毕奥-萨伐尔定律应用举例

下面应用毕奥-萨伐尔定律来讨论几种典型的载流导体所激发的磁场．

例11.1　求载流直导线的磁场

解　在直导线上任取一电流元Idl，如图11.5所示，由毕奥～萨伐尔定律，此电流元在P点处的磁感应强度dB的大小为

图11.5　载流直导线的磁场

dB的方向由Idl×r确定，即垂直纸面向里．从图中可以看出，直导线上各个电流元在P点处的dB方向都相同（都垂直纸面向里），所以总磁场方向也垂直纸面向里，总磁感应强度B的大小为

式中l、θ、r并不是相互独立的变量，应把它们统一成一个变量才能积分．由图可知

于是有，将上述关系代入可得

上述结果表明，无限长载流直导线周围的磁感应强度大小与场点到直线的垂直距离d成反比，与电流I成正比．在垂直于导线的平面内作以导线为圆心的同心圆，则磁感应强度B的方向沿圆环的切线方向，其指向与电流方向呈右手螺旋关系，如图11.6．

图11.6　磁感应强度与电流方向的关系

例11.2　求载流圆线圈轴线上的磁场

设真空中有一半径为R的圆线圈载有电流I，常称之为圆电流，如图11.7所示．试计算轴线上一点P的磁感应强度．设P点与圆心相距为x．

图11.7　圆电流轴线上磁场的计算

解　取圆线圈圆心为原点，轴线为x轴．在线圈上任取一电流元Idl该电流元到轴线上P点的矢径为r，由图可知，r与电流元Idl垂直．由毕奥-萨伐尔定律，该电流元在P点产生的磁感应强度dB的大小为：

式中φ为r与轴线x的夹角．

从式（11.10）可得到两种特殊位置的磁感应强度：

（1）当x<R时，在圆心O处的磁感应强度的数值是

在静电场中，曾引入电偶极矩的概念来描述电偶极子的电场．在此，我们引入磁矩的概念来描述载流线圈产生的磁场．对于一个面积为S、载有电流I的平面闭合线圈，其磁矩为

en为线圈平面法线方向上的单位矢量，也就是磁矩pm的方向．en方向一般与电流方向成右手螺旋关系，即弯曲的四指代表电流的方向，拇指所指即为线圈平面的法线方向，如图11.8所示．

图11.8　载流线圈磁矩方向

引入磁矩后，并考虑到磁矩方向和B方向相同，轴线上远离圆心处的磁场

磁矩pm是一个非常重要的物理量，原子、分子、电子和质子等基本粒子都具有磁矩，它们的磁矩主要来自于电子绕核运动（轨道运动）和它们本身的自旋运动所形成的等效圆电流．

例11.3　如图所示，半径为R的无限长四分之一圆筒形金属薄片，自下而上通有均匀分布的电流I，求轴线上一点P处的磁感应强度．

图11.9　例11.3图

解　该载流无限长圆筒形金属薄片可视为由许多无限长载流直导线组合而成，由无限长载流直导线的磁场分布，再利用叠加原理即可求出轴线上一点的磁感应强度．

在金属片平行于轴线方向上任取一弧长为dl的窄条，将其视为无限长载流直导线，其中通过的微元电流为

在俯视图上建立如图所示的坐标，该微元电流在P点激发的磁感应强度的大小为

方向由右手螺旋关系确定（见本例图），式中．由于各微元电流在P点激发的dB方向均不相同，将dB沿坐标轴分解

对各坐标分量进行积分得

所以