四大渊源古国

四大渊源古国

中国古代数学

话说在公元前543年的晋国，由于国君需要要建一座城池，一群被征来筑城的农夫在吃力地干活。眼看天快晌午了，这伙人都饿得前心贴后背，干不动了。每天这时候午饭早该送来了，可今天连个影都没有。大家正等得不耐烦，远远望见一个人骑马跑来，高喊着：“国君夫人见大家干活卖力，特地犒赏一顿好饭！”果然，不一会就有好几个宫中的小官吏抬着带肉的菜饭晃晃悠悠地走过来。

干活的人们赶紧围了上去吃起来。这时从人群外挤进一个老头，看上去年纪不小了，端了只空碗走到饭桶旁，弯腰盛起一碗饭，狼吞虎咽地吃起来。一个官吏连忙过来，喝斥道：“老家伙，你是什么人，敢来这儿抢饭吃？”老人吞下一口饭，答道：“我儿子为国君修城墙，前几天被砸死了。剩下我这孤老头子，无依无靠，只好上这来找口饭吃啊。”官吏听了，就问：“你多大年纪啦？”老人说：“我是个下等贱民，不知道记下年龄。但只记得我出生时是正月初一甲子日，到现在已经过了445个甲子日了。最末一个甲子日到今天刚刚是20天。”

官吏一听就懵了。他想了半天也算不出老头到底有多大年龄。于是，官吏就跑回宫中去找学者师旷讯问。师旷算了一会，告诉他：“这老头已经活了26660天了，今年73岁。要好好照顾他呢！”原来，我国一直有尊老的习俗，这是我国优良传统。在那时，凡是达到一定年龄的老人是要受到一定优待的。后来，国君还要让老人当官，不过老人以年龄大推辞掉了。

这只是一个普通的老头，国君为什么要让他做官呢？原来，他懂数学，会计算。别看这些问题现在小学高年级的学生轻易地就可以解出来，但在2500多年前，能够计算这样复杂问题的人可不多。所谓甲子日，是中国古代一种计日方法。甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，这10个叫“天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，这12个叫“地支”。将天干和地支依次组合：甲子、乙丑、丙寅……每一个组合代表一天（或一年，现在农历还在这样记年），这样就有60个组合，然后再重复回来。所以老人说他是甲子日生，共计过了445个甲子日又20天，那就应当用60×（445－1）＋20，整好是26660天，合73岁。

我国古代人用算筹在地上计算

2500年前能清晰地算出这种问题确实是不简单的。它涉及到了60进位，10进位，365进位等等一系列进位制，而且有乘法、除法四则运算。看来中国古代数学发展也是很早的。据我们现在考古从甲骨文中样复代的计数，是用的进制，用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等的组合来记十万以内的自然数。

甲骨110文中的13个数字

商代离现在的年代更久远，至少有三千年以上，虽然留下来的文献无几，但我们还是从那些只言片语中得知那时数学的情况。

人类最初使用的一种手指计数法

春秋战国时期，正是中国社会从奴隶制转变到封建制的时期，生产的迅速发展向人们提出了大量比较复杂的数学计算问题。于是，这时出现了一种十分重要的计算方法——筹算。筹算是用算筹来进行的。算筹是圆形竹棍，直径约有0.2厘米，长约为14厘米，以271根为一“握”。后来，长度有所减小，圆的也变成方的或扁的。这种变化是为了减少计算时，铺在地上的算筹面积，以适应更复杂的计算；圆的改成扁的就避免了算筹滚动造成的计算错误。除了用竹子做筹外，还有木筹，铁筹、玉筹和牙筹，另附有装算筹的算袋和算子筒。1971年，在陕西省千阳县发现汉代骨制算筹三十多根，1975年又在湖北江陵发现汉初竹制算筹。这都为考察中国古算法提供了实物资料。

