为了便于讨论原子在化学反应中的行为，用复杂的波函数很难表达清楚，通常采用作图的方法。通过数学处理，将波函数分解成随角向变化和随径向变化两个函数的乘积：
ψn，l，m（r，θ，φ）=Rn，l（r）·Yl，m（θ，φ） （1-6）
径向部分 角向部分
式（1-6）中，Rn，l（r）称为波函数ψn，l，m的径向部分（redial part of wave function），Yl，m（θ，φ）称为波函数ψn，l，m的角向部分（angular part of wave function）。
表1-2 列出了氢原子的若干波函数。
表1-2 氢原子若干波函数（a0=玻尔半径）
例如，氢原子基态波函数可分为以下两部分：
分别对径向部分和角向部分的变化的规律以球坐标作图，可画出ψn，l，m（原子轨道）和电子云（ψn2，l，m形象化描述）的形状及方向，这样的图形既简单又直观。
（一）原子轨道角度分布图
波函数或原子轨道的角向部分Yl，m（θ，φ）函数式可由解薛定谔方程求得，也可从有关手册中查得。若以原子核为坐标原点，引出方向为（θ，φ）的直线，连接所有这些线段的端点，在空间可形成一个曲面。这样的图形称为Y的球坐标图，并称它为原子轨道角度分布图，记为Yl，m。
例如，由表1-2可知，氢原子1s原子轨道的角向部分函数式Y1s为
Y1s只是一个常数，与θ、φ角度无关。画出的氢原子1s原子轨道角度分布图是一个球曲面，半径为
【原子轨道的角向部分 Yl，m（θ，φ）只与量子数l、m有关，而与主量子数n、离核半径r无关】。
因此，所有的s原子轨道（如2s，3s，4s等）的角度分布图与1s原子轨道相同，都是一个半径为
的球面。p、d、f系列原子轨道也一样。故在原子轨道角度分布图中常不标明轨道符号前的主量子数。
【例1-1】画出2pz原子轨道角度分布图。
解：由表1-2可知氢原子Ypz为
或
式中，K值为
，是常数，它不会影响图形的形状。Ypz值随θ角的大小而改变，若以球坐标按Ypz-θ作图，可得两个相切于原点的球面，即为pz原子轨道角度分布图，见图1-10。一些随θ角度而变化的Ypz值见表1-3。
表l一3 氢原子pz随θ角度变化的Ypz和y2pz值
pz原子轨道角度分布图的画法如下：
图1-10 pz原子轨道角度分布剖面图
利用表1-3中列出的数据，可以在xz平面内画出如图1-10所示的曲线。将曲线绕z轴旋转一周（360°），可以得到“哑铃型”立体曲面。图中球面上每点至原点的距离，代表在该角度上Ypz数值的大小，正、负号表示波函数角度部分Ypz在这些角度上为正值或负值。整个球面表示Ypz随θ角变化的规律。由于在z轴上θ角为0°，cosθ=1，所以Ypz在沿z轴的方向出现极大值，该曲面图称为pz原子轨道角度分布图，记为Ypz，通常以其剖面图表示。用以上同样的方法，可以画出s、p、d各种轨道的角度分布剖面图，如图1-11所示。
从图1-11中看到：3个p轨道角度分布剖面图的形状相同，只是空间取向不同。当p轨道角度分布图沿z轴的方向出现极大值，记为Ypz；当p轨道角度分布图沿y轴的方向出现极大值，记为Ypy；当p轨道角度分布图沿x轴的方向出现极大值记为Ypx。
5个d轨道的角度分布剖面图中：Ydz2中的Y极大值在沿z轴的方向上；Ydx2—y2中的Y极大值在沿x、y轴的方向上；另3个Ydxy、Ydxz、Ydyz角度分布剖面图中，Ydxy中的Y的极大值沿x和y两个轴间45°夹角的方向上；Ydxz中的Y的极大值沿x和z两个轴间45°夹角的方向上；Ydyz中的Y的极大值沿y和z两个轴间45°夹角的方向上。除Ydz2外，其他4个轨道的角度分布图的形状相同，只是空间取向不同。
原子轨道的角度分布图不是原子轨道的实际形状，但它在化学键的形成过程中有非常重要的意义。
（二）电子云角度分布图
如果我们将分解的薛定谔方程式（1-6）两边平方，则得到
ψn2，l，m（r，θ，φ）=Rn2，l（r）·Y2l，m（θ，φ）
电子云 径向部分 角向部分
【电子云角度分布图是波函数或原子轨道角向部分 Y2l，m（θ，φ）随θ、φ角变化关系的图形，它与主量子数n、离核半径r无关】。这种图形反映了电子出现在核外各个方向概率密度的分布规律，其画法过程与波函数或原子轨道角度分布图一样，先将该原子轨道的角向分布Yl，m（θ，φ）的计算式两边平方。
例，pz原子轨道的角向部分是 Ypz=K·cosθ
pz电子云的角向部分是Y2pz=K2·cos2θ
将Y2值（表1-3）随θ角度变化作图，得到的图形称为电子云的角度分布图，记为Y2pz。用相同的方法，可以画出s、p、d各种电子云的角度分布图（图1-12），它表示随θ和φ角度变化时，半径相同的各点，概率密度相同。
图1-11 s、p、d各种原子轨道的角度分布剖面图
