微弱。

而弯曲几何与第三个洒水装置类似，它并不是将水均演示地洒向所有方向，而是偏向某个特定区域，即靠近引力膜的区域（见图20-4）。有了这样一个不公正的洒水装置，很显然，除了受偏袒的区域外，其他各处得到的水会更少。如果由受偏袒地方到其他地方所得到的水量呈指数级地下降，那么其他地方的水的比例就很小了，即使它们离水源并不远。显然，由“弯曲的”洒水装置提供的水量，比起向所有区域均衡分布的水量要减少得更快。

结果就是，如果所有标准模型粒子都局限在弱力膜上，那么引力就比其他3种力微弱很多，这也就解决了粒子物理学中的等级问题——即引力为什么比其他力微弱。微弱的引力是引力子概率函数在弱力膜上振幅很小的自然结果，即使弱力膜离引力膜只有相对较小的距离（大约比弦理论偏爱的普朗克长度大10倍）。

图20-4　三个不同的洒水装置。第一个与第二个相比，我们看到的水管越长，浇在一个特定区域内的水就越少。第三根水管显示，水的分布可以是不均衡的，这样，第一个花园总能得到一半的水量，而第二个花园得到1/4的水量，依此类推。在这种情况下，浇给第一个花园的水量与水管的长度无关，它总能得到一半的水量。

卷曲宇宙的伸缩

用概率函数的指数级陡降来解释等级问题，已足以让我们理解弯曲的时空。对微弱引力的直观解释是：在弱力膜上不太可能找到引力子。是否接受这个解释要由你自己决定，你也可以跳过这一节，但或许你愿意读下面这一更严格的解释，它进一步探讨了弯曲时空的神奇属性。

我们会在这一节看到：弱力膜上引力的微弱还可以解释为物体随我们从引力膜靠近弱力膜时逐渐变大、变轻的结果。如果阿西娜从引力膜向弱力膜移动（下一章的故事里，她会这么做），她会看到自己在引力膜上的影子越变越大。这个影子会长到非常大——它将增大16个数量级！

我们还会看到，在这个几何空间里，轻、重粒子可以和谐共存：如果在其中一个膜上有普朗克级质量的粒子，那么另一个膜上就只能有弱力级质量的粒子。因此，等级问题不复存在。

我们可以这样来理解它的运作机制：假设你与大多数人一样（至少是那些没读过此书的人），对第五维度一无所知——毕竟，它是看不见的，你泰然地相信自己居住于一个四维世界里，只知道四维引力，并且认为它是由一个寻常的四维引力子传递的。在描述我们所见现象的四维有效理论里只有一个引力，因此也就只有一种类型的四维引力子。所有粒子都会与这同一种引力子相互作用，但那个引力子并不包含粒子在原来的高维理论中位置的任何信息。

这种推理使它看起来就好像是，所有引力子的相互作用都应该是一样的，而不管一个物体来自第五维度的什么地方。毕竟，你并不知道这个物体来自第五维度，甚至根本不知道还有个第五维度。决定引力子作用强度的牛顿引力常数，也将是决定所有四维引力作用强度的唯一的量。但我们在上一节里看到，当你从引力膜向弱力膜移动时，引力作用会越来越弱，这就引出了一个问题：引力强度是怎么容纳物体在第五维度的位置信息的？

这一矛盾的解决方案取决于一个事实：引力与质量成正比。而在沿着第五维度的不同点上，质量可以且一定是不同的。要重现引力子作用在第五维度的切片上渐次减弱，唯一的办法是以不同的方式测量每个四维切片上的质量。

