重力作用下的液体平衡

在实际工程中，最常见的处于平衡状态下的流体，是仅受重力一种质量力作用相对于地球处于静止状态的液体，即日常所见的绝对静止液体。本节将讨论这种情况下的液体平衡问题。为讨论方便起见，我们将静止液体中的流体静压强称为静水压强。

在质量力只有重力作用的静止液体中，按照如图3-5所示的坐标系，这时作用在静止液体上的单位质量力在各坐标轴上的分量为

代入流体平衡方程(3-10)，可得

式中p为静水压强，对上式两边积分得

或

其中C为积分常数。若在自由表面上任取一点，有z=z0，p=p0，则C=p0+ρgz0，得

或

图3-5　重力作用下的静止液体

式(3-25)和式(3-26)为静水压强的基本方程。

引入水深坐标h=(z0－z)，如图3-5所示，式(3-25)可以写成

式(3-27)为静水压强基本方程的另一种形式，是流体静力学的基本公式。

分析式(3-25)和式(3-27)可知:

(1)静止液体中任意一点的静水压强是由两部分组成的。一部分为自由表面的静水压强p0，该压强遵循巴斯加原理等值的传递到液体内所有各点;另一部分是ρgh，这一部分就是液体内任意一点到液体自由表面的单位面积上的液柱重量。

(2)静止液体中的静水压强只是坐标z或水深h的函数，该压强随水深呈线性规律变化。

(3)对于仅受重力作用，同种并相互连通的静止液体，水平面就是等压面;等压面就是水平面。如图3-6所示。

图3-6　等压面概念

式(3-24)中z为静止液体内任意一点在基准坐标面以上的几何高度，称为位置水头。由于重心高度为z、重量为mg的液体质点所具有的位置势能为mgz，则z又代表了单位重量液体所具有的位置势能，简称为位能。

式(3-24)中是反映液体内某点静水压强大小的压强高度，称为压强水头。如图3-7所示，若液体内某点的静水压强为p，如果在此处设置一开口的可测量压强的玻璃管即测压管时，液体在静水压强的作用下，沿测压管上升至高度为处才静止下来，这时液体的压强全部转换成高度为的位置势能。因此，可以称为单位重量液体所具有的压强势能，简称为压能。位能z与压能都属于势能。位置水头z与压强水头的和称为测压管水头。式(3-24)及图3-7表明，静止液体内任意一点的测压管水头等于常数。由图3-7可见，A、B两点位置水头的改变，压强水头也相应改变，但两者的总和即测压管水头相等，两者可以相互转化。其和称为单位重量液体所具有的总势能，简称为总势能。式(3-24)也说明，静止液体内各点的总势能相等。

图3-7　位置水头、压强水头和测压管水头

例3-1一封闭容器如图3-8所示，已知容器内水深H为3m，A点至容器底部距离zA为0．5m，B点至容器底部距离zB为1．5m。开口测压管液面至A点的距离h为4m，测压管液面作用着大气压pa=98000N/m2。试求:

(1)A点、B点的静水压强pA、pB。

(2)以容器底为基准面，计算A点和B点的测压管水头。

(3)作用在容器内水面的静水压强p0。

解(1)根据静水压强基本方程(3-27)，A点的静水压强pA为

图3-8　例3-1题图

过B点作等压面1—1，可以求B点的静水压强pB为

(2)设容器底部水平面为基准面0—0，可得:

A点测压管水头

B点测压管水头

由此可知静止液体内任意一点的测压管水头等于常数。

(3)方法(一)

根据静水压强基本方程(3-27)，已知B点静水压强pB=127400N/m2，则

p0=pB－ρg(h+zA－H)=127400－1000×9．8×(4+0．5－3)=112700N/m2。

方法(二)

根据静止液体内任意一点的测压管水头等于常数的结论，已设0—0为基准面，则有