一般数项级数收敛性的判别法

交错级数

在讨论一般级数的收敛性之前，我们先来讨论一类特殊的级数：称级数为交错级数，如果对n＝1，2，…，有a_na_n＋1＜0，即可以写成下面的形式

或

其中a₁，a₂，…都是正数。

定理7.3.1（Leibnitz判别法）　若交错级数满足条件：

（i）a_n≥a_n＋1（n＝1,2,3…）（即数列｛a_n｝单调递减）；

（ii）

则级数收敛，且和S≤a₁．

证明　因为故对任给的ε＞0，存在自然数N，使当n＞N时，就有

又因数列｛a_n｝递减，所以对任何n，当p为偶数时，有

当p为奇数时，又有

于是当n＞N时，对任何自然数p，由（2），（3），（4）都有

由Cauchy收敛原理知交错级数收敛。设其和为S，则显然

例如，交错级数

满足条件

及

所以它是收敛的，且其和S＜1．

绝对收敛级数与条件收敛级数

现在我们讨论一般的级数

a₁＋a₂＋…＋a_n＋…，

级数绝对收敛与级数收敛有以下重要关系：

定理7.3.2　如果级数绝对收敛，则级数必定收敛。

证明　设级数收敛，根据级数的Cauchy收敛准则，对任意正数ε，总存在某自然数N，使对任意自然数p，有

｜a_n＋1｜＋｜a_n＋2｜＋…＋｜a_n＋p｜＜ε．

由于

｜a_n＋1＋a_n＋2＋…＋a_n＋p｜≤｜a_n＋1｜＋｜a_n＋2｜＋…＋｜a_n＋p｜＜ε，

从而级数收敛。　□

注意，上述定理的逆定理并不成立。

定理7.3.2说明，对于一般的级数如果我们用正项级数的收敛判别法判定级数收敛，则此级数收敛。这使得一大类级数的收敛性判别问题可转化为正项级数的收敛性判别问题。

例7.3.3　判别级数的收敛性。

解　因为而级数收敛，所以级数也收敛，由定理7.3.2知，级数收敛。　◇

例7.3.4　判别级数的收敛性。

解　由得而可知｜a_n｜0（n→∞），因此级数发散。　　◇

例7.3.5　假设p＞0，讨论级数的绝对收敛性和条件收敛性。

解　因为当p＞0时，数列递减且趋于0，所以由Leibnitz判别法知交错级数收敛。又因非负项级数当p＞1时收敛而当p≤1时发散，故知级数于p＞1时绝对收敛，而于0＜p≤1时条件收敛。　　◇

下面来介绍适用于一般变号级数的判别法。为此我们先来介绍Abel（阿贝尔）求和法和Abel引理。

关于有限项乘积之和

Abel给出了一个类似于分部积分法的初等求和法。令

于是b₁＝B₁且

若记B₀＝0，则（6）式对k＝1也成立。将（6）代入（5），得

（7）式称为Abel求和法或Abel求和公式。由此可得到和数S的估计式。

引理7.3.6（Abel引理）　如果有限数列｛a₁,a₂,…,a_m｝和｛b₁,b₂,…,b_m｝满足下列条件：

（i）｛a_k｝单调；

（ii）j＝1，2，…，m，

则有估计式

证明　由Abel求和公式（7）有

由｛a_k｝单调，故所有（a_k－a_k＋1）（k＝1,2,…,m－1）都同号，所以有

定理7.3.7（Abel判别法）　设级数满足下列条件：

（i）级数收敛；

（ii）数列｛a_n｝单调有界，

则级数收敛。

证明　由条件（ii）知有M＞0，使得｜a_n｜≤M，n＝1，2，…．又因级数收敛，故对任何ε＞0，都存在N，使当n＞N时，对任何自然数p，都有

由（ii）知｛a_n｝单调，从而由Abel引理知，当n＞N时，有

由级数的Cauchy收敛准则知级数收敛。　　□

定理7.3.8（Dirichlet判别法）　设级数满足下列条件：

（i）级数的部分和数列｛B_n｝有界；

（ii）数列｛a_n｝单调趋于0．

则数列收敛。

证明　因｛B_n｝有界，设其界为M，故对任何自然数n和p，都有

｜b_n＋1＋b_n＋2＋…＋b_n＋p｜＝｜B_n＋p－B_n｜≤2M．

又因｛a_n｝趋于0，故对任给的ε＞0，都有N，使当n＞N时，就有

｜a_n｜＜ε．

由（ii）知｛a_n｝单调，从而由Abel引理知，当n＞N时，有

由级数的Cauchy收敛准则知级数收敛。　　□

例7.3.9　判定级数敛散性。

解　由Leibnitz判别法知级数收敛。因为递增有界，故由Abel判别法知级数收敛。又因｛3－arctann｝递减有界，再由Abel判别法知所论级数收敛。　　◇

例7.3.10　讨论级数（0＜x＜π，p＞0）的绝对收敛性和条件收敛性。

解　首先，当p＞1时，因为

而级数收敛，所以所讨论级数绝对收敛。

其次，当0＜p＜1时，数列递减且趋于0．对任何x∈（0,π），由三角公式有

即对任何x∈（0,π），级数的部分和数列有界，从而由Dirichlet判别法知所论级数收敛。

最后，由于｜sinkx｜≤1，故由三角公式有

像上段一样地可以证明级数收敛。因为级数于0＜p＜1时发散，所以非负项级数发散，从而由比较判别法知也发散。综上可知，所讨论级数当p＞1时绝对收敛，当0＜p≤1时条件收敛。　　◇

绝对收敛级数的性质

绝对收敛级数有很多性质是条件收敛级数所没有的，下面给出关于绝对收敛级数的一个性质。

定理7.3.11　绝对收敛级数任意改变项的位置后构成的级数也绝对收敛，且与原级数有相同的和。

证明　（i）先证定理对于收敛的正项级数是正确的。设级数

u₁＋u₂＋…＋u_n＋…

为收敛的正项级数，其部分和为S_n，级数和为S．并设级数为改变项的位置后构成的级数，其部分和为

对于任何n，当它固定后，取m足够大，使各项都出现在S_m＝u₁＋u₂＋…＋u_m中，于是得

所以，变项后所得新级数的部分和数列有界，从而级数收敛，且

另一方面，如果把原来级数看成是级数改变项的位置以后所成的级数，则应用刚才证得的结论，又有

S≤S^*，

从而　　S^*＝S．

（ii）再证定理对一般的绝对收敛级数是正确的。

设级数收敛，令

显然v_n≥0且v_n≤｜u_n｜（n＝1,2,…）．由比较判别法得到级数收敛，从而级数也收敛。而u_n＝2v_n－｜u_n｜，故有

若级数改变项的位置后的级数为则相应地改变为改变为由（i）证得结论可知

所以

值得指出的是，对于条件收敛的级数，这个定理的结论未必成立。事实上，可以证明条件收敛级数适当重排后可得到发散级数，或收敛于任何事先给定的数。