中国古代象牙算筹

筹算是严格遵守10进位记数法的。同一个数放在百位就代表几百，放在千位就代表几千。这种记法，除了所用数字和现在通用的印度—阿拉伯数字形式有所不同以外，其实质是完全一样的。在计算中，—面把算筹摆成数字，一面进行计算，运算程序和现在珠算运算很相似。记叙筹算法则的书有公元4世纪的《孙子算经》、公元5世纪的《夏侯阳算经》等等。后来计算中又出现了负数，算筹又被分成红黑两种，红筹表示正数，黑筹表示负数。算筹除了算术运算外，还能表示代数式，进行各种代数运算。我国古代在数字计算和代数方面取得了令人瞩目的成就，是同筹算运用分不开的。祖冲之在公元6世纪就把圆周率计算准确到小数第六位，这需要计算12888边形的边长，把一个九位数进行二十二次开平方，这其中10进制的筹算方法应该是功不可没的。

算筹计数摆法

众所周知世界四大文明古国：中国、古巴比伦、古埃及、古希腊。比起古巴比伦来，中国的10进位制和筹算应该算是比较方便和先进的。古巴比伦的60进位制，计算起来相当繁琐。古埃及的数字从1到10只有两个数字符号，从100到10000000只有四个数字符号，而且是象形的。古希腊的计数方法也很落后，全部用希腊字母表示1到10000的数字，字母不够，就在字母旁边加符号。直到被阿拉伯数字逐渐取代为止。

约公元前1450年埃及象形文字中的数字

任何一门科学或学科的发展都是应当时社会发展的需要产生的。在中国当然也不例外，数字的发生和发展始终同统治者的需要密切联系的，数学总是致力于解决官府所要解决的实际问题。比如土地的丈量、谷仓容积、堤坝和河渠的修建、税收等等。而纯数学用到的场合则很少，因而古代中国纯粹的数学家不多，从事数学研究的人总是同时还在进行其他研究或从事其他职业。如我国古代伟大的数学家祖冲之就曾任过南徐州从事、娄县县令、谒者仆射等官职，还当过南齐王朝的长水都尉。尽管这样，我们的祖先们还是为我们留下了极丰富的数学遗产，其中也不乏对纯数学发展极为有益的内容。其实，直到明朝中叶以前，在数学的许多分支领域里，中国还一直处于领先地位，许多数学家写下了不少著名数学著作。

毕达哥拉斯

我们现在所知的最早的数学著作是《周髀算经》和《九章算术》，它们都是公元纪元前后的作品。现在北京图书馆和其他一些图书馆里还藏有南宋版的《周髀算经》和《九章算术》，这是相当珍贵的历史文物和科学遗产。在《周髀算经》中，有一段被尊为古代圣人的周公同—个名叫商高的数学家的对话，在对话中就提出了毕达哥拉斯定理（即现在所说的勾股定理），也就是“直角三角形斜边平方等于两个直边平方之和”，所以这个定理在中国也称为商高定理；另有一部分是名叫陈子的人和叫荣方的人的对话，他们谈论日影，估计在不同纬度上日影的长度差，同时谈到用窥管测量太阳直径的方法；书中还载有与太阳周年运动有关的计算，提到利用水平仪来取得测日影所需要的水平面，还列出了一年中各个节气的日影长度表；此外，还讨论了从日出日落来观察确定子午线、恒星的中天、二十八宿、闰年以及其他天文学问题。

关于商高定理部分，书中写道：一天，周公对商高说：“我听说您很精通数的艺术。可否请您谈谈古代人是怎样测定天球度数的？没有一种梯子可以使人攀登上天，地也无法用尺来测量。因此想问问您，这些数据是从何而来的呢？”

《周髀算经》盖天宇宙模型的正确形状

商高回答说：“数的艺术从圆形和方形开始。圆形出自方形，而方形出自矩形，矩形出自9×9＝81这个事实。假如把矩形沿对角线切开，让宽等于3个单位长，长为4个单位，那么对角线的长度就是5个单位。古代大禹用来治理天下的方法，就是从这些数字发展出来的。”

