含参变量常义积分

§8.2　含参变量常义积分

一、连续性守恒

定理1　设f（x，y）在a≤x≤b，y∈I，上连续，（I为任意形式的区间）则是I上的连续函数。

等价表达式：∀y₀∈I，

该性质的证明需用到有界闭区域上连续函数的一致连续性。（证明从略）。

关于广义含参积分的连续性守恒下一段里再述。

二、积分和积分换序（二重积分化为累次积分）

定理2　设f（x，y）在矩形［a，b；c，d］连续，则

三、积分和求导换序

定理3　若f（x，y），f′_y（x，y）在a≤x≤b，y∈I上连续，则

（1）

四、函数列及函数项级数的积分换序

定理4　设f_n（x）∈［a，b］，且f_n（x）⇒f（x）（n→＋∞时一致收敛）则

定理5　函数项级数的逐项积分。

设u_n（x）∈C［a，b］且一致收敛于s（x），则

注　定理5即为定理4的推论，且为积分线性性质的推广。

例1　研究函数的连续性，其中f（x）是［0，1］上的正值连续函数。

证一　作为对照，不妨回忆一下极限部分的峰值函数情形，参阅§1.3例14。

f（x）是［0，＋∞）上的有界连续函数，则成立有

此式为含参变量的广义积分，在§1.3中已经证明。

思考　是否仍能成立？较为关键的一步是

扩充定义f（x）于［0，＋∞）上有界且连续如：当x≥1时，令f（x）≡f（1），则

而F（0）＝0显而易见，故F（y）在y＝0点不连续。

证二　记

当y≠0时，被积函数连续，由连续性守恒知F（y）只在y＝0点不连续。

例2　求极限

解　（1）因为α，1＋α，1＋x²＋α²皆连续，故也在－∞<α<＋∞上连续。

所以

（2）构造二元函数

易知f（x，y）在正方形［0，1；0，1］上连续。利用连续性守恒知：

例3　设函数f（x）在闭区间［a，A］上连续，证明

证明　因为f（x）∈C［a，A］，故f（x）存在原函数，记F（x）为f（x）的某个原函数，

　　

注　思考方向独特，不往f′（x）考虑，因为题目没有f（x）可导的条件，不适用洛必达法则。故而往f（x）的原函数方向考虑。

例4　设，其中a<b，f（y）为可微函数。求F^″（x）。

解　

而当x≤a时，，于是F″（x）＝0。

注　遇到含有绝对值的问题，往往通过分段方法去掉绝对值。

例5　求积分（a，b>0）。

分析　首先被积函数当x→0和x→1时分别有极限0和b－a，故该积分可视为含有两个参量的常义积分。

解一　

解二　视b为参变量，对含参积分I（a，b）关于b进行求导运算：

，关于b积分，得

I（a，b）＝ln（1＋b）＋J（a）

类似地，视a为参变量，对含参积分I（a，b）关于a进行求导运算：

J（a）＝－ln（1＋a）＋c，得

代入初始条件I（a，a）＝0，得c＝0。于是

例6　计算积分。

解二　引入参量α：，积分号下求导：

所以　

例7　利用公式。

解　

所以上述积分可以换序，得

所以

习题8.2

1．证明：不连续函数f（x，y）＝sgn（x－y）的积分

为连续函数。

2．设f（x）连续，求F^（n）（x）。

3．设有函数，

　其中v（y）连续，

　证明u″（x）＝－v（x）（0≤x≤1）。

　（提示：先化掉一个参数）

6．设证明f′（0）＝0。