弯曲时空有许多引人瞩目的属性，其中一个是：当你从引力膜向弱力膜移动时，能量和动量会减小。减小的能量和动量（与量子力学和狭义相对论一致）告诉我们，距离和时间一定会膨胀（见图20-5）。在我所描述的这一几何里，大小、时间、质量和能量都依赖于位置。四维世界的大小和质量所承继的值要依赖于它们在五维世界的起始位置。物理现实看起来是四维的，但测量长度的标尺或测量质量的标度，都取决于五维的起始位置。引力膜或弱力膜上的居民看到的都是四维世界，但他们会测得不同的大小，并预期不同的质量。

在原来的五维理论里，远离引力膜的粒子的引力作用在四维有效理论里较小，因为其质量本身很小——在第五维度的每一位置上，质量和能量都会被重新标度，这取决于与引力子概率函数在那一点的振幅成比例的量。而用以重新标度能量的量，即弯曲系数，随距引力膜变远而减小。事实上，它的图形与引力子概率函数的形状完全一样。因此，在沿着第五维度的每个点上，质量和能量会以不同的系数缩减——弯曲系数决定其将缩减多少。

图20-5　随着从引力膜向弱力膜的移动，尺度会增大（而质量和能量则会减小）。

这种重新标度看似随意，实际并非如此，让我们来看一个类似的情景。假设我们要以火车行驶160公里需耗时多久来计量时间，我将这种时间单位称作TT（火车时间）。这是一种很好的时间计量方式，只是时间的确定要看你是在哪里乘火车旅行：火车行驶速度是快还是慢？例如，假设一部电影要放映两个小时，如果在美国一列火车行驶160公里要花费1个小时，那么一个美国观众看完整部电影，火车就要行驶320公里，我们就可说这部电影持续的时间长度是2TT；而在法国乘TGV旅行的观众则认为这部电影长度是6TT，因为法国的高速列车比美国火车要快3倍，法国观众要看完整部电影需列车行驶600公里的路程。

法国的列车20分钟能行驶100公里，而美国的列车要行驶同样的路程则需1个小时，因此，如果你想使美国和法国观众的时间单位相同，对电影的TT长度取得一致，那么你就需要按比例重新标度火车时间。要将法国时间换算成美国时间，你就需要将法国火车时间乘以系数3。

同样地，在弱力膜上（其引力子相互作用远小于引力膜），为了考虑引力的微弱，用以测度能量的标准单位必须重新标度。这种重新标度是通过一个巨大的量：1016，即1亿亿。它的含义是，虽然在引力膜上所有的基本质量都应是MPI（普朗克级质量），但在弱力膜上，它们大约只能是1 000 GeV，是其1/1016。处于弱力膜上的新粒子的质量可能会大一些，兴许是3 000或5 000 GeV，但它们不可能大太多，因为所有的质量都被极大程度上重新标度了。

当所有的质量都被提高至最大质量左右时，就出现了等级问题。如果那个质量是普朗克级质量，那么所有质量都应和这一质量一样大。由于这种重新标度，如果引力膜上所有东西的期望质量是普朗克级质量，那么在弱力膜上的预期质量则是小16个数量级的1 TeV。[71]这就意味着，希格斯粒子的质量根本不是问题：即便引力非常微弱，我们仍可以期待它的质量约为1 TeV——比普朗克级质量小1亿亿倍。这一解释的根本是重新标度解决了等级问题。

依此类推，在弱力膜上所有的新物质，包括弦在内，其质量大约都应该是1 TeV左右。这告诉我们，这一模型会产生戏剧化的实验结果。在弱力膜上，与弦相关的额外维度粒子要比它在引力膜上轻许多。从发现额外维度的角度来看，弱力膜呈现出了一个绝妙的图景，如果这一观点正确，那么来自额外维度的低质量粒子将触手可及——在弱力膜上会有大量的TeV质量的粒子。

弱力膜上的所有东西都应该比普朗克级质量轻1016倍。根据量子力学，质量越小意味着尺寸越大，在从引力膜走向弱力膜时，阿西娜的影子也会变大。这告诉我们，在弱力膜上，弦的大小也不会是10-33厘米，而是要大1016倍，即10-17厘米。