《九章算术》样张

周公感叹地说：“数学这门艺术真是了不起啊！我想再请教怎样应用直角三角尺？”

商高回答：“使直角三角尺平卧地上，可以用绳子设计出平直的和方形的工程。把直角三角尺竖立起来，可以测量高度。倒立的直角三角尺可以用来测量深浅，而平放着就可以测出距离。让直角三角尺旋转，就可以画出圆，把几个直角三角尺合在一起，就可以得到正方形和长方形。”

周公不住地点头说：“这真是太妙了！”

后来的学者曾指出《周髀算经》的伟大不仅仅在于它的数学知识的阐述，更重要的是它是在占星术与卜筮占支配地位的时期写就的，而它在讨论天地现象时却丝毫不带迷信成分！这在当时的确是难能可贵的。

在中国历史上，和《周髀算经》齐名的，还有一部数学著作，科学史上称为《九章算术》。有人认为《九章算术》比《周髀算经》的成书年代还要早，但一般认为它们的年代差不多。比起《周髀算经》来，《九章算术》中的数学水平要进步得多。《九章算术》共包含九章，246个问题。内容大致是这样的：

（1）土地测量。书中列有直角三角形、梯形、三角形、圆、弧形与环形等等，给出了计算这些形状面积的方法。

（2）百分法和比例，根据比例关系来求问题答案。

（3）算术级数和几何级数。

（4）处理当图形面积及一边长度已知时求其他边长的问题。还有求平方根和立方根问题。

（5）立体图形（棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、圆台、四面体等）体积的测量和计算，实际计算的有墙、城墙、堤防、水道和河流等等。

（6）解决征收税务中的数学问题。像人们从产地运送谷物到京城交税所需的时间等有关问题，还有按人口征税的问题。

（7）过剩与不足的问题。也就是解决ax＋b＝0的问题。

（8）解方程和不定方程。

（9）直角三角形的性质。这一章里有这样一个问题：“一个水池，长宽各一丈，有棵芦苇生在池中央，芦苇出水面一尺高，让芦苇倒向池边，正好芦苇尖与池边平齐。问水有多深？”这个问题后来也见于印度的数学著作中，又传到了中世纪的欧洲。这个问题就是利用相似直角三角形来解决问题。

《九章算术》对中国古代数学发生的影响，好比古希腊欧几里得《几何原本》对西方数学所产生的影响一样。一千多年的时间里，它一直被直接用作为教科书使用。日本、朝鲜也都曾用它作教科书。各代学者都十分重视对这部算书的研究，在欧洲和阿拉伯的早期数学著作中，过剩与不足问题的算法就被称为“中国算法”。

在中国古代，著名的数学著作当然不只上述两种，汉代到唐代，虽然许多算书都失传了，但现在仍知道曾有包括上述两种书籍在内的十种书籍作为皇家学院的教科书，像《孙子算经》《夏侯阳算经》《缀术》等等。其中一些名词一直沿用到今天。如：分子、分母、开平方、开立方、正、负、方程等。也许人们还不知道，这些今天看似极普通的数学名称，其实已经有2000年的历史了。

宋本《孙子算经》（现藏于上海图书馆）

古巴比伦数学

19世纪大数学家、物理学家和天文学家高斯曾说过：“数学是科学之王”。说数学是科学之王，当然不是说数学统帅其他科学，而是说数学最集中、最深刻、最典型地反映着人类理性和逻辑思维所能达到的高度。的确，数学当然是从人类生产和其他需要中产生的，比如几何学中“角”的概念是最初人们观察到大小腿（股）或上臂之间形成的角而产生的，所以在英文中，直角三角形的两边还叫两臂。但是随着数学产生和发展，这个学科本身就形成了自身的发展规律，有了自身的独立性。有些不是生活中直观的东西，有些不是生产和其他需要的问题，也在数学中被提出来并进行艰深的探讨了。比如哥德巴赫猜想，问题内容是“将任意（3以上）的和数表示成为两个质数之和是可能的。”

