多级倒立摆的进化控制算法的改进

8.2.1　问题的提出

上节运用进化算法对参数k i值进行搜索,并得到满意控制律。通过观察仿真图形后,发现三级倒立摆稳定后,其一摆、二摆和三摆的角度变化几乎同步。同时,由多级倒立摆的结构可知多级摆之间存在很强的耦合。因此,我们有理由相信一摆、二摆和三摆诸角度和角度变化之间存在相关性。下面我们分别采用灰色系统理论中的关联度分析[3]和多元统计中的相关性检验来验证我们的假设。

8.2.2　状态变量的关联度分析

作为发展变化的系统性质的一个度量,关联度分析事实上是动态过程发展态势的量化分析[3]。该方法[3]将因素随时间变化的几何曲线形状进行分析比较,即认为几何形状越接近,则发展变化态势越接近,关联程度越大。在这里,关联性被认为是曲线间几何形状的差别,因此可以曲线间差值的大小,作为关联程度的衡量尺度。对于一个参考数列x 0,有多个待比较数列x 1,x 2,…,x n,可以用下述关系表示各比较曲线与参考曲线在各点(时刻)的差及总体关联情况。

式中:ξi(k)是第k个时刻比较曲线x 1与参考曲线x 0的相对差值,这种形式的相对差值称为x i对x 0在k时刻的关联系数。式中λ是分辨系数,一般在0～1之间选取,通常可取为0.5。r i是曲线x i与参考曲线x 0的关联度。

关联度的计算采用下步骤:

Step 1.用上节的方法控制倒立摆系统。

Step 2.选取其中受初始值影响较小(即此时系统内因起决定性作用)的时间区间(本研究取自第100步到500步)内的数据集——三个摆的角度和角速度进行分析。

注1:之所以不把位移和速度考虑进来,是因为笔者认为角度和角度变化之间的相关性是主要矛盾。在后续的研究中,将验证验证作者的上述论断。

注2:在运算之前,我们先将数据进行无量纲化,即将所有因素的数据被本数列中最大的数据的绝对值除,然后得到一个新的数列。

Step 3.用(8.5)、(8.6)式计算关联度矩阵(如表8.1)

表8.1　关联度矩阵

从关联度矩阵的数据看来,各变量之间并不独立,相互存在着一定的关系,有的因素之间有较大的关联性,如之间。

同时还须进行相关性检验。相关系数是用来表征两个随机变量之间的线性相关程度的有效指标,而且相关系数是一个无量纲的量,它消除了测量随机变量时因尺度不同而带来的影响,在研究和实际应用中被广为应用。与关联度表征的几何相似性不同的是,相关系数反映的是样本间的线性相关性。

若(X 1,Y 1)、(X 2,Y 2)、…、(X n,Y n)为来自二维总体的样本,则X和Y间的相关系数为:

这里采用计算关联度时采用的原始数据来计算相关系数表(如表8.2)

表8.2　相关系数表

显然,部分因素间线性相关程度显著。通过以上分析计算,证实了我们先前的假设。由于控制变量是由状态变量的加权和得来的,因此,控制过程中必然存在着的重复的信息。如何来消除这些重复的信息,提高控制效果,显得十分重要。下面我们应用主成分分析法来完成上述任务。

8.2.3　改进的进化控制策略

8.2.3.1　主成分分析

主成分分析的工作对象是样本点×定量变量类型的数据表。它的工作目标,就是要对这种多变量的平面数据表进行最佳综合简化。要在力保数据信息丢失最少的原则下,对高维变量空间进行降维处理,也就是说,经线性变换和舍弃一小部分信息,以少数新的综合变量取代原始采用的多维变量。其具体实施步骤如下[4]:

(1)数据标准化处理:

为方便起见,依然记

(2)计算数据表(x ij)n×p的协方差矩阵R。

(3)求R的前m个特征值λ1≥λ2≥…≥λm,以及对应的特征向量u 1,u 2,…,u m,它们标准正交。u 1,u 2,…,u m称为主轴。

(4)由于e i是中心化的(e i是原样本点,i＝1,…,n),则第h主成分为:

由此可以看出:

所以,y h是原变量x i(j＝1,2,…,p)的线性组合,而组合的系数恰为:

8.2.3.2　主成分回归

在d维空间中,可得d个主成分。在实际运用中,可取前几个对信息量贡献较大的主成分,使空间维数下降,这非常有益于数据结构的观察。取前p个贡献较大的主成分作为新因素进行寻优,将会得到新的一种控制策略。这里:

8.2.3.3　基于主成分回归的倒立摆进化控制

通过遗传算法对原“加权和”的控制量进行随机搜索,得到的仿真数据对,选取其中控制较稳定的时间序列(第100步到500步)。我们只选择了三个摆的角度和角加速度作为分析对象。之所以不把位移和位移加速度考虑进来,是因为作者认为,它们与角度和角度变化之间不存在相关性。下面报告基于不同数据处理方式的实验方法和结果:

开始的实验中假设所要分析的数据的均值为零。因为:为了避免初始状态的影响,选取的数据在平衡点(原点)附近,从图形观测,所有数据都在原点附近震荡。所以,省略了数据标准化处理这一步,而直接计算出协方差矩阵R:

求出特征值以及特征向量(这里特征向量符号用Y表示):

取前4个λ所对应的特征向量,得到控制变量的新形式,并得到一组新的待优化的参数。重新运用遗传算法进行寻优,并得到仿真结果。

(1)无干扰下的结果:(见图8.5)

图8.5　无干扰下的仿真图形

(2)鲁棒性实验结果(见图8.6)。初始状态改为:θ1＝－0.03rad,θ2＝0.03rad,θ3＝0.03rad(K同上)

图8.6　鲁棒性实验结果

(3)在x和θ1中加入随机干扰后的结果(见图8.7):(K同上)

x加[－0.001m,0.001m]中的随机扰动;θ1加[－0.015rad,0.015rad]中的随机扰动。

图8.7　x和θ1中加入随机干扰后下的仿真图形

在另一组实验中,对原始数据进行了数据标准化,效果同样满意。

从仿真实验结果分析,基于主成分分析的多级倒立摆进化控制具有良好的动稳态特性,抗干扰性质和鲁棒性。与第一节所述方案相比较,该方案消除了各因素间存在的严重相关性,解释性强,计算量相对较小。

8.2.4　关于一类控制策略的评论

在倒立摆系统的控制中,许多研究者都应用如下控制策略(以一至三级倒立摆系统为例):

对一级倒立摆系统:

对二级倒立摆系统:

对三级倒立摆系统:

其中,k i(i＝1,…,8)皆为正数。显然,相邻摆对应的系数符号相反。

作者认为:上述控制策略是值得商榷的。其原因在于它未考虑各状态变量(各摆)之间强烈不一的相关性。从表8.1和表8.2看,各摆的角度和摆角速度具有的复杂的相关性,往往呈现牵一发而动全身的态势。因此用线性控制表达式(这种控制模型是否合适作者将在日后讨论)时其各变量是不独立的(这与PID控制不同),因此决不能分别考虑各摆的作用。综上所述,作者建议采用在正负对称的区间寻优以获取最优的k i(i＝3,…,8)。