一致收敛级数的性质

在§5.2中我们着重讨论了函数列和函数项级数一致收敛性的判别法，如此浓彩重墨地刻划一致收敛性，究竟有什么用处？

让我们回忆连续、可导、可积的线性性质：

区间I上两个连续函数（可导函数，可积函数）的和仍连续（可导，可积）；

区间I上任意有限个连续函数（可导、可积函数）的和仍连续（可导，可积）。

那么，推广到无限个连续函数的和即函数项级数又如何呢？

从级数可以很快得出否定的结论。

一致收敛性恰恰是保证无限多个函数的和仍保持同种性质的充分条件。

这对于讨论级数形式表达的函数（其和函数的初等解析式往往无法求得，如）的分析性质非常有意义。

由于函数项级数和函数列完全可以通过部分和序列转化，级数的和函数相应于函数列的极限函数，故讨论一致收敛的性质时，我们以级数形式代表。

一、和函数的连续性

定理1　设u_n（x）在区间I上连续，∑u_n（x）在I上一致收敛，则和函数S（x）＝∑u_n（x）在I上连续。

拓广定理之一：设u_n（x）在（a，b）连续，∑u_n（x）在（a，b）内闭一致上敛，则和函数在（a，b）连续。

对于在（1，＋∞）上的连续性证明，就用到拓广形式。

用极限形式表述连续性

即

本质就是极限运算和无限和运算的换序问题，有限和情形的换序就是大家熟悉的极限的线性性质。

例1　证明在（－1，1）内连续。

证明　∀0<q<1，考虑级数在［－q，q］上的一致收敛性，当x∈［－q，q］时，

而由柯西根式判别法知收敛。

故原级数在［－q，q］上一致收敛。由拓广形式立得S（x）在（－1，1）内连续。

利用和函数连续性定理的逆否形式，还可以证明不一致收敛。

例2　试证级数在（0，1）内不一致收敛。

证一　级数余和，

取

故r_n（x）在（0，1）上不一致收敛于0。原结论得证。

证二　当0<x<1时，u_n（x）＝x²ⁿlnx是以x²为公比的等比级数。

和为，而S（1）＝0

由于u_n（x）＝x²ⁿlnx在x＝1连续，且级数在x＝1收敛，若在（0，1）一致收敛的话，一定有S（1－0）＝S（1），故矛盾。其中道理参见下述拓广形式之二。

拓广定理之二　设u_n（x）在［a，b］连续，∑u_n（x）在（a，b）内一致收敛，则其和函数在［a，b］连续。

或依据下述的逐项取极限定理：

注　该例若从和函数在开区间（0，1）的连续性则推不出在（0，1）内不一致收敛。

逐项取极限定理证明：

1°因∑u_n（x）在U⁰（x₀）内一致收敛，依Cauchy准则，∀ε>0，∃N>0，n>N时，∀p＝1，2，…，∀x∈U⁰（x₀），有

仍由Cauchy准则知级数∑c_n收敛，其和记为c。

2°补充定义u_n（x₀）＝c_n，则u_n（x）在x₀处连续，依1°证明，当n>N时，∀p＝1，2，…，∀x∈U（x₀），恒有

此即∑u_n（x）在U（x₀）内一致收敛，从而和函数S（x）在x₀处连续。

或分析：（当0<｜x－x₀｜<δ时）

例3　设函数列｛f_n｝在R上一致收敛于f，且f_n在R上一致连续，证明极限函数f也在R上一致连续。

又f_N在R上一致连续知，∃δ>0，∀x′，x″，只要｜x′－x″｜<δ，就有

因此：｜f（x′）－f（x″）｜≤｜f（x′）－f_N（x′）｜＋｜f_N（x′）－f_N（x″）｜＋｜f_N（x″）－f（x″）｜<ε

即f（x）在R上一致连续。

例4　设φ_n（x）满足

　　（1）φ_n（x）∈C［0，1］，φ_n（x）≥0；

　　（2）φ_n（1）＝1；

　　（3）∀x∈［0，1］，｛φ_n（x）｝关于n单调下降。

如果∑a_n收敛，则

证明　只要证明∑a_nφ_n（x）在［0，1］上一致收敛，由∑a_n收敛，又由（1）、（3）知，∀x∈［0，1］，∀n，有，由Abel判别法知∑a_nφ_n（x）在［0，1］上一致收敛，故

二、和函数的可积性及换序

函数列情形：设f_n∈C［a，b］且f_n⇒f（x∈［a，b］），则

例5　证明函数列

在［0，1］上一致收敛并且求极限。

证明　首先易求出｛f_n（x）｝的极限函数是，x∈［0，1］。

该极限函数在［0，1］上连续，f_n（x）也连续，故尝试用Dini定理或§5.2例6的结论来推证f_n⇒f，那么，判断｛f_n（x）｝∀x∈［0，1］关于n单调和｛f_n（x）｝∀n＝1，2，…是单调函数何者容易呢？

