第二型曲面积分

§7.4　第二型曲面积分

一、流量问题和第二型曲面积分的定义

1．平面稳定流动

设有流速场满足如下两条：

（1）流速仅与位置有关而与时间无关；

（2）在垂直于底面的直线上，各点的流速相等，并且都平行于底面。

我们就称其为平面稳定流动。流速场可以表示为。

对平面流速场内与底面平行的任一平面上的闭合的无重点光滑曲线C，计算单位时间内流过曲线C的流体面积或说流量μ。

在曲线C上任取小弧段Δs，在Δt时间内流过Δs的流体面积近似于平行四边形的面积。一边为Δs，另一边为，面积为

其中为曲线C的单位外法向量。

在单位时间内流过小弧段Δs的流体面积近似于，从而单位时间内流过整个曲线C的流体面积为。

图7-5

设＝｛cosα，cosβ｝，则有若记τ为曲线的切线的倾角，则cosα＝sinτ，cosβ＝－cosτ，则有

依格林公式又有，D为光滑曲线C围成的区域。

2．空间稳定流动

仍设空间流速场的流速仅与位置有关而与时间无关。

曲面∑取定一侧的单位法向量是

在曲面∑上任取小曲面片ΔS，在Δt时间内流过ΔS的流体体积近似为

图7-6

在单位时间内流过小曲面片ΔS的流量近似于，从而单位时间内流过整个曲面∑的总流量为

3．第二型曲面积分的定义

定义1　设∑是空间内一个光滑曲面，是曲面∑取定一侧的单位法向量。是确定在∑上的向量场。如果下列各式右边的积分存在，我们就定义

并分别称之为P，Q，R沿曲面∑的第二型曲面积分，而称

二、第二型曲面积分的计算

1．曲面法向量预备知识

（1）正则曲面

设曲面∑：z＝φ（x，y）（x，y）∈D，若φ（x，y）在D上有连续的一阶偏导数，称∑为正则曲面。在∑上一点M（x，y，z）处，法向量是

而相应的单位法向量为

“＋”号代表朝上法向量，“－”号代表朝下法向量。

（2）参数曲面

此时曲面的侧和±号如何对应？不妨取曲面上特殊的点加以判断。

2．化第二型曲面积分为二重积分

（1）正则曲面

∑：z＝φ（x，y）（x，y）∈D

有以下计算公式

以及

上述（6）（7）式中的正负号分别对应曲面的上下侧。对于一般正则曲面，正号对应曲面的上、前、右侧，负号对应曲面的下、后、左侧。

式中　。

注　当正则曲面具有方程y＝φ（x，z）（x，z）∈D或x＝ω（y，z）（y，z）∈D时，（6）—（7）式都有相应的对称形式，要灵活运用。相对而言，公式（8）具有高度的概括性，形式简洁优美。

（2）参数曲面

如果光滑曲面∑由参数方程给出：

在D上各点它们的函数行列式

不同时为零，则

上述三式中的正负号分别对应曲面的两个侧，当uv平面的正方向对应于曲面∑选定的侧时，取正号。而且只要将解读为（5″）式、解读为以曲面参数方程代入，则公式（8）对于参数曲面仍成立。