尽管我集中探讨的是一个有着特定弯曲系数的两个膜的情景，但我们考虑的特点很可能比这一特例更具一般性。通过额外维度，我们有很好的理由预期差异很大的质量。粒子物理学中关于质量都应相差无几的直觉意识被打破了，可以预想范围很大的质量。不同位置的粒子自然会有不同的质量，它们的影子会随你的四处游移而变化。在我们的四维世界里，其结果就是跨度很大的尺度和质量，这正是我们观察到的。

进一步发展

当我们以弯曲几何解释等级问题的论文在1999年发表时，大多数同行并没有意识到：这是一个与大维度观点完全不同的全新理论。乔·莱肯对我说：“反应是慢慢建立起来的。起初没有反应，但渐渐地，所有人都明白了这篇论文（还有另外一篇，我在第22章中会讲到）意义重大，包含全新的、原创的观点，且开辟了一个全新的观念领域。”

在我的论文发表后的几个月里，人们总是要我谈谈自己关于“大额外维度”的研究，我不得不一遍遍地纠正，说我们理论的精要恰恰在于维度不是大的！事实上，粒子物理学家马克·怀斯（Mark B.Wise）就曾嘲笑过我在2001年轻子光子会议闭幕式上的发言题目。那是一次重要的粒子物理学会议，会上，实验者们报告了他们重要的实验结果，大会组织者指派给我的题目涵盖了有关额外维度的所有研究，可就是不包括我自己的！

马克和他当时的学生沃尔特·戈德伯格（Walter Goldberger）是最早领会弯曲图景意义的两个人，但他们也发现，我和拉曼的研究结果中还留下了一个潜在的漏洞，需要得到补充。我们原以为膜动力学会自然地隔绝两个膜，但我们并没明确说明两个膜之间的距离是怎样被确定的。这不仅仅是一个细节问题，我们的理论要解决等级问题，就必须能够很容易地将两膜固定在一个小而有限的间隔上。结果，距离的反指数函数（我们希望它极度微小）而非距离自身很可能会成为一个适中的数。如果这样，弱力级质量与普朗克级质量之间预言的等级差别将会是一个适中的数，而不是（小得多的）这个数的指数倒数——这样我们的解决方案就失效了。

马克和戈德伯格做了重要的研究，弥补了我和拉曼理论的危险漏洞。他们证明：两膜之间的距离是一个适中的数，而这个距离的指数倒数极其微小。这正是我们的解决方案发挥作用所必需的。

他们的观点非常完美，而且最终证明比人们当时所认识到的更有效。结果是，之后所有的稳定模型都与他们的极为相似。

马克和戈德伯格提出，除了引力子之外，在五维体宇宙里还居住着一个大质量的粒子，他们假设这个粒子的属性就像弹簧一样。通常来说，弹簧有一个自然长度，变长或变短都会让其携带能量，使它运动。对他们引进的这个粒子（以及相应的场）而言，场和膜的平衡结构将包括一个适中的膜间距——这又是我们解决等级问题所要求的。

他们的方法依赖于两个相互竞争的效应，其中一种效应偏爱一个较大的膜间距，而另一种则偏爱较小的膜间距，不过结果是一个稳定的折中位置。两种相互抵制的效果结合起来自然地导致了一个两膜模型，在这个模型里，两个膜之间就有适当的距离。

马克和戈德伯格的论文让人们明确了有着弯曲空间的两膜图像确实是等级问题的解决方案。把两膜之间的距离固定下来之所以重要，还有另外一个原因：如果两膜之间的距离没有确定，随着宇宙演变过程中温度和能量的变化，两个膜可能靠近，也可能远离。如果膜间距会改变，或者说，如果五维宇宙的不同边界会以不同的速度膨胀，那么，宇宙的发展就不会是我们看到的四维世界应有的样子。因为天体物理学家已检验了宇宙发展后期的膨胀，我们最近已知道，宇宙膨胀就表现为它好像是四维的。

