欧拉积分·广义积分的计算

§8.4　欧拉积分·广义积分的计算

广义积分的计算除了利用定积分的一些常用方法如牛顿－莱布尼兹公式、换元法、分部积分法、递推法以外，还有许多极富特色的独到的解法。本节在介绍欧拉积分的同时，着重讲解一些特殊的广义积分的计算方法。

一、欧拉积分之Γ函数

2.Γ函数的其他形式

（1）在定义式（1）中，令x＝y²得

（2）在定义式（1）中，令z＝e^－x得

3．递推关系　

只要知道Γ（s）在0<s≤1上的值，即可得所有的Γ（s）值。甚至可以据将Γ（s）定义域推广到集合上去。

二、欧拉积分之Β函数

1．定义式　

2．B函数的其他形式

（1）在定义式（5）中，令x＝sin²θ得

对

所以又有

3．递推关系

当p>0，q>1时，

证明　

移项立得。

当p>1，q>1时，

据此，只要知道B（p，q）在0<p≤1；0<q≤1上的值，即可得所有的B（p，q）的值。

三、B函数和Γ函数的转换关系

证明需用到反常二重积分的极坐标变换，可参阅文献［7］。

四、Γ函数余元公式

当0<α<1时，有

如何计算积分利用幂级数展开：

当0<x<1时，在区间［0，x］上可逐项求积分

右边级数在x＝1处收敛，令x＝1，又得：

（参见［7］下册第十四章§1习题3，上面推导亦可以直接在［0，x］逐项积分）

类似地：

于是

另一方面，据cosαx的Fourier级数展开式：

令x＝0得出：

从而得出余元公式

五、Γ函数的欧拉－高斯表示

本段我们将介绍一个非常有趣的公式，即Γ函数的欧拉－高斯表示公式：

证明　据Γ函数的变形式（3）：

注意到单调递增，于是极限和积分可以换序：

令z＝yⁿ，最终得到

六、广义积分的计算

下面我们通过一些精选的例题讲解广义积分的非常规计算方法。不求全面，力求富有特色。

例1　计算概率积分。

解一　利用二重积分的极坐标变换，记，则

解二　利用含参量积分的换序，

从而

依§8.3定理3知上述积分可以换序，于是

解三　利用迫敛性及Wallis公式。

因为t≠0时有e^t>1＋t，

进而，将此式积分有

上式左端令x＝sinθ，右端令x＝tanθ，积分都可以化为的形式，而，得到

两边平方：

应用Wallis公式

解四　利用一致收敛函数序列的性质。基于

令，得

例2　计算积分。

解一　分部积分法

解二　引入含参数积分（a>0）

利用上述积分在a>0的内闭一致收敛性，得出可导性：

故　

最后，令a＝1，还原为非含参数积分。

解三　令y²＝x，原积分可以还原为Γ函数

例3　求下列积分：

配方法：

方法二　化为

（2）方法一　令

所以　

方法二　令x⁴＝t

或直接将区间（0，∞）上的积分，通过变换化为区间（0，1）上的积分

或令sin²x＝t，即，

例4　利用计算Fresnel积分：。

解　令x²＝t，

　　

（因为收敛）但在t＝0端点处，sint因子是至关重要的。

注　对于积分求值而言，sint因子在积分号的里面还是外面，效果是一样的，但对于一致收敛性而言，sint因子在积分号的里面还是外面，其作用截然不同。

从一致收敛的定义出发，∀ε>0找M>0，st∀G>M，∀0≤t≤A有

分析　

分段技术：

当0≤t≤ε²时，∀G>0

当ε²≤t≤A时，

因为收敛，∃N>0，st∀B≥N有，

于是（15）式成立。

对于

因为　

当0≤u≤1时，

在（16）式中令A→＋∞，得

所求的Fresnel积分

解二　引入一个“收敛因子”e^－kt，令

由Abel判别法，知上述无穷积分在k≥0上一致收敛。补充被积函数在t＝0时的值为0，则被积函数在t≥0，k≥0上连续。于是F（k）在k≥0上连续。

下证当k>0时以下换序式成立：

因为收敛。

又依解法一，类似得

在t≥0上一致收敛（定义出发）。再考虑的收敛性。

从而相关积分绝对收敛，故换序式（17）得以成立。

（17）

所以在k≥0上一致收敛。

下面考虑另一个著名的积分———拉普拉斯积分。

例5　求积分（α，β>0）。

解一　利用公式

该积分能否换序呢？

思考　

的一致收敛性。

因为　

所以　

依§8.3的定理11，换序的条件并不具备。但在参考文献［6］的522段，却进行了强制的换序：

计算的结果是正确的，但过程的严密性笔者认为值得商榷。

对于另一个积分J，在求导运算和积分运算可以交换时，有。欲可交换，考虑J关于参数β的一致收敛性。基于J（β）∀β>0都不绝对收敛（理由见下），故Weierstrass法不适用。

