无理数的解决方案

让我们先来看一下古希腊。

在《几何原本》关于比例论的第五篇中先是借助于五个公理建立了量的概念。用现代的记法，这五个公理是：

1.若a＝b，c＝b，则a＝c；

2.若a＝c，则a＋b＝c＋b

3.若a＝c，则a－b＝c－b

4.彼此重合的东西是相等的

5.整体大于部分

这样的结论对于我们来说是太更平常了。（当然，看上去平常的东西并不一定是容易作出的，想想哥伦布鸡蛋吧）但有一点需要注意，对于我们学习过代数的现代人来说，我们往往非常自然地会把上面式子中出现的字母当作任意数。但在欧多克索斯那里，这代表的只是量，而量与数是不同的，量可以代表连续对象，如线段、面积、体积、角、时间等。而当时的数却只能代表离散对象即整数或整数之比。我们现在理解的数与量的统一，在他那里被肢解了。这所导致的后果我们在后面将要提到。

在引入公理之后，又引入了几个定义。如定义3：如果能把两个量a、b中的任一量倍增后超过另一个量，则a、b有一个比。这一公理说的是什么意思呢？举一个简单的例子。比如说有两个可表为数5与1001的量。由于5增加到201倍后可以超过1001。于是，就称这两个量有一个比。这个比是人们早已熟知的可通约量。这一定义似乎真得很平凡无奇的。不过，认真分析一下，你会发现这一公理的非凡之处：它实际上允许了不可通约量的存在。比如对正方形对角线与边长这两个量来说，因为正方形的边长在增加两倍后就可以超过其对角线，所以现在对两者就可以定义一个比了。也就是说，他所创造的同类量之间的比这一新的数学对象，突破了毕达哥拉斯认为只有可公度量才可以比的限制。这样，任意两个有限量都有比，而不必考虑是否可公度了。需要注意的一点是：对于我们而言这个“比”就是一个数，可通约时对应一个有理数，不可通约时对应的是一个无理数。但这种认识却完全不属于古希腊人。对他们来说，无理数作为数是不能被接受的。他们绕了一个大圈子，只是为了要避开无理数这一怪物，但却要保留住与之相关的一些结论。令人称奇的是，他们竟然成功了。他们通过几何方法实现了这一点。上述定义是迈出的第一步。为了能够展开研究，还需要进一步定义两个比间的关系。定义4给出了两个比相等的定义。

这一定义可叙述如下：“所谓四个量成等比，即第一个量与第二个量之比等于第三个量与第四个量之比，是指：当取第一、第三两个量的任何相同的倍数，并取第二、第四两个量的任何相同的倍数时，前两个量的倍数之间的小于、等于或大于的关系是否成立，取决于后两个量的倍数之间的相应关系是否成立。”

正是这个语言叙述起来显得复杂并难以理解的定义，被誉为数学史上的一个里程碑。

这个定义的贡献在于：如果在只知道有理数而不知道无理数的情况下，它指出可以用全部大于某数和全部小于某数的有理数来定义该数，从而使可通约量与不可公度量都能参加运算。不可公度线段的存在曾被称为“逻辑上的丑闻”，而今这一“丑闻”已经被巧妙地消除了。

对于欧多克索斯的比例理论，我是很满足地把自己局限于极有限的一点常识上的。如我知道欧多克索斯建立了新的比例论，用几何方法解决了无理数诞生所带来的数学危机；人们认为这是古代希腊数学中最值得夸耀的理论等。一言一蔽之，这个理论很重要，但对这一理论究竟是怎么一回事，为什么欧多克索斯会如此下定义，这一关键性的定义何以如此重要，古希腊人又是如何从这些看似古怪的定义入手建立起一套比例论的等一系列的疑问，我真的没有多大的兴趣了。我的数学头脑还不足以胜任深入研究《几何原本》来得到一个清晰的答案。不过，我却很乐意引述自己偶然看到的一个故事来说明真正的数学家对此的意见。

这是捷克斯洛伐克数学家波尔察诺讲述的一个关于他本人的故事。故事说的是他在布拉格度假，那时他正在生病，浑身发冷，疼痛难忍。为了分散注意力，他拿起了欧几里得的《几何原本》，第一次阅读关于欧多克索斯比例理论的精彩论述，其高明的处理方法使他无比兴奋，以致于从病痛中完全解脱出来。后来，当朋友生病时，他总是推荐阅读欧几里得解释的欧多克索斯的比例理论，将其作为一个治疗的妙方。

这样的故事对你来说是否真得很有趣，先放在一边。我想说的是，由此我受到的一个启发。以前我曾想过“数学家是什么样的人？”这样一个问题。现在，我有了一个定义：所谓数学家就是那种能够用欧多克索斯比例理论来当作治疗病痛妙方的人。

你有兴趣用这种“尺子”来衡量一下你自己吗？或许你如同我一样，明白自己离数学家实在是太远了，于是像我一样就此打住。但或许你有着更好的数学头脑或者是更强的好奇心，那么你不妨认真阅读一下《几何原本》，去搞明白什么样的东西能够打动一个数学家的心吧。

题外话少说，让我们转回到刚才的正题。

欧多克索斯建立的这个纯粹几何性的比例理论，通过定义量的比和比例，把比例理论推广到了不可通约量。为处理无理数提供了逻辑依据，包括弥补了毕达哥拉斯学派的相似三角形理论，从而挽救了整个希腊数学，把希腊数学从危机中解脱出来。但这种解决问题的方式，却是通过避免直接出现无理数，生硬地把数和量肢解开来实现的。这一做法深深影响了其后希腊数学的发展方向。

