一个动态博弈模型分析

斯　文

上海财经大学公共经济与管理学院　财政理论和政策硕士研究生

摘要:20世纪70年代,博弈论开始大量应用于经济学的研究中,到20世纪80年代已经成为主流经济学的一部分。本文运用两阶段完全但非完美信息博弈,通过建立数学模型,分析子博弈完美纳什均衡和帕累托最优条件下政府制定的关税税率及企业的产量,并得出一些结论。

关键词:动态博弈　最优关税

一、博弈模型所涉及的一些概念

从20世纪70年代,博弈论开始大量应用于经济学的研究中,到20世纪80年代已经成为主流经济学的一部分,1994年诺贝尔经济学奖授予三位博弈论专家——纳什(Nash)、泽尔腾(Selten)和海萨尼(Harsanyi),这就是对博弈论的最好评价。本文所应用的是两阶段完全但非完美信息博弈(the twostage game of complete but imperfect information,以下简称“两阶段博弈模型”)①,它是完全信息动态博弈的一种延伸。其定义是:从动态博弈的整个过程而言,在博弈的两个阶段中,至少有一个阶段存在不少于2个博弈方同时选择各自行为,并且第二阶段的博弈方在行动前能观测到第一阶段博弈方作出的选择的一种博弈形式。

(一)两阶段博弈模型的基本形式

(1)博弈的第一阶段:有n个博弈方,分别为博弈方1、博弈方2、…、博弈方n,同时选择行为a1,a2,…,an,其中a1∈A1,a2∈A2,…,an∈An,A1,A2,…,An分别表示博弈方1、博弈方2、…、博弈方n的可选行为集(feasible set),而AΙ=(a1,a2,…,an)表示第一阶段n个博弈方的行为组合(portfolio of actions)。

(2)博弈的第二阶段:有m个博弈方,分别为博弈方n+1、博弈方n+2、…、博弈方n+m,同时选择行为an+1,an+2,…,an+m,其中an+1∈An+1,an+2∈An+2,…,an+m∈An+m,而An+1,An+2…,An+m分别表示博弈方n+1、博弈方n+2、…、博弈方n+m的可选行为集(feasible set),而AΠ=(an+1,an+2,…,an+m)表示第二阶段m个博弈方的行为组合。(3)各博弈方的得益都取决于所有博弈方的行为,即行为组合(AΙ,AΠ),因而可表示为博弈方i(i=1,2,…,n+m)的得益是各博弈方所选择策略的多元函数Ui=Ui(AΙ,AΠ)。

(二)两阶段博弈模型的子博弈完美纳什均衡

首先简单介绍子博弈和子博弈完美纳什均衡。子博弈的定义是:由一个动态博弈第一阶段以外的某阶段开始的后续博弈阶段构成的,有初始信息集和进行博弈所需要的全部信息,能够自成一个博弈的原博弈的一部分,称为原动态博弈的一个“子博弈”。如果是各博弈方的行为构成的行为组合即是原博弈的纳什均衡,同时又在每个子博弈上是纳什均衡,则就是子博弈完美纳什均衡。①

二、最优关税的动态博弈模型③

(一)假设前提

假设条件是建立经济模型的前提条件,最优关税的动态博弈模型的假设条件包含以下几方面:

(1)有两个国家,分别称为国家1和国家2,这两个国家在博弈模型中作为博弈方决定着本国对某种进口商品的关税税率ti,(i=1,2)且ti≥0。

(2)两国各有一个企业(可看作国内企业的集合体)生产这种既内销又相互出口的商品,称这两个企业为企业1和企业2。

(3)企业i生产qi+ei单位的商品,其中qi是用于内销,而ei是满足出口的商品数量,且qi,ei≥0。

(4)企业i的成本函数是线性函数Ci=ci(qi+ei)+ci0,其中ci表示边际成本,ci0是企业的固定成本,边际成本ci不随产量的变化而变化。

(5)在国家i的市场上该种商品的市场出清价格pi是qi+ej的线性函数,即pi=ai-bi(qi+ej),ij=1,2以及i≠j④,其中ai表示当需求量为0时的价格(笔者在此将ai定义为“最高理性价格”,即当价格上涨到ai时恰好排挤所有可能的消费者),bi表示需求函数的斜率(假设这种商品是正常品),ai,bi>0。

(6)企业i的利润函数πi=piqi+pjei-ci(qi+ei)-ci0-tjei;在国家i中,此商品带来的社会福利由该国消费者剩余①、企业的利润和关税收入这三部分构成。则社会福利函数

(7)该博弈模型存在子博弈完美纳什均衡和帕累托最优的必要条件②:ci≥cj,ai≥2ci-cj,aj≥4ci-3cj;即等价与(i)c1≥c2,a1≥2c1-c2,a2≥4c1-3c2,或(ii)c2≥c1,a2≥2c2-c1,a1≥4c2-3c1。

假设先有两国政府同时制定关税税率t1,t2,然后企业1和企业2根据t1,t2同时决定各自的内销和出口的产量(q1,e1)和(q2,e2),企业的行为能看作使一个子博弈,因而整个博弈是一个两阶段博弈。

(二)博弈模型的子博弈完美纳什均衡和帕累托均衡

1.子博弈完美纳什均衡

用逆向归纳法分析这个博弈,先从第二阶段企业的选择开始,假设两国已设定的关税税率t1,t2,则理性的企业就必须求下面这个最大值的问题:

