Taylor级数
前面讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质。但是在许多应用中，我们遇到的却是相反的问题：给定函数f（x），要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，就是说，是否能找到这样的一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好是给定的函数f（x）．如果能找到这样的幂级数，我们就说，函数f（x）在该区间内能展开成幂级数，或简单地说函数f（x）能展开成幂级数，而该幂级数在收敛区间内就表示了函数f（x）．
在第四章第六节我们已经看到，若函数f（x）在点x0的某一邻域内具有直到（n＋1）阶的导数，则在该邻域内f（x）的n阶Taylor公式
成立，其中Rn（x）为Lagrange型余项：
ξ是x与x0之间的某个值。这时，在该邻域内f（x）可以用n次多项式
来近似表达，并且误差等于余项的绝对值｜Rn（x）｜．如果Rn（x）随着n的增大而减小，那么就可以用增加多项式（2）的项数来提高精度。
如果f（x）在点x0的某邻域内具有各阶导数f′（x），f″（x），…，f（n）（x），…，这时我们可以设想多项式（2）的项数趋向无穷而成为幂级数
幂级数（3）称为函数f（x）在x0点（或以x0为中心）的Taylor级数。在不引起歧义的情形下，简称为f（x）的Taylor级数。显然，当x＝x0时，f（x）的Taylor级数收敛于f（x0），但除了x＝x0外，它是否一定收敛？如果收敛，它是否一定收敛于f（x）？关于这些问题，有下列定理。
定理7.5.1 设函数f（x）在点x0的某一邻域N（x0）内具有各阶导数，则f（x）在该邻域内能展开成以x0为中心的Taylor级数的充分必要条件是f（x）的Taylor公式中的余项Rn（x）当n→∞时的极限为零，即
证明 先证必要性。设f（x）在N（x0）内能展开为Taylor级数，即
对一切x∈N（x0）成立。我们把f（x）的n的阶Taylor公式（1）写成
其中Sn＋1（x）是f（x）的Taylor级数（3）的前（n＋1）项之和，因为由（4）有
所以
这就证明了条件是必要的。
再证充分性，设
对一切x∈N（x0）成立。由f（x）的n阶Taylor公式（1）′有
Sn＋1（x）＝f（x）－Rn（x），
令n→∞取上式的极限，得
即f（x）的Taylor级数（3）在N（x0）内收敛，并且收敛于f（x）．因此条件是充分的。 □
在（3）式中取x0＝0，得
级数（5）称为函数f（x）的Maclaurin级数。
函数f（x）的Maclaurin级数是x的幂级数，现在我们证明，如果f（x）能展开成x的幂级数，那么这种展开式是唯一的，它一定与f（x）的Maclaurin级数（5）一致。
事实上，如果f（x）在点x0＝0的某邻域（-R,R）内能展开成x的幂级数，即
对一切x∈（-R,R）成立，那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导，有
把x＝0代入以上各式，得
这就是所要证明的。
由函数f（x）的展开式的唯一性可知，如果f（x）能展开成x的幂级数，那么这个幂级数就是f（x）的Maclaurin级数。但是，反过来如果f（x）的Maclaurin级数在点x0＝0的某邻域内收敛，它却不一定收敛于f（x）．因此，如果f（x）在x0＝0处具有各阶导数，则f（x）的Maclaurin级数（5）虽能作出来，但这个级数是否能在某个区间内收敛，以及是否收敛于f（x）却需要进一步考察。下面将具体讨论把函数f（x）展开成为x的幂级数的方法。
函数展开成幂级数
要把函数f（x）展开成x的幂级数，可以按照下列步骤进行：
第一步 求出f（x）的各阶导数f′（x），f″（x），…，f（n）（x），…，如果在x＝0处某阶导数不存在，就停止进行。例如在x＝0处，
的三阶导数不存在，它就不能展开为x的幂级数。
第二步 求函数及其各阶导数在x＝0处的值：
f（0），f′（0），f″（0），…，f（n）（0），…．
