振动的隔离和传递

机器在转动时，一般要产生不平衡力。倘若机器直接装在坚实的地面上，这种不平衡力将全部传到地面，结果可能使周围的仪器设备以至房屋结构都发生振动。为了减小这种不平衡力的传递，通常在机器底部加装弹簧、皮、木、毛毡等垫料，相当于机器与基础之间有弹簧和阻尼隔开，简化如图2-3所示。在另外一些情况下，由于基础的振动而形成对置于基础上的设备的激振，这对于精密仪器的保管和机械的深加工来说，都是要极力减小的。同样，中间也要加些防振材料，相当于其间有弹簧和阻尼器，如图2-4所示。前者称为振动向基础的传递，后者称为运动支承所引起的振动。

图2-3　振动的隔离

图2-4　振动的传递

（一）振动向基础的传递

对于如图2-3所示的系统，运动微分方程式为

设作用于m的激振力Feq（t）为和谐的，即

运动微方程变为

其响应也是谐和的，设为

代入原方程得

面对基础的传递力应为弹簧和阻尼器两者传递力的和，即

则

传递力的幅值与激振力的幅值之比称之为传递率，以TR表示，即

图2-5　r-TR曲线

在图2-5中我们可以看到，所有曲线都相交于r＝。因此，在r＜时，传递力大于激振力，达不到隔振目的；只有r＞时，传递力才小于激振力，才能实现振动隔离的目的。所以对于旋转机械，在r＝＞，即ω＞ωn的频率域内，工作是较为优越的；但在ω＞ωn的频率域内，当ξ增大时，传递力反而增大，因此往往采取无阻尼隔振。对于变速运动的机器，由于不平衡量me引起的激振力Feq为meω2，ω是运行频率，我们定义一个Fn＝，将Feq＝meω2代入

以Fn＝两端相除，化简后得

我们以r、为参变量作出力比的曲线，如图26所示。由此可以看出，尽管传递率低，但ξ-实际传递力的幅值还可能很高，且随着ξ的增加，传递力的幅值增加更快，这是变速运行机器的一个特点。

图26　r-曲线-

在建筑物中传递力的减小是很有意义的，我们可作以下讨论。

式中，Feq、FT分别为激振力和传递力的幅值，TR为传递率，由前面讨论已知，在r＞1、ξ≈0时，隔振效果是最好的。由

可得

因为r2＝（ω/ωn）2＝ ，弹簧的静变形ξst＝mg/k，所以

（二）运动支承所引起的振动

在如图2-4所示的系统中，假定质量m只能沿铅垂方面运动，支座可以上下运动且运动规律为x1（t）＝X1sinωt，取铅垂坐标轴x与x1分别以物体与支座静止时的平衡位置为原点且取向上为正，在某瞬时t，物体m有位移x和速度x·，支座有位移x1及速度，则物体相对于支座的相对位移为（x-x1），相对速度为（-），因此作用于m上的弹性力和阻尼力分别为k（x-x1）和c-），则运动微分方程式为

整理后得

式中，＋kx1可称为作用于振动系统的等效激振力。

令

代入式（2-90），得

因为、X都是实数，e-iφ＝cosφ-isinφ，且e-iφ＝1，则

由

而

则有

我们以频率比r为横坐标，以阻尼因子ξ为参变量绘出了振幅比（也即传递率）与相1 角φ的曲线，如图2-7所示。

图27　r-曲线和r-φ曲线-

同样，从图2-7中所示可以看出，当r＞时，恒有＜1，且阻尼越大，振幅越大。但无论ξ为何值时，当r＝时，＝1，都有φ＝arctan。在r很大时，趋于0值，就是说支座的激振并不传到物体m上。

如果略去系统的阻尼，则有方程

此时

可明显看出，只要振动系统的弹簧很软，系统的固有频率ωn远小于激振频率，即r1；则无论支座怎样振动，质量m几乎可以在空间静止不动。假如设r＝5，则质量m的振幅仅为支座振幅的1/24，也就是激振力只有1/24传到m上。这就是飞机、汽车的坐垫加软弹簧和塑料泡沫等的道理，当然一些防振仪表与运动支承间更需加垫防振材料。

在工程实践中，我们往往会注意到振动系统相对于支座的相对运动，例如地震所引起的破坏主要是由于结构物等相对于地面的运动，我们从地震记录上可以测出地面（支承）的加速度（t），由此可确定置于地面上的振动系统中的质量m相对于地面的运动。

令u代表质量m相对于地面的位移，即u＝x-x1，其中x为m的绝对位移，x1为支座的绝对位移。

运动微分方程变为

令

则

代入方程式可得

进而得

在阻尼不计的情况下，ξ＝0，有

同样，我们可以得出位于支承上的振动系统中的物体相对于支承的运动与支承运动之间的关系，以及频率比之间的关系。［27］