使用戈德伯格-怀斯的稳定机制，弯曲的五维宇宙就与宇宙学观察相吻合了。一旦两膜的相对距离固定下来，那么即便宇宙实际是五维的，其发展也会如四维一样。即使有第五维度，但稳定性对于沿着第五维的不同地方有着严格的限制，使它们必须以相同的方式发展演变，这样，宇宙的表现就像它在四维里一样。因为戈德伯格-怀斯的稳定机制可能出现得相对更早些，因此在大部分演变过程中，弯曲宇宙看起来就像是四维一样。

一旦人们领会了稳定性和宇宙学的意义，等级问题的弯曲几何解决方案便开始发挥功效。随后，相继涌现出了其他多种关于弯曲几何的有趣发展，其中一个就是力的统一。在我们探讨的弯曲几何里，所有的力，包括引力，在高能量上都可能统一起来。

弯曲几何与力的统一

在第13章里，我解释了超对称获得青睐的一个重要原因是，它能成功地容纳力的统一，解决等级问题的额外维度理论似乎要摒弃这一有重大潜力的成果了。既然我们没有找到任何结论性的实验证据，例如质子衰变，那这未必就是一个重大损失，因为我们还不肯定统一是正确的。但不管怎么说，三条线交于一点总是神奇的，而且可能预示了某种有意义的东西。即便统一还未被完全确立，我们也不应急于放弃它。

巴塞罗那大学的西班牙物理学家亚历克斯·波马罗尔（Alex Pomarol）发现，在弯曲几何里也会出现力的统一。但他所探讨的情形稍有不同：电磁力、弱力和强力不是被限制在膜上，而是出现在整个五维体空间里，标准模型的规范玻色子——胶子、W子、Z子和光子没有固定在3+1维的膜上。

根据弦理论，规范玻色子可能被困在一个高维的膜上，或者与引力一样，也可能在空间里。引力子肯定是由一个闭合弦形成的，而规范玻色子和带荷的费米子则不同，它们对应的既可能是开弦，也可能是闭弦——这取决于模型。根据它们的形成来源，规范玻色子和费米子要么被困在膜上，要么可以自由地穿行于体空间中。

在大额外维度的图景里，倘若非引力的力出现在体空间里，它们会过于微弱，不符合我们的观察。在体空间中，力会在一个庞大的空间里散播，因此，就与引力一样，它们会被大大地削弱，而这是不可接受的，因为我们已测知力的强度要远远大于这一理论所作出的预言。

但是，如果像在弯曲几何里一样，额外维度并不大，那么非引力的力很可能会出现在五维体空间中，能够削弱它们的只有额外维度的大小，而不是弯曲——在弯曲图景里，额外维度的尺寸很小。这就意味着，描述世界的真正理论很可能会让整个体空间经受所有4种力。这么一来，不仅仅是膜上的粒子，在体空间里的粒子也能够感受到电磁力、弱力和强力，同时还有引力。

如果弯曲图景里的规范玻色子出现在体里，那么它们的能量要远远大于1 TeV，经常来往于体空间的规范玻色子会经受由低到高的各种能量强度。它们不再被锁在弱力膜上，可以在体里四处穿行，它们所拥有的能量可以高达普朗克级能标。只有在弱力膜上，能量才必须小于1 TeV，因为力将会在空间里，因此可以在高能量上运行，力的统一则成为可能。

这是令人振奋的，因为它意味着在高能量上力能够统一起来，即使是在一个有额外维度的理论里。波马罗尔发现了这一有趣的结果，统一真的出现了，就好像理论是真的四维的一样。

但是，事情发展还在向更好的方向前进：统一和弯曲等级机制可以结合起来。波马罗尔证明了力的统一，但他认为超对称解决了等级问题。但等级问题的解决只需要希格斯粒子被束缚在弱力膜上，以使它的质量约等同于弱力级质量——在100 GeV和1 TeV之间，而规范玻色子则不必被困在上面。