高斯头像

有人可能会问：“这同实际生活根本连边都挂不上，它有什么意义呢？”它的意义就在于提出它和解决它可以证明我们人类的头脑究竟有多聪明，究竟有什么样的思维能力。何况，数学在人类历史发展过程中往往走在科学的最前列，有些数学上问题已经解决了，但其他科学还不知道它是怎么回事，要等上几十年甚至几百年才知道它的实际意义和用处。就像非欧几何，高斯很早就奠定了它得基础，但直到100多年以后，爱因斯坦的相对论提出后，人们才逐渐理解到它的实际意义。今天，在航天和其他高精领域，非欧几何也还是最有力的工具之一。

爱因斯坦

原始人在打制石器，制造木器

所以，如果说人类思维的头脑是宇宙中最美丽的花朵的话，那么数学就是这朵花的花蕊。

下面让我们来看一看这最美丽花朵的最精彩的部分是从哪里开始出现的吧。

到了原始社会晚期，人类已经开始有了数的概念。那时候，有些原始人已经知道并能运算大的整数，还有的能把数作为抽象概念来认识，但多数部落的人们还只能分辨一、二和许多，并没有更多的数学知识。随着生产和社会的发展，人们逐渐学会了采用特殊的字来代表个别的数，引入数的记号，甚至采用十、二十或五作为基底来表示较大的数量。这时也有了分数的概念。至于四则运算，则只限于小的数，在原始文明中，数学只限于在田地面积的粗略计算，简单交易，陶器上的几何图案，记时等方面运用。

原始人刀耕火种的生活状态

公元前3000年左右，古巴比伦开始有了较成体系的数学了。现在考古发现的古巴比伦泥版文书对研究数学史提供了有力的证据。这些泥版书是在胶泥软时刻上字然后晒干而成的，而那些尚未毁坏的就保存了下来。这些泥版书大抵制作于两段时期：有些制作于公元前2000年左右；而大部分是公元前600年到公元300年制作的。较早的泥版是用断面呈三角形的笔斜刻的，刻痕呈楔形，因此这种文字叫楔形文字。在楔形文字中，已经出现了从1到60的整数写法和记号。其中1和60的记号样子差不多，因为巴比伦人采用60为基底的进位记号。但这些记号组合在一起时还是可能引起误解，因为没有数的空位“零”是没有记号的。所以要弄清整个数字的确切数值，我们还得参考其他内容才行。

泥版和泥版上的楔形文字

古巴比伦人也会表示分数，但一组记号所表示的分数也可以作多种理解，这是一种混淆不清的表示法。在古巴比伦，10进位也是有的，还有的使用12进位，这同我们现在的小时用12进位，分、秒用60进位，英时用12进位，而普通计数用10进位是一样的。其中60进位制的分数用60乘幂的形式表示，这种写法一直沿用到16世纪欧洲文艺复兴时，才为10进制的小数所代替。

古巴比伦人也有表示平方、平方根、立方和立方根的数表。当方根是整数时，给出的是准确值。对于非整数的方根，相应的60进制数值只是近似的。不过，现在我们还没有根据证明巴比伦人已经有了无理数的概念。

在古巴比伦时代，求给定宽和高的一扇门对角线问题时出现了平方根。他们还给出了求平方根问题的其他近似解答。

古巴比伦神庙

早期巴比伦有一个代数基本问题，是求出一个数，使它与它的倒数之和等于已给定的数。这个问题的解答是要解一个二次方程。这说明巴比伦人已经知道二次方程求根的方法。由于巴比伦人不用负数，所以二次方程的负数根我们是看不到的。我们现在知道，巴比伦人可以解出含有五个未知量的五元一次方程来，包含十个未知量的问题是在校正天文观测数据中出现的。他们用一种特殊的方法结合各个方程，最后也算出了所有未知量。

