计算极限的转换方法

§1.2　计算极限的转换方法

上一节中，我们着重讨论了诸如洛必达法则、单调有界原理、Taylor展开的运用、夹逼定理等一些较常用的方法。现在我们继续介绍求极限的其他更多体现变换思想的方法。

一、利用压缩映象原理

首先我们介绍一个基本结果。

定理1　（压缩映象原理）设0<r<1以及A是两个常数，｛x_n｝是一个给定数列，只要数列｛x_n｝满足下述条款之一：

（1）｜x_n＋1－x_n｜≤r｜x_n－x_n－1｜

（2）｜x_n＋1－A｜≤r｜x_n－A｜

那么｛x_n｝必收敛。第（2）条款之下，。

证明　以（1）为例

应用Cauchy准则，知｛x_n｝收敛，或利用达朗贝尔判别法，知级数∑（x_n－x_n－1）绝对收敛，从而序列收敛。

当数列｛x_n｝是以递推关系x_n＋1＝f（x_n）给出时，我们首先会想到用单调有界原理去分析其收敛性，如§1.1的例14。而遇到交错单调情形，技术处理显得不够方便，如果能尝试压缩映象原理，往往能起到四两拔千斤的奇效。当递推函数f（x）可微时，由拉格朗日微分中值定理

｜x_n＋1－x_n｜＝｜f（x_n）－f（x_n－1）｜＝｜f′（ξ）｜｜x_n－x_n－1｜

故知：若f（x）在｛x_n｝值域范围内的导函数满足｜f′（ξ）｜≤r<1，则｛x_n｝必定收敛。

例1　续§1.1例14　x₁=1，之收敛性。

在第1节中用单调有界原理，分别讨论了奇子列｛x_2n－1｝和偶子列｛x_2n｝的单调性。现用压缩映象原理分析如下：

解　因为∀n＝1，2，…，恒有，故

，由压缩映象原理知｛x_n｝收敛。

或取。

在区间上，，同样保证存在。

在递推式的两边令n→＋∞，立得。

原来那么复杂的讨论忽然间变得如此简单，三言两语足矣！选择正确的解题方法可谓事半功倍。

例2　给定数列｛a_n｝如下：，讨论｛a_n｝的敛散性。若收敛，求出极限值。

分析　首先观察出｛a_n｝有如下的隔项递推关系式，（n≥1），但该数列以及其奇子列或偶子列都没有单调性质，故不适用单调有界原理。尝试压缩映象原理。

解二　因为，

故数列｛a_n｝⊂［1，3］之内。

所以。证毕。

二、利用定积分求和式极限

定理2　设f（x）在有限闭区间［a，b］上连续，将［a，b］n等分并作黎曼和数，则有

特别取［0，1］闭区间，有如下简化形式的结论

例3　求极限

分析　和式并非某个函数在［0，1］上的黎曼和数。设法利用放缩技术将其化归为积分和。

解　易知

而　，所求极限即为log₂e。

三、利用级数的收敛性

首先我们留意一下关于级数收敛性的耳熟能详的结论：

数项级数∑a_n收敛的必要条件是。

故对于某些包含较多乘积因子、阶乘、乘方结构的数列｛a_n｝而言，可以先转化为考虑级数∑a_n的收敛性。

定理3　若级数∑a_n收敛，则a_n→0（n→∞）。

例4　求

解一　先考虑正项级数！的敛散性，记，依达朗贝尔判别法知∑a_n收敛。从而。

解二　对乘积因子较多的数列，不妨用作商法探究其前后项的依赖关系。

例5　设a_n>0，求证。

分析　数列｛a_n｝仅有一个恒正条件，对于所求极限式难以直接入手分析，注意到欲证的是一个无穷小量，联系到数项级数收敛性，说不准还会柳暗花明。

证明　记，

　　　　

利用拆项相消思想

级数∑u_n的前n项部分和

单调递减且恒正，故limv_n存在。

从而∑u_n收敛，于是证得

若a_n含有较多乘积因子，我们往往会用达朗贝尔判别法或柯西根式判别法去判断级数∑a_n的敛散性。但当用达朗贝尔判别法或柯西根式判别法无法判定级数∑a_n的敛散性时，不妨试用拉贝判别法：