3．化第二型曲面积分为三重积分（奥高公式）

设空间三维单连通区域Ω的边界曲面∑分块光滑，函数P，Q，R在Ω及∑上具有连续偏导数。则有

其中封闭曲面∑取外侧。特别地，Ω的体积公式

∑取外侧。

试比较平面闭曲线C围成的区域的面积是

闭曲线C取正向。

4．Stokes公式

Stokes公式建立了空间曲面积分与其边界上的曲线积分的关系。

设分片光滑曲面∑的边界C是按段光滑的连续曲线，若函数P，Q，R在∑及其边界C上一阶连续可偏导，则

式中为与曲面∑选定的侧相应的单位法向量。C的方向与∑的侧依右手法则确定。

曲线C可以作为不同曲面的边界曲线，在运用时要注意选取较简单的曲面如平面片等。大多数情形下，Stokes公式用来求第二型曲线积分。

引人向量场的旋度

为边界线的单位切向量，为曲面∑选定的侧的单位法向量，则Stokes公式可写为

三、空间曲线积分与路径无关性

设Ω⊂R³为空间单连通区域，函数P，Q，R在Ω上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的。

（1）对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L有

（2）对于Ω内任一按段光滑的曲线L，曲线积分

　与路径无关。

（3）存在函数u，使得

du＝Pdx＋Qdy＋Rdz

（4）在Ω内处处成立。

例1　计算积分，∑：x²＋y²＝R²，z＝h及三个坐标面围成的第一卦限部分区域的外侧。

解一　利用类似于（6）的公式（正则曲面的自变量有所不同）

柱面∑₁：x²＋y²＝R²，x≥0，y≥0，0≤z≤h

显式方程是　

法向量是，外侧即前侧故取正号。

其他四块平面片上的积分易算。

解二　用奥高公式。

然后可用柱面坐标变换求之。

例2　计算积分，其中∑是球面x²＋y²＋z²＝a²在第一卦限部分并取外侧。

解一　球面方程写为：

球面外侧即为上侧，公式（6）中取正号。所求积分

极坐标变换x＝rcosθ，y＝rsinθ，得

对于积分，令r＝sint，化为

所以

解二　球面方程写为：

解三　球面用参数方程写为

由（9）式有

其中

积分是在正侧进行，（14）式右端取正号，即

解四　补形法，用奥高公式。

球面在第一卦限部分补上三块坐标平面的四分之一圆域，记为S₁，S₂，S₃，并取外侧。所得封闭曲面记为∑^*，由奥高公式

而不难看出

故

例3　计算线积分，其中L为上半球面x²＋y²＋z²＝1，z≥0与柱面x²＋y²＝x的交线，从z轴正向往下看，L取逆时针方向。

解一　用S表示上半球面在x²＋y²＝x内的部分之上侧，则L恰为S的边界，且符合右手定则，可以利用Stokes公式进行处理，

解二　用Δ表示柱面夹在上半球面与xy平面之间的部分以及xy平面中x²＋y²≤x内的部分，则L亦为Δ的边界。

也可利用Stokes公式在分片光滑曲间Δ上求解之。

解三　柱面与球面的交线为

得参数方程

利用参数方程可直接求得积分值。

解四　L的参数方程亦可取为

例4　应用Stokes公式，计算曲线积分。

其中C为圆周x²＋y²＋z²＝a²，x＋y＋z＝0，若从Ox轴的正向看去，圆周依逆时针方向。

解　平面x＋y＋z＝0的法线的方向余弦为

于是由Stokes公式

直接计算：需要写出曲线C的参数方程

则依定义，曲线积分

注　1．本题在§7.3例1中已经出现过，为了凸显其中蕴含的数学思想的重要性，我们再做一次强化。解法处理上有一些细微的差别，读者可以仔细地体会。

2．两种解法的计算工作量真是天壤之别！我们在动手解题之前，应多思考有哪几种可能的解题路径，预判各不同解法的可能工作量（难度，繁度），然后正式求解。而不是想到一种解法就马上去做。平时生活、工作也一样，要注意效率问题，所谓三思而后行。

例5　计算曲面积分

其中∑是曲面｜x－y＋z｜＋｜y－z＋x｜＋｜z－x＋y｜＝1的外表面。

分析　首先应该明确∑到底是怎样的曲面，作变换

则∑变成为｜u｜＋｜v｜＋｜w｜＝1的外侧，恰为一对称正八面体的表面。应用Gauss公式便有

V是∑的内部区域。在如上坐标变换下，记V′：｜u｜＋｜v｜＋｜w｜≤1，我们有

例6　计算Gauss曲面积分

其中S是光滑封闭曲面，原点不在S上，r是S上动点至原点的距离，是动点处曲面S的外法线方向与径向量的夹角。

分析

原点相对于S的位置则是问题的关键。

（1）若原点在S之外部，应用Gauss公式，得

由于

得

从而I＝0。

（2）若原点在S之内部，则不能直接引用Gauss公式，而要将原点“挖去”，再用Gauss公式（上种情形告诉我们化成三重积分时，被积函数为零）。记以原点为心，ε>0（充分小）为半径的球面为Γ_ε，并取ε充分小，以便Γ_ε全部落入S所围区域的内部，则，表示球面Γ_ε的内侧，表示球面Γ_ε的外侧。

例7　若u＝u（x，y，z）在封闭光滑曲面∑所围成的空间区域Ω内有二阶连续偏导数且

则对于∑所围成区域Ω内部的任一点M₀（x₀，y₀，z₀），有

或写成

其中为M₀到∑上动点M（x，y，z）的矢径为曲面∑在M点的单位外法向量。

（提示：在所给条件下，

Γ_ε为以M₀（x₀，y₀，z₀）为中心，ε为半径的含于Ω内部的任一球面。）

解

经计算得

从而

令ε→0，得

习题7.4

1．计算第二型曲面积分

　　∑为立方体界面｜x｜≤2，｜y｜≤2，｜z｜≤2，取外侧；

（2）

　　∑为｜x－y＋z｜＋｜y－z＋x｜＋｜z－x＋y｜＝1的外表面；

（3），其中

　　∑为锥面之在xy坐标平面上方的部分，取外侧。

（4）

　　∑为曲面y＝x²＋z²与平面y＝1，y＝2所围立体表面的外侧。

2．设u（x，y，z）在空间区域V内有直到二阶连续偏导数，证明：在V内任何封闭光滑曲面S上的积分的充分必要条件是

3．（格林第二公式）设Ω是由光滑曲面∑所围成的空间区域。为曲面∑的单位外法向量，u（x，y，z），v（x，y，z）在Ω内有二阶连续偏导数。则有

4．设函数u（x，y，z）在闭单位球V：x²＋y²＋z²≤1内存在二阶连续偏导数，

　证明：

　其中为单位球面的外法向量。

5．设f（u）具有连续导数，计算积分

　其中∑为x>0的锥面y²＋z²－x²＝0与球面x²＋y²＋z²＝1、x²＋y²＋z²＝4所围立体表面的外侧。

6．设f（u）在［－a，a］上具有连续导数，∑为曲面｜x｜＋｜y｜＋｜z｜＝a，取外侧。

　（1）将曲面积分化为定积分；

　（2）又设f（a）＝f（－a），试证：