通过解这个方程组得到纳什均衡的内销和出口商品数量:

现在回到第一阶段两个国家之间的博弈,即同时选择t1,t2使本国的社会福利最大化(采取非合作博弈)其中以及

等价于

解得纳什均衡的关税税率也就是等于根据假设前提(7)得到≥0。

综上所述,该博弈模型的子博弈完美纳什均衡为

2.帕累托最优

假如各国政府确定的关税税率使两个国家的社会福利之和W最大(采取合作方式)以求达到帕累托最优,也就是求下面这个最大值问题等于∂W/和解得:

情况1:当和之时,∂W/∂t1≤0和∂W/∂t2≤0,即函数W是非递增函数。

情况2:当和之时,∂W/∂t1≥0和∂W/∂t2≥0,即函数W是非递减函数。

根据假设前提(7)可以得到和而从假设前提(1)得到t1≥0和t2≥0,而此时函数W正处于非递增阶段,所以得出当时,W取到最大值。而企业的产量是帕累托最优是

三、结论

从这个动态博弈模型中,可以得到以下一些结论:

首先,企业的纳什均衡产量不仅取决于本国市场及本企业自身的条件,而且受到国外同类商品市场和企业生产条件的影响。由于企业的子博弈完美纳什均衡产量为所以具体而言,在开放的经济中,一国企业的产量与本国及国外市场的“最高理性价格”成正比,与需求曲线的斜率成反比;一国企业的产量与自身的边际成本成反比而与国外同类商品的企业的边际成本成正比,即企业自身的边际成本低则产量高,如果国外企业的边际成本高则有利于本国企业扩大生产规模。从现实的国际贸易中不难发现:相比发展中国家,发达国家在资本和技术密集型产业中的产量十分巨大,而在劳动密集型行业产量相对要小许多,其中一个重要原因是发达国家的资本和技术密集型产业的边际成本比起发展中国家要低得多,而劳动密集型行业的边际成本则高许多(因为发达国家的人力资本价格高),发展中国家恰好相反。

其次,一国政府的纳什均衡关税税率高低取决于本国市场和国外同类产品企业的生产条件。一国政府的纳什均衡关税税率关税税率与本国市场的“最高理性价格”成正比,而与国外企业的边际成本成反比。如表1所示,发达国家对于从发展中国家进口的劳动密集型产品(如纺织品、服装)征收高关税而对资本以及技术密集型产品(一般制造业产品)征收低关税,在一定程度上证明了一国关税与国外企业的边际成本成反比这一结论。

表1　乌拉圭回合后几个发达国家的最惠国关税税率　　　(单位:%)①

最后,当各国政府同时把关税税率降到零时,全球的社会福利将会达到最大。从上面的博弈模型中看到,随着各国关税税率降低,全球的社会福利会不断提高。自1948年1月1日关贸总协定的临时实施至1995年1月1日世贸组织成立,在关贸总协定主持下,经过八轮贸易谈判使发达国家加权平均关税从1947年的35%下降到4%,发展中国家的平均税率则降至12%左右。②关贸总协定之后的WTO组织,其宗旨之一就是削减各成员国的关税税率,从而努力实现全球社会福利的帕累托最优,中国加入WTO就是为提高全球福利作出了重大贡献。

论文参考文献

1.Robert Gibbons,1992,Game Theory for Applied Economics,Princeton University Press,71-73.

2.GeoffreyA.Jehle,PhilipJ.Reny,2001,Advanced Microeconomic Theory,AddisonWesley,293-306.

3.Harvey S.Rosen,1999,Public Finance(Fifth edition),McGraw-Hill,55-57.

4.谢识予:经济博弈论(第二版),复旦大学出版社2002年版,第136-140页。

5.张维迎:博弈论与信息经济学,上海人民出版社1996年版,第160-168页。

数学附录1:用逆向归纳法来推出两阶段博弈的子博弈完美纳什均衡

当博弈进入第二阶段,给定第一阶段可选行为组合AΙ,第二阶段m个博弈方面临的是:

解得第二阶段的纳什均衡解所以第一阶段的纳什均衡是

因为在博弈的第一个阶段,n个博弈方应该预测到m个博弈方在第二阶段将按照的规则行动,n个博弈方在第一个阶段面临的问题是:

解得第一阶段的纳什均衡解所以第二阶段的纳什均衡是然后,将代入第二阶段的纳什均衡中,得到也就是综上所述,两阶段博弈模型中的子博弈完美纳什均衡就是

数学附录2:消费者剩余

如图1所示:直线p0Q0是线性需求函数p=a-bQ,p*和q*是市场出清的价格和产量,则消费者剩余就是三角形ΔAp*p0的面积,所以消费者剩余

图1

数学附录3:最优关税博弈模型存在子博弈完美纳什均衡和帕累托最优必要条件的推导过程

在第二阶段,企业的纳什均衡产量:

(1)是ti的一个单调递增函数,又因为ti≥0,qi≥0,所以要保证帕累托最优的内销产量存在就是由于此时纳什均衡的内销产量≥0也得到满足。

(2)是tj的一个单调减函数,因为tj≥0,要保证纳什均衡的出口产量存在,就必须满足由于此时帕累托最优的出口产量也得到满足。

情况3实际上是情况1和情况2的一种特例。

情况4实际上等价于情况3。