在弯曲几何里，等级问题的解决需要保证希格斯粒子保持在较轻的质量水平上，这是因为希格斯场导致了自发对称破缺，而这是所有基本粒子质量的来源，只有弱力对称被打破，规范玻色子和费米子才会拥有质量。只要希格斯粒子具有弱力级质量，弱力规范玻色子的质量最终总会正确。等级问题的弯曲引力解决方案实际上只要求希格斯粒子处在弱力膜上。

所有这些意味着，如果希格斯粒子在弱力膜上，而夸克、轻子和规范玻色子都在体空间里（见图20-6），那么你就既能拥有蛋糕，又可以享用它。这样，弱力标度就会得到保护，大约是1 TeV，但统一仍可以出现在高能量上——在大统一级别上。我以前的一个学生马修·施瓦茨（Matthew Schwartz）和我一起证实了超对称不是唯一能兼容统一的理论——弯曲的额外维度理论也能做到！

图20-6　体空间里的力。非引力的力也可以出现在体里，在这种情况下，力就可以在高能量上统一起来。

实验意义

弱力膜上的自然标度大约是1 TeV，倘若这一弯曲几何图景被证明是我们世界的真实描述，那么瑞士CERN大型强子对撞机的实验结果将是极不平凡的。弯曲的五维时空的印记可能会包括卡鲁扎-克莱因粒子、反德西特空间的五维黑洞以及TeV质量级的弦。

弯曲时空的KK粒子可能是这一空间几何最容易得到的实验先驱，如前所述，KK粒子是有着额外维度动量的粒子，但这一模型的新特点是，因为空间是弯曲而非平坦的，KK粒子的质量将反映弯曲几何的独特秉性。

因为我们唯一确信能够在体里穿行的粒子是四维引力子，现在我们就集中考虑它的KK伙伴。正如在平坦空间里的情况一样，最轻的引力子KK伙伴将是那些在四维世界里根本没有动量的粒子，这个粒子与一个真正源于四维的粒子不可区分：它是能够在看似四维的世界里传递引力的引力子，也是我们在本章仔细研究过其概率函数的引力子。

如果没有额外的KK粒子，引力的表现将与它在真正的四维宇宙里完全一样。在这一图景中，宇宙暗地里是五维的，但表现如四维引力子的粒子不会显露出这一事实。如果没有更重的KK粒子，阿西娜的世界在她看来实际就与四维世界一样。

只有质量更大的KK粒子才能泄露五维理论的秘密，但它们又必须轻得足以生成。在这一理论里，要计算KK粒子的质量却有点棘手。由于几何与众不同，KK粒子将不会像在平坦空间的卷曲额外维度里那样，拥有与维度大小成反比的质量。这一质量将会极为令人惊讶，因为对于我们探讨的小额外维度来说，它将是普朗克级质量。在弱力膜上，任何重于1 TeV的东西都不能存在。因此，我们当然不可能在那里发现有普朗克级质量的东西。既然1 TeV是与弱力膜相关的质量，那么当你将弯曲时空考虑在内，并正确计算出KK粒子拥有大约1 TeV的质量时，就不是什么意外了。像我们假设的那样，当第五维度在弱力膜上终结时，无论是最轻的KK粒子，还是依次加重的KK粒子之间的质量差，最终都会是1 TeV左右。大量KK粒子累积在弱力膜上（因为它们的概率函数在这里达到高峰），它们就拥有了弱力膜粒子的所有属性。

这意味着引力子会有一些重KK伙伴，它们的质量大约为1 TeV、2 TeV、3 TeV等，依据LHC最终能达到的能量，我们极有可能找到其中的一个或多个。与大额外维度图景里的KK伙伴不同，这些KK伙伴相互作用的强度远比引力大得多。

