负数的解方程教程

前面，我们已经提到，自然数与分数的产生，可以说都是很自然的事情。但是数的概念接下来的这一次扩展，就不再是自然的了。因为这需要人们突破0的障碍，认识到存在“比没有还要少”的数。认识到这一点并不是一件容易的事。虽然在我们学过负数后，慢慢地就不再觉得它有什么特别奇特的，但是在此之前，如果问你：“有没有比0更小的数？”你会觉得如何呢？你会不会感到有些困惑：“0就表示什么也没有了，比0还小能表示什么呢？”；也许你觉得这实在是一个很傻的问题：比没有还小怎么可能呢？确实，对于这种问题，恐怕没有几个学生会给出肯定的回答！对于古代人来说，迈出这一步就更是一件困难的事情了。

在西方围绕负数存在问题的争论曾持续了很长时间。

在西方数学史上，“代数学的鼻祖”丢番图第一次引入了负数运算法则。他规定：消耗数乘以消耗数得到增添数，消耗数乘以增添数得到消耗数。如果把他所说的消耗数和增添数看作我们熟悉的负数和正数，那么可以认为他已经掌握了正负数的乘法运算法则。他还把这些法则应用到方程上面。他已经能识别方程的实根、有理根和正根，但是，他只接受正有理根，负根与无理根都被他忽略了。甚至当二次方程有两个正根时，他也只给出较大的一个。

比如说丢番图认为4＝4x＋20

是一种不可能的类型，他认为所提的问题是荒谬的。

虽然存在着局限，丢番图的思想在西方已是远远超越于时代了，以致于在他身后许多世纪后人们都未能接受他的观念，事实上他的观念被西方人慢慢地遗忘了。

丢番图以后，西方在极长的时间内都没有人再引入负数的概念。欧洲第一个给出负数正确合理解释的是我们前面已经多次提到的意大利数学家斐波那契。他用负债对负数进行了解释。但此后，欧洲大多数数学家并不因为他的这一解释方式而改变对负数的态度。多数西方数学家仍对负数抱以排斥的态度，不承认它们是数，更不承认是方程的根。

下面我们可以罗列一些18世纪之前的西方数学家对负数的态度与认识。

15世纪的数学家N·楚亏特将负数归为荒唐的数。16世纪，“代数学之父”韦达还不承认负数的合法地位，并曾提出应把负数从数学中取消。他在解方程时，如果碰到了负数，就把它舍去。17世纪法国著名数学家帕斯卡也说：如果我们从0拿去4，那么0还会留下什么？他认为：“从0减去4纯粹是胡说。”同时代的神学家兼数学家阿尔诺作过有趣的论证，认为如果承认负数，那么就会有这样的式子：（－1）／1＝1／（－1），小数与大数之比怎么能等于大数与小数之比呢？这是“不可思议的”。这一问题在当时竟然困惑了许多数学家。

除了对负数持完全排斥的这种态度外，当时人们的另一种普遍心态是既拒又迎的矛盾观念。

德国数学家史提菲1544年发表的《整数算术》中引入了负数和负数运算。对负数，他把它看作实在的数来用，把负数命名为：比零小的数。这样的名称使许多与其同时代的人困惑了。他们认为，既然零表示什么也没有，那么小于零就怎么也不可能。这就稍许影响了负数的普遍使用。他本人明显地建立了负数的思想，并且作出了正数、负数的乘法和除法的表格。虽然运用负数，但他还是声称负数是“荒谬的”，只有正数才是真正的数。自零减去零上数所得到的是“无稽的零下”。关于零的问题他说，零是位于真正的数和荒谬的数之间。只是在某些情况下，他才承认负数存在的合理性：“正如我们想象一个数有不同的根，尽管它并没有这些根，但是这样想象对于在数学中应用高次幂是有益的；同样地，我们想象比零还小的数也不是没有好处的。”应该说，他是实用派。他接受负数是由于负数在数学的某些方面上是有用的。