收敛，从而J（β）不绝对收敛。

现用Dirichlet判别法

当x→∞时，g（x，β）单调一致趋于0，而∀A>0，

在β>0上，并非一致有界。但在β≥β₀>0上，则是一致有界。所以J（β）在β>0上内闭一致收敛。

（请读者思考J（β）在（0，＋∞）上是否不一致收敛？）

从而∀β>0，有

若积分可以换序（先换了再说），

那（20）式的换序能否成立呢？

通过内闭一致收敛和有限区间上积分来转化：任取0<a<A

详见［6］（第二卷524段）。

解三　从解法一已知，L′（β）＝－J，往下不能求二阶导数，注意到

于是

在这个积分号之下再关于β求导，则仍可以换序，

此为关于L（β）的二阶常系数线性微分方程。通解为

L（β）＝C₁e^αβ＋C₂e^－αβ

但

得C₁＝0

例6　设a，b>0，计算。

　　

对于

在为单值对应，

可得

故

对于

于是

所以

解二　

于是

显而易见，解法二要比解法一简洁得多。这也提醒我们，面对一个问题（不论是数学的或非数学的）时，发散思维、优化解法是多么重要！

七、付茹兰尼（G·Froullani）公式

在积分的计算中，可以利用化为累次积分，然后换序。

一般地形如的积分如何求呢？

若在a≤y≤b上一致收敛。则有

但当f仅仅连续时，又将如何？此时有如下的G.Froullani公式。

定理5　设f在［0，＋∞）内连续，a>0，b>0。考虑积分

有如下的结果：

（1）若存在，则

（2）若∀A>0，积分存在，则

（3）若∀A>0，积分与极限f（＋∞）都存在，则

证明　∀0<r<R<＋∞

其中ξ∈（ar，br），η∈（aR，bR）

当r→0^＋，R→＋∞时，得（21）；

又　　　　证毕

注　G. Froullani公式有三种不同的条件、结果，较难记住。理解其证明的思想将有助于我们去记忆和使用。

下面我们通过例题说明G.Froullani公式的应用。

例7　求下列积分（a>0，b>0）：

解　（1）法一　利用在a≤y≤b上一致收敛，从而

法二　利用G.Froullani公式，取f（u）＝e^－u，f（0）＝1，f（＋∞）＝0，立得同样结论。

（2）取f（u）＝ln（p＋qe^－u），f（0）＝ln（p＋q），f（＋∞）＝lnp，利用G.Froullani公式立得所求积分值是。

有时并不能直接用G.Froullani公式，而要对积分式加以改造才行。请看下列。

例8　求积分（a>0，b>0）

解　分部积分法

　　

为了体现广义积分计算方法的灵活多变，我们最后再看两个例子。

例9　设a>0，b>0，求下列两个积分：

分析　此题从形式上看和例7的第（1）小题很相像，解法上当然也有一些可借鉴之处。

解　（1）法一　化为二次积分

因为　；

　

法二　凑微分法

以下即例7之（1），再用G.Froullani公式就方便了。

（2）法一　直接利用

法二　利用分部积分法

　　

（上述两种解法都使用了概率积分）

法三　利用积分号下求导，视b为参变量，改记为t：

在t≥a>0上一致收敛，从而

，又，故，从而，所以所求积分为。

例10　计算积分

解　（1）利用三角函数的积化和差公式

直接利用G. Froullani公式得

（2）采用分部积分法及积化和差

利用Dirichlet积分得

特别当0<α≤β时，。此时积分值居然和β无关，个中缘由值得我们深思。

对于广义积分计算方法大的方向性的套路我们就介绍到此。有时广义积分的计算非常灵巧，一题多解更是屡见不鲜。读者朋友欲熟练地掌握这些方法，除了平时要多模仿，多练习之外，更需要从数学思维的层次上多去领悟，逐渐将其演变为自身的数学素养。

习题8.4

1．求。

2．设a>0，b>0，求积分：

3．利用（∑>0，n为自然数）。

4．利用已知积分求下列积分：

5．设α₀，α₁，α₂，…，α_n皆为正数，且。则

6．证明：

最后，笔者谨借老子枟道德经枠的第六十三章作为本书的结束，希望以此和各位读者共勉：

为无为，事无事，味无味。

大小多少。报怨以德。

图难于其易，为大于其细；

天下难事，必作于易；

天下大事，必作于细。

是以圣人终不为大，故能成其大。

夫轻诺必寡信，多易必多难。

是以圣人犹难之，故终无难矣。