这些KK粒子并不像四维引力子那样只是微弱地相互作用——它们的作用强度要高出16个数量级。在我们的理论里，引力子KK伙伴的作用如此强烈，以至于对撞机产生的任何KK伙伴不仅会立即逃出我们的视线、挟走能量，而且不会留下任何可见信号。相反，它们会在探测仪里衰变成我们能够探测到的粒子，可能是μ子或电子，我们可以用它们来重建派生它们的KK粒子（见图20-7）。

图20-7　 KK粒子的生成示意图。两个质子对撞，一个夸克和一个反夸克互相湮灭生成一个引力子的KK伙伴。KK粒子接着衰变成可见粒子，比如一个电子和一个正电子，灰线是质子对撞喷射出的大量粒子。

这是发现新粒子的惯常方法：研究所有的衰变产物，并由此推导出这些产物的来源。如果你发现的东西是你以前不曾知道的，那么它一定是新事物。如果KK粒子在探测仪里发生衰变，那么额外维度存在的迹象将非常明显。在我们的模型里，出现的将不仅是能量流失的征象——它没有任何确定能量流失根源的标志性意义，也不会让我们把这一模型与其他可能区分开来；真正有用的线索是被重建的KK粒子质量和自旋，它们会告诉我们许多关于新粒子身份的信息。

KK粒子的自旋值为2，这将是一个真正的身份证明，它将告诉我们新粒子与引力有关系。一个自旋为2、质量大约为1 TeV的粒子将是额外卷曲维度的有力证据。很少有模型会预言这么重的自旋为2的粒子，即便作出这样的预言，也会有其他明显不同的特点。

如果我们足够幸运，那么除了引力子的KK伙伴之外，实验还可能会生成众多其他的KK粒子，在一个标准模型的大多数粒子处于体空间的理论里，我们还可能看到夸克、轻子和规范玻色子的带荷KK伙伴。这些粒子将带荷且很重，而且它们最终会告诉我们有关高维世界的更多信息。事实上，模型构建者乔鲍·萨基（Csaba Csaki）、克里斯托夫·格罗琴（Christophe Grojean），路易吉·皮罗（Luigi Pilo）及约翰·唐宁（John Terning）都发现，在一个有着标准模型粒子的额外维度弯曲时空里，即使没有希格斯粒子，弱电对称仍可能被打破，届时实验将发现的带荷粒子就会告诉我们，这一替代模型是否与我们生活的真实世界相符。

一个更加离奇的可能性

我已描述了额外维度的许多离奇属性，但还有更加不同寻常的可能。很快，我们就将看到一个卷曲的额外维度实际上可以无限延伸，但与平坦维度不同，它仍旧是不可见的，而平坦维度若要与我们的观察相符，其大小则必定是有限的。

这一结果真令人无比惊讶，在第22章中，当我们讨论无限大的额外维度时，我们将集中探讨空间的几何形状，而非等级问题。但在这里，我要简要介绍一下，在额外维度无限的图景里同样能解决等级问题。

到目前为止，我们已探讨了一个两膜的模型：引力膜和弱力膜，两者各居第五维度的一个边界。但是，弱力膜却并不一定是世界的尽头（即第五维度的边界）。如果希格斯粒子被限制在位于一个无限大额外维度中央的另一个膜上，这样的模型也能够解决等级问题。

引力子的概率函数在弱力膜上将会很小，引力也很微弱，等级问题将与弱力膜是额外维度边界时一样得以解决。在一个有无限大的卷曲维度模型里，引力子的概率函数会在弱力膜之外继续延伸，但这不会影响等级问题的解决，因为它只依赖于弱力膜上引力子概率函数的极小值。

但是，由于维度是无限的，KK粒子会有不同的质量和相互作用，因此这一模型的实验意义就与我刚刚描述的模型不同。在阿斯本物理中心（一个激发灵感的集会地点，也正是这一原因，许多物理学家都愿意去那里徒步旅行），当我和乔·莱肯第一次谈论它的可能性时，我们并不确信这一观点能否发挥实际的作用。