还有一些数学家的对负数的矛盾态度表现为：同意把负数当作一种形式上的符号使用，但不承认它们是真正的数。如：16世纪意大利数学家卡尔达诺（对这位奇特的数学家我们还将在后面的章节中与他相遇）在解方程时把负数作为一种方程的解，但他认为这是作为一种不可能的回答，仅仅是一些记号。换言之，他认为负根是虚拟的，不是方程真正的根。当解方程中不得不面对它时，他就把它们视为一种有用的符号来使用。莱布尼兹对负数的态度同样是动摇的，他一方面支持阿尔诺的反对意见，另一方面却又承认式子－1：1＝1：－1在形式上是正确的。解析几何创始人法国数学家笛卡尔，1637年建立了坐标系。负数本应由此非常自然地被引入，但事实却并非如此。笛卡尔本人并不打算接受负数。他称方程的负数根为“假根”，因为它们代表比没有还要少的数，但是，他又指出给定一个方程，可以得到另外一个方程，使它的根比原方程的根大任何一个数量。于是一个有负根的方程就可以化成一个有正根的方程。基于这一点，他指出：既然我们可以把假根转化为真根，那么负数也是可以勉强接受的，但他并不认为它们真正存在。至于如同我们现在所学习的那样，将负数引入坐标系，使负数具有几何意义，从而获得实际解释，那是后来的事情了。

事实上，在18世纪以前，明确表示承认负数，并认为它们在数学中有用的西方数学家是极为少见的。我们这里可以提到几位。最早把负数单独地写在方程的一边，在方程中出现负数的是哈里奥特，但他不承认负根。邦贝利给出了负数的明确定义，但他却不能证明负数的运算法则。斯蒂芬在方程中用到了正数和负数系数并且承认负根的存在。他提出，负数在计算中有用，应允许负数作方程的根。1629年荷兰的吉拉德则更进了一步，在他发表的《代数的新发明》一书中表明，他对负数的知识超过当时任何其他人。在书中他把负数和正数同等对待，等量齐观，认为两者都有同等存在的权利。他承认负根，如在二次方程的两个根均为负数的情况下也给出两根。他还在笛卡尔的《几何学》之前八年便指出了负根在几何中的应用，并曾推断出n次方程有n个根的结果，但并无证明。

总之，虽然从1650年以后，人们对负数的运用已十分自由了。但在16、17世纪，在西方并没有多少数学家心安理得地使用或者承认负数，更谈不上承认它们可以作为方程的真实的根。当时的人对负数还存在一些古怪的认识。如在接受负数存在方面超过他所处时代的沃利斯认为负数大于无穷大同时小于零。他是这样论证的：当a是一个正数时，比值a／0是无穷大，那么把分母变成负数，即在a／b中，b为负数时，这个比就应该大于a／0，因为分母比0要小，所以这个比就是大于无穷大的。可见，他对负数的概念和逻辑基础都还不太清楚。

进入18世纪时还是有许多数学家们反对其应用。在18世纪，突出的反对者是英国数学家马塞雷。

他在1759年发表的“专论在代数中使用负号”一文中指出如何避开负数（除了要表示从较小的数减去较大的数所得的差以外），尤其是避开方程的负根，他把二次方程仔细分类，使得有负根的方程单独进行考虑；当然，负根必须舍去。对于三次方程他也同样处理。然后他说到：“就我们所能判断的而言，它们只会把方程的整个理论搞糊涂，而且把一些就其本质说来是出奇地明显简单的东西搞得晦涩难懂、玄妙莫测……因此很希望代数里决不容许有负根，或者说再一次把它们从代数里驱逐出去；因为如果这样做了，那么就有很好的理由去设想，那些现在被许多知识渊博、机敏过人的人用来进行代数运算的、模糊不清并和一些几乎是不能理解的概念纠缠在一起的东西，从此将从代数中清除掉；一定会使代数（或普通的算术），就其本性而言，在简洁明了和证明能力方面，成为不亚于几何的一门科学。”