在古巴比伦，经济对数学发展的影响是十分显著的，尽管人们的数学知识十分有限，但数学在他们生活中的作用却是不可忽视的。巴比伦位于古代贸易通道上，他们商业活动范围很广。巴比伦人就用他们的算术和简单代数知识来表示长度和重量，来兑换钱币和交换商品，来计算利息和税额，来给农民、教会和国家之间分配收获的粮食。现在发现的牵涉到数学的大多数楔形文字著作是关于经济问题的。可见，在巴比伦早期历史中，经济对数学发展的影响。其次，在工程建设上，需要用到计算。如挖运河，修堤坝，以及其他水利工程都要用到计算，关于砖的需要量问题就引起了许多数字计算和几何问题。房屋和谷仓的容积也需要计算。如果挖一条运河，横断面的长、宽、深是已知的，每人每天挖土量是已知的，那么就可以计算出所需要人数或工作天数来。这是巴比伦数学实际应用的一个例子。第三，巴比伦时期已经有了天文学的记录。在公元前700年左右，天文学中已经有了对现象的数学描述，并有了系统的观测数据记录。后来，数学在天文学上的应用多起来，特别是用于计算月球和行星的运动。从对月日观察数据所作的算术，可以看出巴比伦人计算了相继数据之间的一次和二次差分，并对数据进行了比较复杂的处理，使他们能预测各行星在每一天的位置。他们颇为准备地知道了一些行星的运动周期，并利用月亮的亏蚀现象来作为计算的基础。然而，在巴比伦人的天文学里，并没有对行星运动或月球运动给出几何模型，这说明古巴比伦的几何学发展远不如代数学。

世界地图

公元前7世纪的古巴比伦人凭想象刻画在泥板上的世界地图，地图上的楔形文字形容圆圈外面的未知世界“永无天日”。天文学有很多用处，其中重要一点是用它来算出历书。这是由太阳、月球和恒星的位置推定的。年、月、日这些天文数据要准确地算出，才能确定播种日和宗教节日。巴比伦人认为天体都是神，所以由祭司来掌管日历。巴比伦的日历是阴历，根据月亮的变化来确定日期。这是件复杂的事，因为它要取决于月球和太阳运行的速度和路径。然而聪明的古巴比伦人还是运用他们的数学准确地制订了历法，这种历法以后为犹太人、希腊人沿用，罗马人起初也沿用，直到公元前45年采用儒略历为止。

中国最早的历书——《夏小正》

在古巴比伦，占星术很兴盛，他们同古代其他文明社会中的人们一样，认为天体都是神，因而能影响甚至主宰人间的一切。这种迷信的占卜并不都用天文现象和知识来进行，巴比伦人认为数学本身就具有一种神秘性，因此可以用数学预卜未来。在《圣经》中可以看到巴比伦人预卜未来的做法。希伯来人的“科学”测字术（希伯来传统神秘主义的一种形式）就是根据巴比伦人的预卜术而来的。在《圣经》中，有一段伊索的预言，他说：狮子宣告巴比伦城的沦落，就是根据巴比伦的预卜学原则而得出的结论。

由于历史太久远了，我们无法得知巴比伦人在发展他们数学时的逻辑结构思想，我们只能知道他们根据事实边试边改得出的结果。但这已经是难能可贵了，因为任何事物在它最初形成和建立的阶段，都是最难最难的啊。

古埃及数学

在古埃及，文明在没有外来势力的影响下独自发展着。尼罗河为埃及人民带来一片肥沃的土壤，埃及人自古以来就靠耕种这片沃土谋生，创造着自己的文明和科学。

尼罗河

公元前3500年左右，埃及南北两个王国得到统一，直到公元前332年亚历山大大帝征服埃及前，它的文明一直沿着自己的道路前进着。古埃及人造出了几套自己的文字，其中有一套是象形文字，每个文字记号是某件东西的图形，直到公元纪元前后，埃及的象形文字还用在纪念碑文和器皿上。那时埃及人的书写方式是用墨水写在草片上，草片很容易干裂成粉末，所以除了铭刻在石头上的象形文字外，古埃及的文件很少保存下来。