最重要的影响是，它建立了其后希腊数学中几何对算术的绝对优势。因为欧多克索斯理论只是建立了几何（量）的理论，尤其解决问题的比例理论的基础是建筑在几何量的基础上。而对无理数是否是数采取了完全回避的方式。这样，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。例如，讨论正方形的边长和对角线之比是可行的，因为这已经建立在严格的欧多克索斯比例理论基础之上了。但若像我们所通常所做的那样，设正方形的边长为1，根据毕达哥拉斯定理，求得对角线长度为，从而引入这样的数，在古希腊就是非法的。因为关于无理数，没有可靠的逻辑基础。对古希腊人来说，这类数在几何上是清楚的，但放在算术中，就变得非常神秘莫测了。因而，希腊人认为，最好回避这类数字处理，而全神贯注于通过简明的几何体来表达量。就这样，几何对算术的优势将支配希腊数学达千年之久。

无理数作为一种客观存在，许多民族在数学发展过程中都与它不期而遇了。我们已经看到，无理数的出现在古希腊引起了很大的风波。其间对无理数的认识经过了一波三折的曲折过程。对于古希腊人这种似乎是自找苦吃的解决方式的进一步评价，我们暂且搁在一边。让我们转回头去看看东方的解决方案吧。

在我国，早在《九章算术》少广章中已经提到：若开之不尽者，为不可开，当以面命之。

由于我国古代汉语过于简略，以致于往往对同一句子后人会产生歧义。对于这句简单的话，不同的研究者有不同的理解。一种观点认为：面就是边，以面命之，就是对开方开不尽的，取一分数，以面作为分母，以其根命名一个分数。于是，以面命之，即指可取

另一种观点认为，在不可开的情形中，《九章算术》以面命之，是把开方开不尽的数命名为“面”，这样就定义了一个无理数。

其实无论接受上述何种理解，我们都可以看到我国古代在处理无理数问题时所采取方式尤其是对待无理数的态度是与古希腊截然不同的。

由于数学背景的不同，在发现“开方不尽”这一类数的存在时，我国古代人的态度是非常坦然的：有这种数吗？好吧，我们承认就是了。他们根本没有过分纠缠于这是不是数的问题，而是径直地接受了它的存在，甚至坦然到根本没有考虑这与以前所见到的有理数之间存在什么样的本质区别。这对我国古代人来说是很自然的。因为在我国，数学研究侧重于实用的计算技术，在数的理论方面却是漠然置之。这或许是由于民族特性的差异，或许只是由于历史原因所造成的，这里我们暂不去深究其详。需要指出的只是，中国古代在发现开方不尽的数的存在后，很快将重点转向考虑在实际中如何去使用这一类数。于是，如何求出这类数的更精确的近似值成为中国古代数学家专注的目标。

在刘徽以前有人已提出：当出现方根开不尽时，可取平方根的近似值刘徽认为，这是十分不准确的。刘徽在注中又提出用不足及过剩近似值来表示：

为了求出更准确的近似值，刘徽还提出了十进分数的光辉思想。（对此，我们前面章节中已有讲述）他指出可以用一再退借算，相当于取小数的办法，以获取平方根值达到所需要精度。他说：“其数可举，不以面命之，加定法如前，来其微数。向数无名者以为分子，在全退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。”这一段话不但提供了求平方根尾数的具体可行的方法，而且还体现了刘徽极限论思想在开平方运算中的应用。刘徽求微数的意义十分重大。钱宝琮先生指出，这是宋元间十进小数的先河，促进了十进小数的诞生，刘徽对我国成为世界上最早使用小数的国家，做出了贡献。对于这一点，前面我们已经提到过了。另一方面，微数的引入是求圆周率精确近似值的必要条件。因为求圆周率时，要多次用到开方，而且都是开方不尽的情形。如果不用微数来处理，是不可能求出圆周率的值的，也就谈不到后来祖冲之的结果。微数与求圆周率的割圆术是相辅相成，相得益彰的。没有微数就不可能获得高精度的圆周率；另一方面，割圆术的辉煌成就也衬托了微数的重要性。可以说，刘徽求微数的思想不仅开十进小数之先河，而且奠定了我国圆周率值在世界上领先千余年的计算技术基石。

出于实际的需要，我国古代进一步研究了其他的相关问题。

如，关于分数开方问题，《九章算术》也提出了正确论断。如果分母开得尽，就先化为假分数，把分子开方，然后除以分母的方根，即

如果分母不是完全平方数，分子乘以分母的积，开方，所得数除以分母。这实际是有理化分母的运算，是先进的计算方法，即：

与开平方情形一样，《九章算术》对开立方中不可开的问题也有同样的认识，并对被开方数是分数的问题，提出了两种相应的处理方法，与上述是完全相仿的。

由此可见，我国在对无理数的态度上与对负数的态度是完全一致的。我们都是采用了现实的与实用主义的立场。由于它们是客观存在、无可避免的，这样引入它们就是自然的。又由于它们是有用的与有效的，这就证明了对它们的使用是完全有道理的。于是，人们的注意力很快转移到如何更好地运用它，即求得它的近似值与运算等方面。并且我们已经看到，在这些方面我国很早就取得了不凡的结果。