法一　令

，故g_n（x）↗

f_n（x）在［0，1］上严格单调递减，收敛于连续函数f（x）。由§2例6知，f_n⇒f_。于是，积分和极限可以换序：

法二　若∀x∈［0，1］，要考虑数列的单调性将难以处理（试一试）。

因为关于n是↘关于n又是↗，从而其和的单调性不明确。

若记，则易知

由Dini定理知，，进而由上一节§5.2习题8知。

这种证法充分利用了一致收敛的运算性质，值得大家留意。

注1°一致收敛只是积分号和极限可换序之充分条件，对于不一致收敛的函数列，结论可能真也可能不真。

又如f_n（x）＝nxe^－nx，x∈［0，1］，f_n→0但不一致收敛。

（因不趋近于0），但

2°逐项求和，逐项求导定理在级数求和（尤其是幂级数）中极为有用，以后详述。

三、和函数的可导性，逐项求导

定理3　给定函数项级数∑u_n（x），假若满足

（i）每项u_n（x）在［a，b］上连续可导（即导函数连续）；

（ii）∑u_n（x）至少在某点x₀收敛；

（iii）导级数∑u′_n（x）在［a，b］一致收敛。

则∑u_n（x）亦一致收敛，且

（∑u_n（x））′＝∑u′_n（x）

证明　转换成部分和函数列的等价命题如下：

［a，b］上函数列｛S_n（x）｝每一项都有连续导数，S_n（x₀）→A，｛S′_n（x）｝一致收敛于∑（x），则｛S_n（x）｝也一致收敛于S（x），并且S′（x）＝∑（x）。因为