若，则p>1时，∑a_n收敛；p<1时，∑a_n发散。

拉贝判别法的证明详见§5.1。

例6　求极限

解　，故无法用达朗贝尔法判定。

又　

于是　∑a_n收敛，从而所求极限等于0。

证明　已知条件改写为，联想，直观地说，大小“差不多”。现对于任意取定的0<ε<p，再取p′满足p－ε<p′<p，则

故单调递减又恒正，故极限存在，极限值记为λ：，于是，进而

注1．在上述证明过程中，在p－ε和p之间取一个p′的方法可以形象地称其为“见缝插针”技术。

2．若依拉贝判别法通过级数收敛性去判定通项趋于零，要求。而通过定理4可知，只要p>0，就有。

例7　再证。

证一　

利用定理4立得欲证结果。

证二　替代发散级数，考虑新的级数，

仍由拉贝判别法，当p>2时级数收敛。

此时必有。从而得证。

例8　设，求证limx_n存在。

证明　，｛x_n｝的收敛性等价于级数的收敛性。

注意到　

知　收敛，从而limx_n存在。

四、Stolz变换和Toplitz变换

对于函数情形的型和型不定式，有洛必达法则可求极限。对数列情形的型不定式，除了将n置换成x再使用洛必达法则之外，还可以使用下面的Stolz变换。

定理5　若数列｛y_n｝单调增加趋于＋∞，

证明　∀ε>0，∃N，n>N时，有

即

由于｛y_n｝单调递增，知y_n－y_n－1>0，依次写出

（l－ε）（y_N＋1－y_N）<x_N＋1－x_N<（l＋ε）（y_N＋1－y_N）

（l－ε）（y_N＋2－y_N＋1）<x_N＋2－x_N＋1<（l＋ε）（y_N＋2－y_N＋1）

……

（l－ε）（y_N＋n－y_N＋n－1）<x_N＋n－x_N＋n－1<（l＋ε）（y_N＋n－y_N＋n－1）

上述n个式子相加，得

两边同除以y_N＋n：

令n→＋∞，

由ε的任意性知　

注　1．从（3）式出发，n→∞时，皆趋于0。

　　故一定存在N₁，使得n>N₁时，有

　　2．从（2）式，又有

　　而，亦得相应结论。

　　3．l＝＋∞时，Stolz公式依然成立。

　　4．针对型的不定式，Stolz公式具有如下的形式：

　　　设｛x_n｝趋于0，｛y_n｝单调减少趋于0，且

例9　已知x₀∈（0，π），x_n＝sinx_n－1，证明。

分析　据单调有界原理易知，现要证｛x_n｝跟是同阶无穷小量。为便于利用Stolz公式，将欲证关系式（乘积形式）等价变形为（商的形式）。

证明　取

此即等价于　。

例10　设x_n＋1＝x_n（1－qx_n），0<q≤1，，试证

证明　类似上一例的方法，等价于证明。由Stolz公式

故只需证　limx_n＝0

又　，得x₂＝x₁（1－qx₁）>0

，又得x₃＝x₂（1－qx₂）>0

……

一般地有。在递推关系式中令n→∞，立知l＝0。所以。

定理6　（Toplitz）设则

分析这个定理可以改成用矩阵的形式来表达：

式中三角无穷矩阵T的上三角部分为0，此变换称为Toplitz变换。定理5意指：

收敛数列｛x_n｝通过Toplitz变换T而得到的数列｛y_n｝必收敛，且与｛x_n｝有相同的极限值。

证明　∀ε>0∃n₀∀n>n₀有｜x_n－l｜<ε

又当1≤j≤n₀时，于是∃N>n₀，∀n>N有

0≤a_nj<ε（对1≤j≤n₀一致地成立）

当n>max｛n₀，N｝时，有

第一个和式用a_nj<ε及｜x_j－l｜的有界性，第二个和式用｜x_n－l｜<ε_。

详尽而严格的叙述留待读者给出。

例11　设p_i>0，i＝0，1，2，…，且，又知lims_n＝s_。

则　

证　令

由Toplitz定理立得结论。

注　应用Toplitz定理，关键在于构造一个Toplitz变换矩阵，其构造方法一般可以通过分析相关数列表达式的结构得出，最后验证所要满足的条件。对于例9，读者还可以用其它方法证明（如从ε-N定义出发），从一题多解中获得尽可能大的提高。

习题1.2

（武汉大学1999年）

3．求极限

4．求极限

5．若0<λ<1，a_n>0且lima_n＝a，试证

6．设x₁>0，x_n＋1＝ln（1＋x_n），试证。

9．讨论数列的敛散性。

10．设limx_n＝a，证明

11．设a_n>0，证明数列｛（1＋a₁）（1＋a₂）…（1＋a_n）｝收敛的充分必要条件是级数∑a_n收敛。

12．设数列｛a_n｝，｛b_n｝满足

　（1）b_n>0，∑b_n发散；（2）

　则

13．设f（x）定义于［a，＋∞）上，假设存在或为＋∞，则。

14．已知收敛，｛p_n｝单调增加正序列且趋于＋∞，求证

16．设f∈C¹（R），∀x₀∈R，定义x_n＋1＝f（x_n）。若0<f（x）≤M，且｜f′（x）｜<1，证明｛x_n｝收敛。

（北师大2003年）

17．设a，b>0，令a₁＝a，a₂＝b，，证明｛a_n｝收敛。

18．设∀a₀∈R，令

　（1）证明数列｛a_n｝收敛；

　（2）求出｛a_n｝的所有可能极限值；

　（3）将R分成若干个小区间，使得在同一个小区间内取初始值a₀时，数列｛a_n｝的极限值相等。

（华东师范大学2002年）