第三步 写出幂级数
并求出收敛半径R．
第四步 考察当x在区间（-R,R）内时余项Rn（x）的极限
是否为零，如果为零，则函数f（x）在区间（-R,R）内的幂级数展开式为
例7.5.2 将函数f（x）＝ex展开成x的幂级数。
解 所给级数的各阶导数为f（n）（x）＝ex（n＝1,2,3,…），因此f（n）（0）＝1（n＝1,2,3,…），f（0）＝1．于是得到级数
它的收敛半径R＝+∞．
对于任何有限的数x，ξ（ξ在0与x之间），余项的绝对值
因e｜x｜有限，而
是收敛级数
的一般项，所以当n→∞时，
即当n→∞时，有｜Rn（x）｜→0．于是得展开式
例7.5.3 将函数f（x）＝sinx展开成x的幂级数。
解 所给函数的各阶导数为
f（n）（0）依次循环地取0，1，0，-1，…（n＝0,1,2,3,…），于是得级数
它的收敛半径R＝+∞．
对于任何有限数x，ξ（ξ在0与x之间），余项的绝对值当n→∞时的极限为零：
因此得展开式
以上将函数展开成幂级数的方法，是直接按公式
计算幂级数的系数，最后考察余项Rn（x）是否趋于零。这种直接展开的方法计算量较大，而且研究余项是否趋零即使在初等函数中也不是一件容易的事。下面，我们用间接展开的方法，即利用一些已知的函数展开式、幂级数的运算（如四则运算，逐项求导，逐项积分）以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数。这样做不但计算简单，而且可以避免研究余项。
例7.5.4 将函数cosx展开成x的幂级数。
解 本题与例7.5.3相仿，当然可以应用直接展开方法，但是如果应用间接方法，则比较简便。事实上，对展开式（8）逐项求导就得
例7.5.5 将函数
展开成x的幂级数。
解 因为
将x换成-x2，得
必须指出，假定函数f（x）在开区间（-R,R）内的展开式
已经得到，如果上式的幂级数在该区间的端点x＝R（或x＝-R）仍收敛，而函数f（x）在x＝R（或x＝-R）处有定义且连续，那么根据幂级数的和函数的连续性，该展开式对x＝R（或x＝-R）也成立。
例7.5.6 将函数f（x）＝ln（1＋x）展开成x的幂级数。
解 因为
而
所以将上式从0到x逐项积分，得
上述展开式对x＝1也成立，这是因为上式右端的幂级数当x＝1时收敛，而ln（1＋x）在x＝1处有定义且连续。
例7.5.7 将函数f（x）＝（1＋x）m展开成x的幂级数，其中m为任意常数。
解 f（x）的各阶导数为
f′（x）＝m（1＋x）m－1，
f″（x）＝m（m－1）（1＋x）m－2，
…
f（n）（x）＝m（m－1）（m－2）…（m－n＋1）（1＋x）m－n，
…
所以
f（0）＝1，f′（0）＝m，f″（0）＝m（m－1），…，
f（n）（0）＝m（m－1）…（m－n＋1），…．
于是得到级数
这级数相邻两项的系数之比的绝对值
因此，对于任意常数m，这级数在开区间（-1,1）内收敛。
为了避免直接研究余项，设这级数在开区间（-1,1）内收敛到F（x）：
我们来证明F（x）＝（1＋x）m，（-1＜x＜1）．
对（*）式逐项求导，得
两边各乘以（1＋x），并把含xn（n＝1,2,…）的两项合并起来。根据恒等式
我们有
现在令
于是φ（0）＝F（0）＝1，且
所以φ（x）＝c（c是常数），但是φ（0）＝1，从而φ（x）＝1，即
F（x）＝（1＋x）m．
因此在区间（-1,1）内，我们有展开式
在区间的端点，展开式是否成立，依m的数值而定。
公式（11）叫做二项展开式。特殊地，当m为正整数时，级数为x的m次多项式，这就是代数中的二项式定理。
对应于
时（1＋x）m的二项展开式分别为
以后可以直接引用函数
ex，sinx，cosx，ln（1＋x）和（1＋x）m的幂级数展开式，将其他相关函数展开成幂级数。
最后再举两个用间接法将函数在x0处展开成幂级数的例子。
例7.5.8 将函数sinx在
处展开成幂级数。
解 因为
而
所以
例7.5.9 将函数
展开成（x－1）的幂级数。
解 因为
而
所以
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