除他外，法国著名几何学家卡诺坚持认为，负数的使用将导致谬误的结论。

理性时代的伟大学者之一达朗贝尔在《百科全书》一书中关于负数的表述，反映了他所处的时代人们对待接受这一带来麻烦的新数的普遍态度。他说：“不管我们如何看待这些量，负数的代数运算法则已普遍地为人们所接受并被认为是正确的”“导致负数解的问题意味着假设的某些部分原本是错误的，但都被假定为正确的。”在他关于负量的论文中，他又说：“得到一个负数解意味着该数的反面（相应的正数）是所需的解。”

由此可见，即便是没有多少人直接反对这种新型的数了，但由于负数缺乏严格的逻辑基础，在整个18世纪它仍然是困扰着数学家们的一个难题。对负数的这种态度甚至延续到了19世纪。

他举一个问题来解释他的话，父亲56岁，他的儿子29岁，问什么时候，父亲的岁数将是儿子的2倍？他解方程56＋x＝2（29＋x），得x＝－2。因此他说，这个结果是荒唐的。接着他又说，但是，如果x把换成－x，解方程56－x＝2（29－x），我们就得到。他总结道，在解方程中出现负根是由于最初问题的提出就是错误的，解答为负数表明方程的列法是不正确的。当一个问题的答案是负的时候，他认为在产生这个结果的方程里变换一下x的符号，就可以发现形成那个方程的方法有错误，或可证明问题的提法大受局限，因而可以扩展，使之容许一个令人满意的答案。他固执地认为考虑比0小的数是荒谬的。

但是，这种无视负数在广泛场合应用的观点已不再有更多的支持者。对负数存在合理性的异议之声已日渐稀少了。到19世纪上半叶，人们对负数的认识已取得了较为一致的看法。

当我们回顾西方对待负数的态度的转变时，我们注意到，1831年，数学王子高斯的一段总结性的话：“早年的代数学家叫方程的负根为假根，当与它们有关的问题是用这样的方式来表达，即所求的量的性质不能有相反的量时，这个讲法的确是真实的。然而，正如分数对许多可数的东西毫无意义可言，而我们却在广义的算术里毫不踌躇地就承认了它一样，我们不应该只因为有无数的东西不许有其相反的量，就否认负数有同于正数的权利。因为在其他无数的场合中，负数也具有合宜的解释，所以它的真实性就得到充分的佐证了。这些事情都早已得到承认了……”

这一段话，言简意赅地说明了负数在西方开始被拒绝的原因与后来又被接受的理由。西方人开始时不能接受负数，是由于在众多场合下负数是没有意义的。比如一个方程的未知数代表的是正方形的边长，那么如果方程的解是负数，我们就理所应当地拒绝承认这一解答结果，正如我们现在所做的那样将其舍去。这样做是完全合理的。但是负数在某些场合下没有意义，并不是我们否认它存在的理由。因为“在其他无数的场合中，负数也具有合宜的解释”。随着数学的发展，负数可以应用的场合越来越多，并且这种应用的结果总是成功的。这样，负数的“真实性就得到充分的佐证”。西方多数人对待负数的态度也就经历了：由拒绝，到心存顾虑的把它看作是形式上有效的符号，到最后的承认。可见，西方人对负数概念的接受是非常缓慢的过程。随着负数应用场合的日渐扩大与应用方面的成功，负数概念本身才被认可。

当我们把目光转向东方时，我们会惊讶地发现东西方对负数概念的认识上，形成了一个非常鲜明的对照。

在我国，负的本意是亏欠、亏损之意。负数出现的初期正是与计算结果出现亏欠或者不足，以及因某种过失而受到处罚等实际生活中的事例有关，常和“少”“负”等词相联系的。现代出土的汉简中的有关例子反映了负数的这种早期形态。可见，在我国负数的出现和发展有着深刻的社会背景，负数概念正是从“少”和“负”等实际应用事例中抽象出来的。事实上，在这些早期汉简中不仅有了负数的概念，而且包括了负数加减运算的例子。经过进一步的实践与认识的提高，到最迟成书于公元1世纪下半叶的古代数学名著《九章算术》一书中，我国形成了对负数概念的明确认识。在这部书的“方程章”中，提出正负数的概念。书中明确指出，如果“卖”是正，则“买”是负；如果“余钱”是正，则“不足钱”就是负。这正是通过生活中的实例对负数概念进行合理的解释。到公元263年，我国数学家刘徽注释《九章算术》时进一步指出：两算得失相反，要令“正”、“负”以别之。这是刘徽给出的负数定义。其意思是说，在列方程时，由于所给数量可能具有相反意义，因而不但需要正数，还需要引入负数以作区分。这个定义表示，正负是互相依存的，相对的。正是相对于负而言为正，负是相对于正而言为负，它已经摆脱了以盈为正，以欠为负的相互观念，非常抽象。

