数学实践首先是一种精神活动。当然，数学家使用纸张、铅笔和计算机，但至少在理论上它们都是不必要的。数学家的主要工具是他们的心灵。尽管本章中考虑的诸哲学彼此非常不同（甚至不相容），但它们都强调数学的这种活动，关注它的基础或合法性证明。统一这些观点的中心话题是对数学中的某个推理模式的拒斥。这里所考虑的诸哲学要求修正他们那个时代和我们这个时代的数学。
主要的项目是排中律（the law of excluded middle, LEM），有时也称作law of excluded third和tertium non datur（TND）。令Φ为一命题。那么相应的排中律的实例就是命题，或者是Φ或者不是Φ所说的情况，有时会简写为Φ或非Φ，或用符号表示为Φ∨
Φ。在语义上密切相关的二值性原理是说每个命题或真或假，因而只存在两个可能的真值——因此得名“排中”[1]。直觉主义是用以指那些对排中律提出异议的数学哲学的一般术语。
包括排中律的常见的逻辑系统被称作是经典的，遵循经典逻辑的数学被称作经典数学。没有排中律的较弱的逻辑被称为直觉主义逻辑，而对应的数学是直觉主义数学。更详细的请参见Dummett 1977。
直觉主义逻辑缺少其他一些依赖排中律的原理和推论。其中之一是双重否定消去法则，它允许人们从Φ的否定的否定推出Φ。运用直觉主义逻辑，一个人可以从Φ推出非非Φ，但反过来不行。假设某人从一个形式为非Φ的命题得出一个矛盾。那么，经典数学家和直觉主义者都会（通过归谬法）得出非非Φ。经典逻辑学家还会得到Φ（的真），但最后这步推理在直觉主义逻辑中是不允许的（除非数学家已经知道Φ或真或假）。
这些被提议或要求的对逻辑的修正与哲学紧密联系。直觉主义者认为排中律及其相关推理显示了对数学对象的独立存在的信念和/或相信数学命题独立于数学家而为真或为假。用现在的术语来说，直觉主义者认为，排中律是本体论的实在论和/或真值的实在论的推论（参见第2章，第2.1，2.2小节）。一些直觉主义者完全拒斥实在论，而另外一些只是认为数学不应预设任何此类形而上学的议题。
一个人从直觉主义限制下得到的数学与经典数学大不相同（参见例如，Heyting 1956，Bishop 1967, Dummett 1977）。批评者通常抱怨直觉主义的限制使数学家跛足。另一方面，直觉主义数学使许多在经典数学中无法得到的潜在的重要区分成为可能，并且常常以有趣的方式显得更加精妙。这里，我们将检视是什么引导一些哲学家去要求这种直觉主义限制。
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