如果第五维度没有在弱力膜上终止，那么并非所有的KK粒子都会很重（拥有大约1 TeV的质量），有些KK粒子的质量会很小。假设这些粒子可以探测，而实验却没有发现它们，那么这个模型将会被排除。

但我们的模型最终将是安全的，坐在公园的长椅上，望着周围美丽的湖光山色，我算出了KK粒子的相互作用（乔也做了同样的计算，不过，我想他一定是在研究中心的办公室算出来的）。这一结果告诉我们，尽管KK粒子的相互作用会很大，在未来的实验里足以让人产生兴趣，但它们还没大到让人们早该发现的地步。

假设这一模型的KK粒子存在，LHC将来极有可能生成它们，这些粒子看起来不会像大小有限的卷曲额外维度模型里的粒子。无限额外维度模型的KK粒子与那些能在探测仪里衰变的KK粒子不同，它们会逃进额外维度（与大维度里KK粒子的表现类似）。因此，如果存在能够解决等级问题的无限大卷曲额外维度和一个弱力膜，实验只能希望发现能量流失的迹象。即便如此，在足够高的能量上，流失的能量也足以向我们暗示有新事物出现。

五维黑洞与五维弦

当LHC投入运行之后，除了KK粒子以外，还有可能发现额外维度的其他一些非凡征象。尽管五维引力作用在常见能量上是微不足道的，但当对撞机生成高维粒子时，五维引力将成为主角。事实上，当能量达到1 TeV时，五维引力的作用将是强大的——它们会淹没四维引力子的微弱相互作用，在我们生活的弱力膜上（也即进行实验的地方），四维引力子存在的概率将很小。

高强度五维引力意味着，除了五维的弦以外，五维黑洞也有生成的可能。一旦能量达到1 TeV左右，位于弱力膜上或靠近弱力膜的所有东西彼此之间将发生强相互作用。这是因为，在TeV级能量上，引力和额外KK粒子的效果将是巨大的，它们将一起来促使所有事物彼此间相互作用。这种发生在所有已知粒子和引力间的强相互作用不会出现在四维图景里，它们绝对是新事物出现的信号，就如大额外维度情形一样，我们还不知道是否能达到足够高的能量，让我们看到这些新物质。如果相互作用在比1 TeV更大一些（不要高出太多）的能量上强烈发生，肯定能得到实验的验证。

尾声

等级问题的解决与TeV级能量上的实验结果有着很强的联系，但我们将看到的细节还要取决于模型。不同模型会产生不同的实验结果，这一点确凿无疑。

●即便膜本身是完全平坦的，但如果有体空间和膜能量出现，时空将急剧弯曲。

●本章我们探讨的模型有两个膜：引力膜和弱力膜，分别处于有限大小的第五维度的两端。空间和膜上的能量使时空弯曲。

●单一的额外维度引进了等级问题的一个全新的解决方法，在这一模型里的额外维度并不大，却是极度弯曲的。引力的强度强烈依赖于你在第五维度上的位置，引力在引力膜上强而在弱力膜上弱，我们就位于弱力膜上。

●由一个认为自己在四维世界的观察者的角度来看，如果物体来自第五维度的不同地方，它们也应有不同的大小和质量，被局限于引力膜上的物体会很重（大约为普朗克级质量），而被局限于弱力膜上的物体要轻得多，质量大约是1 TeV左右。

●如果希格斯粒子（而不是规范玻色子）被局限在弱力膜上，那么所有的力都可以统一，而等级问题也能得到解决。

●引力子的卡鲁扎-克莱因伙伴会引起非常奇特的粒子碰撞事件，它们会在探测仪里衰变成标准模型粒子。

●在标准模型粒子处于体空间的模型里，还会生成和发现其他KK粒子。