与中国相类似，古印度也较早提出了负数概念。公元628年印度数学家婆罗摩及多用“财产”表示正数，用“欠债”表示负数。他也是在用生活中的实例来阐明负数的概念。12世纪印度数学家婆什迦罗进一步讨论负数，他把负数叫做“负债”或“损失”。由此可见，印度对负数的引入也是由于认识到在生活中存在着相反意义量，出于实践的需要，为了解决实际问题，从而提出了与正数相对应的负数概念。

由此可见，在东方引入负数概念时没有经过太大的周折，人们很早就形成并接受了负数的概念。如上所述，我国至迟到1世纪下半叶时，有了明确的负数概念，到3世纪时我国数学家对负数概念的理解已是非常成熟。对晚于我国的古印度来说，到7世纪时已有了明确的负数概念。而前面我们提到负数概念在西方被认可却经历了极长的时间。两相对照，我们实在有必要问一下：导致这种巨大差别的原因究竟是什么呢？这种差别是如何造成的呢？东方在接受负数概念上为什么能够领先西方如此早呢？下面，就让我们去探究其中的几点原因吧。

在我国，有几方面原因对负数概念的提出起到了促进作用。

先来看看社会因素。我国到汉朝时社会生产力大大提高。现实生活中具有相反意义的量不断出现，引发了人们对正、负数的思考；实践中提出众多的与负数有关的问题，使负数概念的产生成为一件必要的事。从现存的西汉时期的汉简中可以得到证实。

此外，由于实践的需要，在秦汉时期我国实际生活中已经提出了许多需要借助于一次多元方程组才能解决的问题。为了解决实际的需要，布列并求解一次多元方程组已是不可回避的重大课题。正是对这一问题的研究，为数学内部产生出负数概念提供了直接的推动力。

前面我们已经提到，我国古代传统数学到明代以前都是运用算筹进行计算的，中国古代的筹算决不限于简单的数值计算，而是发展了一套内容十分丰富的“筹式”演算，这些演算实际上可以看作是一套程序化的算法。

对于多元一次方程组也不例外。古代中国数学家为了解决这类问题，先将有关数据按一定的规则排列成为一个数码方阵，称之为“方程”（注意，在我国古代，“方程”是特指我们现在的多元一次方程组，或线性方程组），随后规定了一套解的方法，或说算法，这种算法类似于现在所谓矩阵初等变换。这种算法需要在“方程”中进行两行之间的相加或相减，这就不可避免要碰上小数减去大数的情况，如果不引入负数，那么整个算法就不能保证顺利进行。换言之，在解题过程中为了消元，当减数大于被减数时在正数范围内的减法运算就不能通行无阻，因而负数的引入势在必行。而要保证这种机械化的算法能畅行无阻，就必须引进负数和建立正负数的运算法则。由方程章所给出的多元一次方程组的解法引入负数概念在我国是很自然的事情。

另外，我国古代方程术是为了解决更多的实际问题。倘不引入负数，对社会所提出的许多问题就无法列出方程组，从而也就无法借助于布列方程组的方法给以解决，或者说，方程术就只能应用于很少一部分方程。这样，所谓的方程术在应用的广泛程度方面必将受到重大影响。这也使得方程组中方程的系数出现负数是必要的。

