简谐振动的基本特征

研究简谐振动的理想模型是弹簧振子，所谓弹簧振子是由质量可以忽略不计的轻弹簧和一个可视为质点的物体所构成的振动系统．

如图6.1所示，弹簧振子放置在光滑的水平面上，一端固定，当弹簧为原长时，物体在水平方向受到的合外力为零，这时物体所处的位置为平衡位置，用O表示．取平衡位置O为坐标原点，水平向右为Ox轴的正方向．在小幅振动的情况下，当物体离开平衡位置的位移为x时，由胡克定律可知，物体受到的弹性力F与弹簧的伸长（物体离开平衡位置的位移）x成正比，弹性力的方向与位移的方向相反．

图6.1　弹簧振子

式中k是弹簧的弹性系数，负号表示力的方向和位移的反向，即总是指向平衡位置，故这种力又称为回复力．物体受线性回复力作用是简谐振动的动力学特征．

根据牛顿第二定律，物体在任意位移x处的加速度为

上式说明，简谐振动的加速度和位移成正比，方向与位移相反．

对于给定的弹簧振子，弹簧的弹性系数k和物体的质量m都是常量，令

代入式（6.1）得

式（6.2）是简谐振动的运动微分方程，求解这个二阶线性齐次微分方程，可得简谐振动的运动方程为

式中A和φ是积分常数，由初始条件决定，它们的物理意义将在后面讨论．

由上可见，弹簧振子运动时，物体相对平衡位置的位移按余弦函数关系随时间变化，式（6.3）也称简谐振动方程或简谐振动表达式．广义上说，凡运动规律符合式（6.2）、（6.3）的都是简谐振动，式中x可以是位移、角位移、电流、电压、电场强度等物理量．

根据速度和加速度的定义，将式（6.3）对时间求一阶、二阶导数，可得到简谐振动物体的速度和加速度

式中ωA和ω2A为速度和加速度的幅值．由式（6.4）和（6.5）可见，物体作简谐振动时，速度、加速度也随时间周期性变化．图6.2画出了简谐振动的位移、速度、加速度与时间的关系曲线（φ＝0）．

图6.2　简谐振动图解