换元积分法

利用基本积分公式与积分的性质所能计算的不定积分是十分有限的．本节把复合函数的微分法反过来用，得到一种基本的积分方法——换元积分法．

利用复合函数的求导公式，容易验证公式（1）的正确性．事实上，由

可知式（1）成立．利用公式（1）计算不定积分的方法称为第一类换元积分法，习惯上也称为凑微分法．

解　令u＝lnx，则，所以

比较熟练后，可不写出变量代换过程，直接凑微分进行计算．如本例求解过程可简化如下：

解　

解

例5　求

解

解

类似可求得

例7　求

解

解

解　因为

所以

解

从以上例子可看出，积分运算与微分运算相比具有更大的灵活性．一般地，如果所遇到的不定积分能化为下列形式之一时，可考虑用换元积分法进行计算．

对于被积函数中含有根式的某些不定积分，也可以利用换元积分法进行求解，但不同的是，求解这类问题的主要原则是通过引进新变量，将被积函数中的根号去掉，即作另一种形式的变量代换x＝φ（t）．

4.2.2　第二类换元积分法

设所求的不定积分为，适当地选择变量代换x＝φ（t），将积分化为，即

如果f［φ（t）］φ′（t）的一个原函数为Φ（t），则将t＝φ－1（x）代入，得到f（x）的原函数Φ［φ－1（x）］．这种换元法一般可写为：

这里要求x＝φ（t）单调可导，且φ′（t）≠0．

事实上，由复合函数的求导公式，有

所以式（2）成立．利用公式（2）计算不定积分的方法称为第二类换元积分法．

如果被积函数中含有x的二次根式，可以考虑利用三角恒等关系，通过三角代换来去掉根式．

例11　求

利用例8的结果得

其中C1＝C－ln a．

其中C1＝C－ln a．

当x＜－a时，令x＝－u，那么u＞a，由以上结果，有

其中C1＝C－2 ln a．

把x＞a及x＜－a的结果合起来，可写作

当x＞0时，有

当x＜0时，有相同结果．

例15　求

解　设，于是

例17　求

在本节的例题中，有几个积分以后经常会遇到，可当作公式使用（其中常数a＞0）：

（16）

1．求下列不定积分：

（6）

（7）

（11）

（15）

（16）

（20）

（32）

2．求下列不定积分：

（2）

（3）

（12）