换言之，我国是在引入一次多元方程组的过程中与负数概念正面相遇的。正是多元一次方程组的引入与求解，促使我国古代较早接受了负数的存在。

以上两点，是我国很早引入负数的数学内部因素。

另外，我国数学家具有的实用态度也是重要原因。东方数学比较注重实用，而不太注意逻辑的严密性。我国最早产生负数是为了解决生活中越来越多出现的亏欠、负债等现实问题，是实践的需要。实际的需要是提出负数的依据，负数应用的成功提供了对负数引入最好的支持与保障。在东方，人们对有用的就引入使用，并没有纠缠于负数存在的逻辑基础问题，或过多考虑其中可能存在的更深刻的矛盾。在下一章中我们还将更深入地介绍这一点。

再有一点需要稍微提及的是，我国传统哲学中的辩证观念也深刻影响了我国对负数概念的深刻理解。我国传统哲学注重阴阳对立，矛盾双方相反相成等观点。刘徽接受并将这些观念运用于数学中。在正负数上，刘徽就是从阴阳对立双方相反相成的观点出发进行论述的。

比如他在方程章正负术注文中指出：“凡正负所以记其同异，使二品互相取而已矣。言负者未必负于少，言正者未必正于多。故每一行之中虽复赤黑异算无伤。”在这些话中，刘徽指出了：正与负是相对的，称“负”的未必就是少，称“正”的未必就是多，所以称之为正与负，不过是为了区分具有相反意义的量使它们互相取用而已。就是说，刘徽认为方程中，负数不一定表示少，正数不一定表示多，因此，不仅一行中可以正负数交错，而且消元时，可以使参与消元的两行相应的项异号（如同号，可使其中一行所有系数统统改变符号，相当于以－1遍乘）。为了消元的方便，每一行的符号可以根据需要确定。由此，两行相减可以变成相加。这实际上是从非数学角度说明了我们所熟知的结论：方程每一项都改变符号，整个方程不变。

正是由于刘徽注重从阴阳对立双方的相反相成的关系中观察问题，才使他对正负数的认识完全摆脱了以收盈为正、支付为负的具体生活意义而进入到揭示其本质的理性抽象，才会对负数做出前面我们提到的定义“今两算得失相反，要令正负以名之。”这种对正负数的认识，如同苏联著名数学史家尤什凯维奇在《中国学者在数学领域中的成就》中指出的，它“超出了其他国家的科学几世纪之久”，如比刘徽晚得多的印度婆罗门笈多当时对负数的认识还仅停留在“负债”等具体生活意义的水平上。

与我国相对照，有利于引入负数的条件在西方却都不具备。

在西方，早期研究的是一元多次方程问题。在这类方程的求解中，负数是可以通过某种方式回避开的。他们在早期并没有研究一次多元方程组问题，这就缺乏了直接面对负数的机会。因此，西方失去了在数学内部产生负数的最大可能。

此外，部分西方数学家囿于旧有的观念，无法接受当负数引入数学中后，出现的一些奇妙结论。比如说，小数可以减大数，两数相加可能越加越小，小数比大数等于大数比小数等等。这在负数引入之前都是不可想象的事。由于无法接受负数的这些奇特性质，负数在西方引入过程中迎来的是更多的反对声。

不过，更为重要的原因或许在于东西方在数学基本观念上的差别。西方数学家继承了古希腊的数学传统，不像中国数学家那样注重实用，而是比较强调严密的逻辑。因而，虽然西方人也会经常面对生活中具有相对意义的量，他们的数学观念却阻碍了他们从实践中产生出负数概念的可能。可以说，正是西方数学传统中具有的对逻辑严密性的情有独钟的倾向，阻碍了西方人对负数的认可。于是在负数严格的逻辑基础并未能建立起来的19世纪之前，众多著名的西方数学家只能在如下意义上接受负数：负数具有形式上的意义，而没有什么真实的内容，负数并不是真正的数，负数与负数的运算式子不过是为了应付数学运算的需要而构造出来的。当负数在解决实际问题与数学本身问题中已显出日益重要的作用时，许多西方数学家对待负数的态度上仍然抱有矛盾心态。事实上，对于有用但却缺乏严格逻辑基础的数学对象抱一种矛盾的心态在西方数学家身上是很普遍的事情。由于某些数学对象有用，在数学中也往往无可避免，于是他们不得不使用。但他们的这种使用是不情愿的，始终抱着一种怀疑的态度。随着这些数学对象使用场合的日益增多，实用派在某一阶段后就开始占据上风。但在严格的逻辑基础建立之前，怀疑与反对的声音始终不会停止。