令n→∞，由S′_n（x）⇒∑（x）得知S_n（x）的极限函数S（x）存在

故S′（x）＝∑（x）。又由于

易得出S_n（x）⇒S（x）（x∈［a，b］）。

注1　既然该定理的结论是∑u_n（x）一致收敛，那么条件（ii）在某点x₀收敛换为处处收敛无妨；

　2　若少了条件（iii），哪怕∑u_n（x）一致收敛，仍得不出逐项可导结论。

　　反例在R上一致收敛，逐项求导以后的级数却发散。

例6　给定级数试讨论其收敛性及和函数的可导性；并求。

解　先分析点态收敛性，易证（n→∞），故级数在（0，∞）上处处收敛。又通项

级数在（0，＋∞）上不一致收敛，但∀δ>0，当x∈［δ，＋∞）时，

知级数在［δ，＋∞）一致收敛。

下面考虑导级数的一致收敛情况，类似上述处理方法得出亦在［δ，＋∞）上一致收敛。

故S（x）在［δ，＋∞）上可导，由δ之任意性，立得S（x）在（0，＋∞）上可导（其实还是任意阶可导）。

最后，逐项求积分。

例7　（复旦大学1996年）设，试求：

（1）f（x）的连续范围；（2）f（x）的可导范围。

解　（1）利用Abel判别法取，b_n（x）＝e^－nx。

在［0，∞）上，｜e^－nx｜≤1一致有界，故在［0，∞）上原级数一致收敛，从而和函数在其定义域［0，∞）上处处连续。

（2）导级数

以下考虑导级数的一致收敛性，其余和记为r_n（x）

｜r_n（x）｜≤e^{－（n＋1）x}（因为关于n单调减趋于0）

限定x∈［δ，＋∞）（δ为任取之正数）知

｜r_n（x）｜≤e^{－（n＋1）x}≤e^{－（n＋1）δ}→0

得知导级数在［δ，＋∞）上一致收敛。所以原级数的和函数f（x）在［δ，＋∞）上可导，依δ之任意性得知f在（0，∞）上处处可导，且

注1．在x＝0处f（x）是否右可导呢？

若，则f_＋′（0）＝k，，所以

2．f（x）的解析式（即原级数的求和）。

　令u＝e^－x立得

即原级数的和函数是ln（1＋e^x）－x。

通过比较发现，利用现成的Taylor展开式求和是最快捷的途径！

四、杂例

例8　证明：若多项式序列｛p_n（x）｝在（－∞，＋∞）上一致收敛于连续函数f（x），则f（x）也必为多项式。

分析　由一致连续性，∃N，使n>N时，｜p_n（x）－p_N（x）｜<1（x∈R）

这表明p_n（x）（n>N）与p_N（x）只能相差一个常数。

证明　如上，∃c_n，stp_n（x）－p_N（x）＝c_n（n>N）

令

注　此例说明Weierstrass逼近定理：闭区间［a，b］上的连续函数可以用代数多项式p_n（x）一致逼近，在无穷区间R上不再成立。

解　易知级数∑c_n｜sin（x－x_n）｜在内一致收敛，

通项u_n（x）＝c_n｜sin（x－x_n）｜仅在一个点x_n处不可微。

其部分和序列则仅在点x₁，x₂，…，x_N处不可微，在其他点皆可微。

由x_N是｛x_n｝的孤立点知，∃δ_N>0，使，且∀n≠N，

。从而u_n（x）＝c_n｜sin（x－x_n）｜（等于c_nsin（x－x_n）或－c_nsin（x－x_n））在U（x_N，δ_N）内可微。

由∑c_n的绝对收敛性知，导级数在U（x_N，δ_N）内一致收敛。

因此在U（x_N，δ_N）内可微，进而在x_N点可微，于是f（x）在点x_N处不可微，（N＝1，2，…）。

由x不是｛x_n｝的聚点知，∃δ>0，使得U（x，δ）∩｛x_n｝＝⌀，类似前面讨论知，f（x）在点x处可微。

例10　设｛f_n（x）｝为［a，b］上一致收敛的连续函数列，则｛f_n（x）｝在［a，b］等度连续。

分析

｜f_n（x）－f_n（y）｜≤｜f_n（x）－f_N（x）｜＋｜f_N（x）－f_N（y）｜＋｜f_N（y）－f_n（y）｜故由一致收敛的Cauchy准则，∀ε>0，∃N，n≥N时，

而f_N在［a，b］上必一致连续，∃δ₀>0，当｜x－y｜<δ₀时，有

这样，n≥N时，∃δ₀>0，只要｜x－y｜<δ₀时，必有｜f_n（x）－f_n（y）｜<ε，当1≤n<N时，每个f_n（x）在［a，b］连续，进而一致连续，从而存在δ_n>0，当｜x－y｜<δ_n时，

｜f_n（x）－f_n（y）｜<ε（n＝1，2，…，N－1）

取δ＝min｛δ₀，δ₁，…，δ_N－1｝，当｜x－y｜<δ时，∀n≥1，有

｜f_n（x）－f_n（y）｜<ε

综合此结果与§5.2例9的注记，可知：

定理4　［a，b］上的连续函数列｛f_n｝一致收敛的充分必要条件是｛f_n｝是等度连续的。

在本节的最后，我们介绍一个由Weierstrass给出的处处连续却无处可导的函数的例子：

其中0<a<1，b是一个奇整数，且有。另外的一些例子还可以参阅［18］。

习题5.3

1．证明在R上处处连续。

2．求级数的收敛域，并求和函数。

3．设（1）∑u_n（x）在［a，b］收敛，在［a，b－δ］上一致收敛；

　　（2）u_n（x）连续；

　　（3）部分和一致有界，

则∑u_n（x）可以逐项求积

4．设f在R上任意阶可导，记g_n（x）＝f^（n）（x），在任何区间内，g_n（x）⇒φ（x）。

　证明φ（x）＝ce^x（c为常数）。

5．设函数f在R上任意阶可导，且。

6．假定｛φ_n（x）｝满足：

　（1）φ_n（x）在［－1，1］非负连续且；

　（2）∀c∈（0，1），｛φ_n（x）｝在［－1，－c］∪［c，1］一致收敛于0。

　证明：∀g∈C［－1，1］，有。

7．设对任意n，f_n（x）在［a，b］有界，且f_n⇒f，证明

　（1）f在［a，b］有界，（或等价命题f_n在［a，b］一致有界）

　（2）。

（华东师范大学1999年）

8．设f_n（x）在［a，b］上R-可积，且在［a，b］上一致收敛于f（x），则f（x）在［a，b］上也R-可积。

9．设f_n在［a，b］处处收敛，∀δ>0，｛f_n｝在［a，b－δ］上一致收敛，又存在［a，b］上的R-可积函数g（x），使得｜f_n（x）｜≤g（x）。试证：

注　试比较实变函数中的勒贝格控制收敛定理：

设E上可测函数列｛f_n（x）｝收敛于f（x），且存在L－可积函数g（x），使得

｜f_n（x）｜≤g（x）（x∈E）

则f（x）可积，且

没有一致收敛条件，却仍可以换序，这个结果当然更漂亮。

11．证明级数在［0，1］上一致收敛并且。

（上海大学1999年）

12．证明：（1）级数在R上一致收敛；

　（2）存在。

（东南大学1999年）

13．设。证明f（x）在x＝0处不可导。

（又及：在其他点处的可导性如何？）

14．设，证明f′_－（1）不存在。