现在我们能看到的古埃及数学文件主要是两批草片文书。一批保存在莫斯科，一批存于英国博物馆。这两批草片文书都是公元前1700年左右的东西。此外还存有写于这一时代及其后的一些草片文书的片断。这些文书中记载的数学问题和解答，在英国文书中有85个问题，在莫斯科文科中有25个问题。这些可能是那时人们在工作中碰到的问题，而由有知识的人做出解答。埃及人在公元前3500年就提出了这些问题，直到亚历山大大帝征服他们以前，埃及的数学没有太大的发展。

埃及的象形文字

古埃及人的象形文字也用来表示数学，从1到10000以至于更大的数都有相应的记号。书写的方式是从右向左。他们的算术是用叠加法，做加减法时，只是靠添上或划掉一些记号，以求得最后结果。乘除法也是化成叠加步骤来做的。古埃及人也有分数的概念，用一些特殊的记号来表示分数，他们总是把分数拆成一些基本单位分数。比如2/5写成1/3＋1/15。虽然没有加法记号，但从上下文可以看出是相加的意思。他们有个分数表，利用数表，可以把一比较复杂的分数表示成单位分数之和。像7/29就写成1/6＋1/24＋1/58＋1/87＋1/232。古埃及人利用单位分数对分数进行四则运算。他们的算术和代数所以没能发展到较高水平，分数运算繁复也应该是原因之一。

在草片文书中也有求未知量问题的解法，这个问题大体上相当于今天的一元一次方程。不过运用的方法是纯算术的，在埃及人的心中还没有形成解方程的独立学科。这一方程问题是这样的。“一个数量，它的2/3，它的1/2，它的1/7，它自身，加起来总共是33”。

埃及人用简单的算术来解决这个问题。草书中还有一个问题：“把700块面包分发给4人，第一人得2/3，第二人得1/2，第三人得1/3，第四人得1/4。”像这样的问题当然也是用算术方法来解决的。

古埃及的代数中实际上没有成套的记号，加法和减法用一个人走近和离去的腿形来表示。埃及的几何和算术也是合在一起的。埃及人也像巴比伦人一样，把几何看成实用工具。他们把算术和代数用来解有关面积、体积及其他几何性质的问题。由于尼罗河涨水而产生了古埃及的几何学，使埃及人研究出计算矩形、三角形和梯形面积的死方法。如计算三角形面积时，他们用一数乘以另一数的一半。但我们现在已无法判定他们的算法是否正确。因为从题中无法肯定相乘的两个数代表底和高还是只代表两条边。但他们对圆面积计算却好得惊人：

S＝（8d/9）（8d/9）其中d是直径。这就等于取π值为3.1605。

古埃及人只是用文字来记录他们的数学问题，他们的解题步骤基本上和我们在套用公式进行计算时的做法一样。比如对于棱台体积计算这样的几何问题，翻译出来大体上是这样的：“若有人告诉你，有棱台，高为6，底为4，顶为2。你就要取这4的平方，得结果为16。你要把4加倍，得结果8。你要取2的平方，得结果4，你要把16、8和4加起来，得28。你要取6的三分之一，得2。你要取28的两倍，得56。你看，它等于56。你可以知道它是对的。”

尼罗河沿岸的古墓遗址

一般认为，草片文书是按教科书的格式写给学生学习用的，也有人说是学生的笔记本，但可以肯定地说，草片文书所载的问题是当时商业人员和行政管理理人员应该解决的那类问题，而求解的方法是从工作经验中得出的实际法则。埃及人用数学来管理国家和教会事务，确定付给劳役者报酬，求谷仓的容积和田地的面积，征收按土地面积估出的地税，从一种度量单位换算成另一种度量单位，计算修造房屋和防御工程所需的材料数。草片文书中还有一些问题，计算酿造一定数量啤酒所需的谷物数量，以及用一种出酒率与他种谷物之比为已知的谷物酿出与他种谷物同样的酒所需的数量。