正因此，西方负数概念产生并被接受是如此晚的事情也就不难理解了。

以上我们所涉及的主要是东西方在对待负数概念方面存在的巨大差异。如果我们把目光转向负数的应用范围上时，我们将发现东西方却有着非常相似的地方。

我们前面已经提到过，西方对方程的负根是不承认的。在这一方面，我国的做法是完全相同的。从产生负数的公元1世纪到我国数学最鼎盛的宋元时期，在对待方程的负根方面是一致的，即不承认负根。事实上，到宋元时期当数学家已经能够解决高次方程的求解问题时，他们所求得的解还只是正根，即便有多个正根时，也往往只求出其中的一个正根。对负根更是根本不去考虑的。因而，我们说在对待负根上，我国古代也没有向前迈出一步。

12世纪印度数学家婆什迦罗首次迈出了一小步，他指出：“正数、负数的平方为正数；正数的平方根有两个，一正一负。”然而，在具体使用负数时，他还是有顾忌的。如在给出一个问题的两个解是50和－5时，他说：“这里第二个根不适宜，因为人们不赞成负数的解，故弃去。”他承认二次方程有两个根，但当负根出现时，他总舍去不用。可见，他在处理负根方面还远远没有我们现在如此随便。

此外，我们现在对方程系数的正负并不作区分，是同样对待的。比如说，二次方程的一般形式我们可以记作ax2＋bx＋c＝0其中的系数a、b、c可正可负，就是说我们对系数的正负是一视同仁的。然而，在古代，无论东西方，迈出这一步都是非常不容易的事情。

在西方，代数学之父韦达最早引入新型的代数，即字母系数，正如我们现在所使用的那样。事实上，正是由于在字母系数上做出的这一极为重要的贡献，使他获得了代数学之父的称号。但令我们感到惊讶的是，他拒绝用字母系数表示负数。当然，他对负数的否认态度我们前面已经提到过了。这揭示了即使人类最优秀的头脑，也存在着严重的局限性。直到1657年，赫德才允许了字母系数既可以代表负数，又可以代表正数，从此以后，西方数学家们才开始自由地使用它。

在我国，虽说《九章算术》中就已经引入了负数，但是直到12世纪北宋数学家刘益引入负系数开方式之前，在数学著作中，负数仅用于方程术即线性方程组解法。如《九章算术》中说“如方程，以正负术入之”。

我国在处理一元高次方程上情况与西方大体相同。当面对一元高次方程时也是要求各项系数为正。直到1113年宋代的刘益才提出正负开方法。杨辉曾对此评价说：“引用带从开方、正负、损益之法，前古之所未闻也。”“带从益隅开方，实冠前古”。不过，刘益所做的还只限于允许最高项的系数为负。此后，我国古代开始研究方程系数为负的情况。先是最高次项系数可负，后来次项系数也可以为负数。到秦九韶时，为了解方程的方便，他把方程写成我们现在一边是一个多项式，另一端为零的形式。并且他明确规定“实常为负”，即规定常数项总为负值。直到数学家李冶时方程的各项系数、常数项才被允许都可正可负。古代对待负数的敏感与小心翼翼的态度还表现在解方程中。现在，我们解方程时对过程中系数符号的变化根本不去注意，事实上也没有必要注意，但在古代却不是如此。当时对解方程过程中系数符号的变化是特别注意的。对解方程过程中出现的特殊情形，分别起了一些名称。比如，前面提到刘益推广传统的带从平方到“负方”和“益隅”两个类型，并且提出在开方过程中，有时须要“翻积”，使数字二次方程的解法获得更进一步的发展。秦九韶在解方程中，当常数项改变了符号，即由他所规定的为负变为正，他称为换骨；当符号不变而绝对值加大时称为投胎。李冶时又研究了更多的情况，如倒积倒从等。到朱世杰时对这些变化都不再明白指出。这样，到宋元时期我国古代数学家已掌握了任意数字方程正根的方法。由这种缓慢的进步中，我们能够看到一项突破性的成果的获得在历史上是何等的不易，即便这项成果在现在看来是非常的简单。

