简谐振动的旋转矢量法

为了直观地理解简谐振动的三个特征量A、ω、φ的意义，并为讨论简谐振动的合成提供简洁的几何方法，引入旋转矢量．

如图6.6所示，在平面内作Ox轴，由原点O作一矢量OM，矢量的长度等于振幅A，并使矢量OM在Oxy平面内绕O点作逆时针方向的匀速转动，其角速度与振动的角频率ω相等．这个矢量称为振幅矢量，以A表示．

图6.6　旋转矢量图

设t＝0时，振幅矢量A与x轴的夹角为φ，等于简谐振动的初相．经过时间t，振幅矢量转过角度ωt，它与x轴的夹角变为（ωt+φ），等于简谐振动在该时刻的相位．由图可见，这时矢量A的端点M在x轴上的投影为x＝Acos（ωt+φ），与式（6.3）比较，这正是沿x轴作简谐振动的物体在t时刻的位移．由此可见，匀速转动的矢量A，其端点M在x轴上的投影点P的运动是简谐振动．矢量A以角速度ω旋转一周，相当于物体在x轴上作一次完整振动．

简谐振动的旋转矢量表示法把描述简谐振动的特征量直观地表示出来，矢量的长度为振动的振幅，矢量旋转的角速度为振动的角频率，矢量与x轴的夹角为振动的相位，t＝0时矢量与x轴的夹角为初相位．

必须指出，旋转矢量本身并不作简谐振动，我们是利用旋转矢量的端点在x轴上的投影点的运动，来展示简谐振动的规律．

设有两个同频率的简谐振动：

两个振动相位之差称相位差，用表示：

可以看出，两个同频率的简谐振动在任意时刻的相位差等于其初相差，与时间无关．由相位差值可以对两振动的步调进行分析．

如果（或的整数倍），我们说两个振动是同相的，它们同时到达最大位移，同时越过平衡位置并同时到达负的最大位移，“步调”完全一致．

如果，我们说两个振动是反相的，它们一个到达正的最大位移时，另一个到达负的最大位移，而同时越过平衡位置时运动方向各异，其步调完全相反．

利用旋转矢量可以很直观地表示两个同频率的简谐振动的相位差，如图6.7所示．

图6.7　用旋转矢量表示两个简谐振动的相位差

例6.4　质点作简谐振动的振动曲线如图6.8（a）所示．试写出该振动的方程．

图6.8　例6.4图

解　简谐振动方程为

由旋转矢量图可知，t=1s时对应的相位

可得

振动方程为