如果从定义出发，即使被积函数比较简单，计算定积分也不是一件容易的事．为此，对变速直线运动中的位置函数s（t）及速度函数v（t）之间的联系做进一步研究，来寻找解决问题的线索．
设物体沿直线运动，速度为v（t），求物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程S．由定积分的定义及5.1中的例2，物体所经过的路程为
另一方面，这段路程又可表示为位置函数S（t）在区间［a，b］上的增量
S＝S（b）－S（a）．
由此得到
因为S′（t）＝v（t），即S（t）是v（t）的一个原函数，因此由上式可知，函数v（t）在区间［a，b］上的定积分等于它的一个原函数S（t）在积分区间［a，b］上的增量S（b）－S（a）．
上述从变速直线运动的路程这个特殊问题中得出来的关系，在一定条件下具有普遍性．事实上，我们将证明，如果f（x）在［a，b］上连续，则f（x）在区间［a，b］上的定积分就等于f（x）的一个原函数F（x）在［a，b］上的增量F（b）－F（a）．
它是积分上限x的函数，称为积分上限函数．
下面我们来讨论Φ（x）的可导性及其与f（x）之间的关系．
定理1 若f（x）在区间［a，b］上连续，则函数
在［a，b］上可导且Φ′（x）＝f（x），即Φ（x）是f（x）在［a，b］上的一个原函数．
证 只需证
因为当x＋Δx∈［a，b］时，
其中，最后一个等式是根据积分中值定理得出的，式中ξ在x与x＋Δx之间，如图5.4所示．
图5.4
于是得到
令Δx→0，则x＋Δx→x，从而ξ→x，由f（x）的连续性，便得
这就证明了Φ（x）在［a，b］上可导且Φ′（x）＝f（x）．
解 由定理1即得
例2 求
解 首先将变下限的积分化为变上限的积分，即
这里
是x2的函数，因而是x的复合函数．令x2＝u，则
根据复合函数的求导法则，有
定理2 如果函数F（x）是连续函数f（x）在区间［a，b］上的一个原函数，则
证 已知F（x）是f（x）的一个原函数，又根据定理1知
也是f（x）的一个原函数．这两个原函数之间至多相差一个常数C，因此有
从而
特别当x＝b时，得到
即
由于习惯上积分变量用x表示，因此上式可写为
定理2 通常称为微积分基本定理，公式（1）又称为牛顿—莱布尼兹公式．这一定理揭示了定积分与不定积分的联系，而牛顿—莱布尼兹公式则为定积分的计算提供了有效的计算方法．
解
解
解 先将被积函数中的绝对值符号去掉，因为
所以
由例6可以看出，当被积函数有绝对值符号时，应利用定积分的区间可加性把积分区间分为若干子区间，然后分别在各子区间求定积分，从而求得原定积分的值．
1．计算下列定积分：
（5）
2．求下列各式对x的导数：
（3）
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