天狼星星系

古埃及数学的一个主要用途也是天文测量和计算，这从相当早就是这样了。尼罗河是埃及人生命的源泉，他们靠耕种河水泛滥后淤土覆盖的田地谋生，但他们也得准备好应付洪水的危害，因此就得预报洪水到来的日期。这就必须要知道洪水到来前的天象。

古埃及人靠观察天狼星算出太阳年的日子数。这颗星在夏季的某一天能在太阳快出来时的地平线上看到。以后，在太阳升起前可以在较长时间里看到它。把在太阳快升起时能看到它的一天，叫做天狼星的先阳升日，两个先阳升日之间大约相隔365.25天，因此埃及人早在公元前4241年就采用365日为一年。他们之所以集中观察天狼星，无疑是因为尼罗河水在那天开始上涨，而那一天也被定为一年的第一天。

埃及金字塔狮身人面像

古埃及人把他们的天文知识和几何知识结合起来用于建造他们的神庙，使一年里某几天的阳光能以特定方式照射到庙宇里。金字塔的方位也朝向天上特定的方向。如斯劳克斯的面则是朝东的。金字塔代表埃及人对几何的另一种用法，金字塔是帝王的陵墓。埃及人竭力使金字塔的底有正确的形状，底和高的尺寸比也有重大意义，用这样的最合适的建筑让帝王和王后死后居住得最满意。所以说，倘说数学是应人类需要而产和发展的，那么在古埃及，这一点是最明显不过了。

古希腊数学

在数学发展史上，古希腊数学是一支先锋力量，为数学的发展作出了巨大的贡献。

美丽的爱琴海

古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。公元前5－6世纪，特别是希波战争以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上产生了光辉灿烂的希腊文化，对后世有深远的影响。

爱琴海边错落有致的建筑

希腊数学的发展历史可以分为三个时期。第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前7世纪中叶到公元前3世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里得起到公元前146年，希腊陷于罗马为止；第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。

从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期留下来的数学史料很少。不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系。

泰勒斯的宇宙哲学图景

伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来的经验和文化。在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性，有利于思想自由而大胆地发展。城邦内部的斗争，帮助摆脱传统信念在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。这大大有助于科学和哲学从宗教分离开来。

米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡，泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加以发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。

泰勒斯头像

当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测一次日食，促使米太（在今黑海、里海之南）、吕底亚（今土耳其西部）两国停止战争，多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，使法老大为惊讶。

埃及金字塔

泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。

毕达哥拉斯为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部的克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个世纪之久。

信仰“数即万物”的毕达哥拉斯

毕达哥拉斯学派企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。他们以发现勾股定理（西方叫做毕达哥拉斯定理）闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。

这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来。他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，又注意到从1起连续的奇数和必为平方数等等，这既是算术问题，又和几何有关，他们还发现五种正多面体。

伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著的不同。前者研习数学并不单纯为了哲学的兴趣，同时也为了实用。而后者却不注重实际应用，将数学和宗教联系起来，想通过数学去探索永恒的真理。

雅典卫城

公元前5世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公开的精神。在公开的讨论或辩论中，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等知识，于是“智人学派”应运而生。他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。

在数学上，他们提出“三大问题”：三等分任意角；倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这些问题的难处，是作图只许用直尺（没有刻度的尺）和圆规。

希腊人的兴趣并不在于图形的实际作用，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。

这个学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8、16、32、……边形。安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割圆术思想不谋而合。

柏拉图

公元前3世纪，柏拉图在雅典建立学派，创办学园。他非常重视数学，但片面强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值。他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。

这个学派培养出不少数学家，如欧多克索斯就曾就学于柏拉图，他创立了比例论，是欧几里得的前驱。柏拉图的学生亚里士多德也是古代的大哲学家，是形式逻辑的奠基者。他的逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。

德谟克利特

这个时期的希腊数学中心还有以芝诺为代表的埃利亚学派，他提出四个悖论，给学术界以极大的震动。

以德谟克利特为代表的原子论学派，认为线段、面积和立体，是由许多不可再分的原子所构成。计算面积和体积，等于将这些原子集合起来。这种不甚严格的推理方法却是古代数学家发现新结果的重要线索。