由此可见，对负数可以应用的场合问题，无论东方还是西方都经历了一个慢慢地发展过程。负数作为方程的系数与负根的接受都是缓慢的。对此，我们来探究一下其中的原因。

第一点，由于几何图形具有明显的直观性，因而在古代把代数问题转化为几何问题是非常普遍的倾向。事实上，西方早期的代数大多时候是几何的附属。对于我们所熟知的代数结论，当时都是用几何方法来表示与证明的。因而，西方代数被称为“代数几何”。在我国传统数学中，本质上并不存在代数与几何的严格区分。在绝大多数场合，二者是结合在一起的，这两方面的问题、方法以及相关的概念交织在一起，成为独具特色的中国传统数学理论体系中引人注目的特征。形数结合是中国传统数学的基本方法与思想。从现传最早的关于三次方程的专著、唐初王孝通《缉古算经》，直到12世纪天元术创立以前，建立代数方程时一直要求对各项系数给出几何解释，而这一传统正是从刘徽开始的。在建立二次及三次方程时，这种形数结合的方法是颇具启发意义的，尤其是在缺乏适当的代数符号的情况下，借助几何意义建立代数方程和对解题过程提供解释几乎可以说是条必由之路。

在这种情况下，方程的系数就与几何量联系在一起了。正是由于对古代许多民族来说，数是与距离、面积和体积的量度紧密联系的。代数的法则通常用几何的术语进行思考，诸如将各种面积拼补粘合。而距离、面积、边长、体积等等几何量当然不可以取负数。因而不把－5这样的对象看做一个数是有相当理由的。

事实上，我们对方程系数可为负数的研究，正是北宋贾宪等人脱离开方的几何直观，从二项式系数找出数值规律，创立了可开任意高次幂的“增乘开方法”之后才开始的。从此之后，人们可以自由地造出一些与实际无关的方程了。当人们向壁虚构方程时，意味着数学向抽象化方向迈出了一大步。

古代排斥负数的另一个重要原因是，在古代，无论东西方，所面对的方程往往都是实际生活中所产生的问题。它具有实际意义。在这种情况下，得到方程的负根，往往就不合乎题意，而要舍去。这正如我们解应用题时所做的那样。根据应用题，先是列出方程，解方程，最后得到解以后，要根据实际情况验根。负根大都是不合要求的，要舍去。简言之，在当时方程的负根确实没有什么实际意义。因而被人们所抛弃是正常的。负根具有的重要意义，是在数学自身发展中显现出来的。

在古代，人们列方程、解方程都是与生活中提出的实际问题相联系的。因而人们对负根的舍去就是自然与合理的了。只有当后来，人们解方程不再与实际问题直接相联，而是为解方程而解方程，就像为数学而数学，为艺术而艺术一样后，才开始从理论角度考虑方程根的情况。这时，方程的负根才被认可。

从这一问题的探讨中，我们可以说为数学而数学的态度也是完全必要的。这是数学发展到一定时期的必然结果。它对数学自身的发展来说也是极其重要的。

在转入负数运算的讨论之前，我们再简单介绍一下负数的记法。

刘徽在注文中给出了表示负数的巧妙而有效的办法。他说：“正算赤，负算黑。否则以邪（斜）正为异。”意思是说，用红色的算筹表示正数，用黑色的算筹表示负数。如果用同色筹，就用正放着的算筹表示正数，斜放的算筹表示负数。用这样的方法来区别正负数。

为了区别正数与负数，还有在数的上面放置箭头，并使箭头成为相反的方向等方法。

另一方面，在17世纪的吉拉德就开始用减号来表示负数。到18世纪时，在代数中应用负数（用负号作标记）最终流传开来，