图1-12 s、p、d各种电子云角度分布剖面图
从图1-12可以看出：电子云角度分布图的形状与原子轨道角度分布图相似。但s、p、d原子轨道角度分布图要“胖”些，且有“+”、“—”值。而p、d电子云角度分布图稍“瘦”（Y2值更小）些，且都是“+”值（Y2都取正值），没有“—”值。
要注意，把电子云角度分布图当作电子云的实际图形是错误的，因为电子云角度分布图只能反映电子在空间不同角度所出现的概率密度，并不反映电子出现概率密度随离核半径r的变化。
（三）电子云的径向部分分布图
【电子云的径向部分 Rn2，l（r），表示概率密度随离核半径r的变化，它与磁量子数m及角度θ、φ无关】。电子云的径向部分有多种图示表示，教学中常用的是电子概率密度径向分布图和电子云概率密度径向分布图，是从两个不同层面来反映电子云的状态。
1.电子概率密度径向分布图
【若以 R2（r）对r作图，就能得到电子的概率密度随半径r的变化图，称为电子概率密度径向分布图】。图1-13列出了常用的几种氢原子电子的R2（r）图，它表示任何角度方向上的电子概率密度随半径r的变化，若与电子云角度分布图结合起来即为电子云的空间形状（图1-17）。
图1-13 氢原子s、p、d几种电子概率密度径向分布图
2.电子云概率密度径向分布图
电子云概率密度径向分布图又称壳层概率径向分布图。
【壳层概率是指离核半径为 r、厚度为dr的薄层球壳体积（dτ）中电子出现的概率，用符号r2R2或D（r）表示】。壳层概率是概率密度的一种表现形式，从另一侧面反映了电子的运动状态，理论上可以导出。现以最简单的球形对称的ns电子云为例。
设想把ns电子云通过中心分割成具有不同半径r的薄层球壳（同心圆），如果我们考虑一个离核距离为r，厚度为dr的薄层球壳，如图1-14所示。
图1-14 氢原子1s电子云径向分布函数图
因为 半径为r的球面面积为4πr2
所以 厚度为dr的薄层球壳的体积为4πr2·dr
则该薄层球壳中电子出现的概率即壳层概率为壳层概率=概率密度×壳层体积=ψn2s·4πr2·dr （1-7）
因
两边平方
将式（1-9）代入式（1-7），得
因dr很薄，故壳层概率可看作为薄层球面上电子出现的概率，用r2R2表示。
【若以 r2R2（r）对r作图，就可以得到氢原子s、p、d各电子云电子的壳层概率随r的变化图，称为电子云概率密度径向分布图】。如图1-15所示。
图1-15 氢原子s、p、d电子云概率密度径向分布图
从图1-14（a）看出，氢原子1s电子云最大壳层概率半径在a0处。而电子离核越近概率密度越大，这两者并不矛盾。因为薄层球壳的体积随半径的减小而缩小，概率密度随半径的减小而增大，这两个趋势正好相反，在a0处会出现一个极大值。
r2R2的数值越大，表示电子在该球壳中出现的概率越大，电子云概率密度径向分布图反映了电子在球壳中出现的概率离核远近的关系。
从图1-15中可以看到：
①氢原子1s电子云在离核半径为52.9pm处薄层球壳内出现的概率最大。最大壳层概率半径恰好与玻尔半径a0=52.9pm（n=1）吻合。
②主量子数n相同、角量子数l不同时，曲线有（n—l）个峰。如ns电子有n个峰，np电子有（n—1）峰，nd电子有（n—2）个峰，nf电子有（n—3）个峰。如4s有4个峰，4p有3个峰，4d有2个峰，而4f只有一个峰，峰数的不同将会影响多电子原子的能级。
③n相同的轨道可视为一电子层，核外电子的分布可视作分层的。主量子数n相同，它们都有一个离核平均距离即半径相近的壳层概率最大的主峰，这些主峰离核距离近远的顺序是1s、2s2p、3s3p3d、…因此从电子云概率密度径向分布图看出，核外电子的分布可视作分层的。
④“钻穿”现象引起能级错位。主量子数n相同时，ns比np多一个离核较近的峰（图1-16），np比nd多一个离核较近的峰，nd又比nf多一个离核较近的峰。而且，这些近核的峰都伸入到（n—1）各锋的内部，这种现象叫“钻穿”，钻穿能力ns>np>nd>nf。从图1-15中还可看到4s离核最近的一个小峰竟钻穿到3d主峰之内。由钻穿现象引起的效应可解释多电子原子中的能级错位的原因。
图1-162 s 与2 p 电子云概率密度径 向分布图钻穿能力
（四）电子云的空间形状（阅读）
ψn2，l，m（r，θ，φ）=Rn2，l（r）·Yl2，m（θ，φ）
电子云的空间形状是由电子云的电子概率密度径向部分Rn2，l（r）和角度部分Y2l，m（θ，φ）两者结合在一起用小黑点图来描述的。图1-17为常见的几种氢原子用小黑点图表示的电子云空间形状示意图。
图1-17 用小黑点表示的氢原子s、p、d电子云空间形状示意图
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