埃及亚历山大城

公元前4世纪以后的希腊数学，逐渐脱离哲学和天文学，成为独立的学科。数学的历史于是进入一个新阶段——初等数学时期。

这个时期的特点是，数学（主要是几何学）已建立起自己的理论体系，从以实验和观察为依据的经验科学过渡到演绎的科学。由少数几个原始命题（公理）出发，通过逻辑推理得到一系列的定理。这是希腊数学的基本精神。

在这一时期里，初等几何、算术初等代数大体已成为独立的科目。和17世纪出现的解析几何学、微积分学相比，这一个时期的研究内容可以用“初等数学”来概括，因此叫做初等数学时期。

绝处逢生的亚历山大城

埃及的亚历山大城，是东西海陆交通的枢纽，又经过托勒密王的苦心经营，逐渐成为新的希腊文化中心，希腊本土这时已经退居次要地位。几何学最初萌芽于埃及，以后移植于伊奥尼亚，其次，繁盛于意大利和雅典，最后又回到发源地。经过这一番培植，已达到丰茂成林的境地。

雅典俯瞰

古希腊埃皮道罗斯剧场

从公元前4世纪到公元前146年古希腊灭亡，罗马成为地中海区域的统治者为止，希腊数学以亚历山大为中心，达到它的全盛时期。这里有巨大的图书馆和浓厚的学术空气，各地学者云集在此进行教学和研究。其中成就最大的是亚历山大前期三大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。

阿波罗尼奥斯（约公元前262～约前190）古希腊数学家。与欧几里得、阿基米德齐名。生于小亚细亚南岸的佩尔加。他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地。直到17世纪的帕斯卡和笛卡儿才有新的突破。《圆锥曲线论》共8卷，前4卷的希腊文本和其次3卷的阿拉伯文本保存了下来，最后一卷遗失。此书集前人之大成，且提出很多新的性质。他推广了梅内克缪斯（公元前4世纪，最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家）的方法，证明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、椭圆、双曲线、正交弦等名称。书中已有坐标制思想。他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，这给后世坐标几何的建立以很大的启发。他在解释太阳系内5大行星的运动时，提出了本轮均轮偏心模型，为托勒密的地心说提供了工具。

阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象的理论和工程技术的具体应用结合起来，又在实践中洞察事物的本质，通过严格的论证，使经验事实上升为理论。他根据力学原理去探求解决面积和体积问题，已经包含积分学的初步思想。阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的深入研究。

除了三大数学家以外，埃拉托斯特尼的大地测量和以他为名的“素数筛子”也很出名。天文学家喜帕恰斯制作“弦表”，是三角学的先导。

君士坦丁大帝

公元前146年以后，在罗马统治下的亚历山大学者仍能继承前人的工作，不断有所发明。海伦（约公元62）、门纳劳斯（约公元100）、帕普斯等人都有重要贡献。天文学家托勒密将喜帕恰斯的工作加以整理发挥，奠定了三角学的基础。

晚期的希腊学者在算术和代数方面也颇有建树，代表人物有尼科马霍斯（约公元100）和丢番图（约公元250）前者是杰拉什（今约旦北部）地方的人。著有《算术入门》，后者的《算术》是讲数的理论的，而大部分内容可以归入代数的范围。它完全脱离了几何的形式，在希腊数学中独树一帜，对后世影响之大，仅次于《几何原本》。

公元325年，罗马帝国的君士坦丁大帝开始利用宗教作为统治的工具，把一切学术都置于基督教神学的控制之下。

公元529年，东罗马帝国皇帝查士·丁尼下令关闭雅典的柏拉图学园以及其他学校，严禁传授数学。许多希腊学者逃到叙利亚和波斯等地。数学研究受到沉重的打击。公元641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆再次被毁，希腊数学至此告一段落。

柏拉图学园

知识就是力量。

——培—根：《新工具》