单自由度系统的振动力学模型

机械运动是一种特殊形式的运动。对于任意给定的机械系统，在其运动过程中，将在其平衡位置附近做往复的运动。检波器-大地耦合系统就是一种典型的机械运动。

研究一个实际工程结构的振动问题时，总是要对这个结构进行简化，抽象出其主要的力学本质，建立一个以若干广义坐标来描述的力学模型，称为振动系统。广义坐标的个数称为这个振动系统的自由度。单自由度系统是指只用一个广义坐标就足以描述其运动状态的振动系统，例如，一个无质量的弹簧支持着一个无弹性的质量系统。对单自由度系统的振动分析，可以揭示出振动的许多本质现象，是研究多自由度结构系统振动的基础。

（1）对于一个质量m，弹簧常数为k，阻尼系数为c的单自由度振动系统，在随时间变化的外力f（t）作用下，质量块在平衡位置附近发生振动，并在t时刻，质量块偏离平衡位置的位移为x（t），则单自由度系统振动时的力平衡方程可写为

或简写为

式中，mx··——作用在质量块上的惯性力；

　kx——弹性恢复力；

　——与速度成正比的黏滞阻尼力。

式（2-8）可以改写成

其中，系统的固有圆频率为

系统的临界阻尼比为

（2）对于一个只有地面加速度运动为ag（t）作用的单自由度振动系统的力平衡方程可写为

或简写成

式中，m（＋ag）为作用在质量块上的惯性力，它与质量块的绝对加速度成正比，弹性恢复力和阻尼力依然只分别与相对位移和相对速度有关。

移项后，式（2-13）变为

还可写成

式（2-14）中，m为常数，若仅考虑弹簧的弹性变形，k也为常数，若认为在一定范围内c也为常数，则运动方程属于常系数非齐次线性微分方程。以上两种振动状态都属于承受外界激励下的强迫振动状态。

若在t＝0时刻后，质量块不再受到外力和地面运动的作用，系统处于自由振动的状态。由于阻尼力的作用，自由振动的振幅将逐渐衰减，最后停止振动。这样，单自由度系统的自由振动的运动方程变为

为解上述方程，采用拉普拉斯（Laplace）变换方法，令x＝Xest，代入方程后得

即

式（2-18）称为该振动系统的特征方程，该方程的根为

于是自由振动方程的解为

对于一般工程结构，ξ远小于1，该方程的根可改写为

利用欧拉公式可将上式化成

其中

自由振动方程的解式中的积分常数，由初始条件来确定。若在t＝0时刻，xt＝0＝x0，

t＝0＝，自由振动方程的通解为