预测与概率

一门开始于研究赌博机会的科学，居然成了人类知识中最重要的学科，这无疑是令人惊讶的事情。

P·S·拉普拉斯

（Pierre Simon Laplace）

J·卡当（Jerome Cardan），这位文艺复兴时期的数学、医学教授，在其教授生涯的40年里，才华横溢，但却不讲道义，并且热中于赌博。他从很早起就认为，除了花时间研究学问外，如果一个人不玩牌赌博，那么他就枉活了一生。他不希望把时间花在不能获利的事情上，因此，他认真地研究获得7点以及在一副牌中获得“A”的概率。为了帮助赌友们，他把自己的研究成果编成了一本手册，题为《赌博的游戏》（Liber De Ludo Aleae）。这部著作不仅披露了他在这方面进行研究的成果，而且还传授了一些实战经验。例如，他指出，把牌擦上肥皂，那么在抽牌时，得到一张特殊牌的机会将会大大增加。卡当在这种情况下所创立的这一数学分支，现在已是气体分子理论、保险业、原子物理学的基础。

大约100年以后，另一位赌徒C·de梅累（Chevalier de Méré），继续研究概率问题。可是他不具有像卡当那样的上帝所赐予的数学天才，所以他不得不就这一问题去请教数学奇才帕斯卡。帕斯卡爽快地答应了他的请求，之所以这样，这很可能像他自己所解释的那样，概率论将解决整个一生中困惑他思想、耗损他身体、折磨他精神的复杂的基本问题。

没有任何人的行为比帕斯卡的行为更加矛盾了，使人觉得是一个谜。信仰与欲望的冲突，使他产生了奇怪的举动，并使得他在献身宗教与亵渎神明两者之间犹豫不决。在文学创作方面，他既写出了严肃的神学辩论之作，也有对爱情忠告的箴言。《外省人来信》（Provincial Letters）就是他在神学辩论中的精美文体的杰作；在爱情的忠告方面，他写下了诸如《爱情对话》（Discourse on the Passions of Love）的著作。《圣经》中的教义与罗马天主教会的信条，两者之间的不同深深地困惑着他。不过，在与妹妹争夺遗产继承权时，他对这两种都不予理睬。帕斯卡曾提供了一笔钱，以作为当时科学家科学竞赛的奖金，但却把奖金授予自己，然后还抱怨其他学者在追求知识方面缺乏真诚。他建议，人们的爱情甚至哪怕是对小孩子的爱，也应采取理智而严肃的态度，而不受激动的感情所左右，但他自己却毫不犹豫地去亲自体验《爱情对话》中的结论。尽管他为救世之路焦虑不安，但却非常想急于找到这条路。他像圣徒一样热衷于宗教事务，但自己对他人的行为却像一名漏网罪犯，经常伤害他人。作为一位对最富有理性的人类活动——数学——做出过巨大贡献的功臣，他坚持认为真理来源于心灵。他十分笃信奇迹，但他参与创立的概率论却一再证明，奇迹是多么的渺茫，以至于不能真正相信会有什么奇迹发生。他是宗教的卫道士，然而正是宗教帮助他开创了理性的时代。

甚至帕斯卡的科学生涯也充满了冲突与戏剧性。由于担心过度用脑会损害儿子的健康，父亲禁止幼小的帕斯卡学习数学。最终，在12岁那年，当帕斯卡提出想了解数学到底讲的是什么玩艺时，父亲居然同意了！于是，他就开始如饥似渴地学习数学。两年后，他被允许参加当时伟大的法国数学家的每周科学会议。16岁时，他就证明了我们在研究射影几何中所讨论过的那条著名定理⁽¹⁾。梅累向他提出概率论问题时，他已经31岁了，而他一生只活了39岁。帕斯卡就梅累的问题与费马通了信，而且在由此而建立的通信中，帕斯卡和费马在概率论中创立了一些基本结果。

概率论的潜在作用应该说是十分明显的。不用说关于我们未来的事情，甚至从现在起的一小时后，也均无任何肯定的东西存在。一分钟后，我们脚下的地面可能就会裂开。但是，宣称这种可能性吓唬不了我们，因为我们知道，出现这种情况的概率极小。换句话说，正是一个事件是否发生的概率，决定了我们对该事件的态度和行动。

在日常生活中，我们所使用的概率思想，仅仅满足于估计它是高还是低而已。而且，可能做出的数量上的概率判定也经常只是粗略的估计。但是，这种估计过于宽泛，不能满足一些诸如在大规模的工程、医疗、商业冒险中的基本需要。因为在上述情形中，必须知道特殊事件的准确概率值。要达到这个目的，就只好求助于数学了。至于事件中有不确定之处，那么数学也会告诉我们这种不确定性有多大。只有像这样依靠由数学计算出来的概率值，才能够可靠地指引我们的行动。

我们来看看如何利用数学得到精确的概率值。例如，单独抛一枚骰子，出现“4”的概率是多少？解决这个问题的一种方法是，掷100000次骰子，然后计算出现“4”的次数。出现“4”的次数与100000的比就是所求的答案，或者差不多会接近真实的答案。不过，数学家们绝不会采用这种方法，除非强迫他们这样做。他们懒得动手掷骰子，而乐于静坐默思去找出解决这个问题的方法——不过，有时也许会有例外，如卡当在赌场上。这样，就不仅要动手、动脑子，还要加上赌金呢。

然而，帕斯卡和费马却是这样考虑这个问题的：一个骰子有6个面，由于在骰子的形状上或者在扔骰子的方式中，没有任何因素有利于某一面的出现，所以得到每一面正面朝上的可能性是相同的。六面出现的可能性相同，而仅仅只有一面也就是出现“4”的一面是有利情形，因为这就是我们所要求的那一面。因此出现“4”的概率就是。如果我们对出现4或5这两面都感兴趣，我们则得到其概率为，即6种可能性中的两种对我们有利；如果我们对出现4或5不感兴趣，那么将有4种有利的可能性，因此概率应该为。

作为这个定义的另一个例子，我们考虑从52张普通的未擦肥皂的一副扑克牌中，选取一张牌“A”的可能性。这里有52种等可能选择，其中有4种是有利的，因此，这个概率是，即为。

从52张一副的扑克牌中选取“A”的概率是。围绕着这一命题的意义，经常会产生一些疑问。这个命题是否意味着，如果一人在这副扑克牌中取了13次（每一次都重复取牌，即将取过的牌又放回），那么将一定会选中一张“A”呢？并不是这样，他可能取了30次或40次，也没有得到一张“A”。不过，他取的次数越多，则取得A的次数与取牌总次数之比将会趋近于1比13。这是个合理的期望，因为选取的数目越大，每一张牌被取出的次数就会越相等。

我们所讨论的概率定义非常简单，在应用中也是显而易见的。但是，假定我们断定说，一个人安全穿过街头的概率是，因为只有两种可能性存在：或者安全穿过，或者没有安全穿过，两种可能性中有且仅有一种出现。如果这个命题成立，则读者应该明智地放下本书去准备后事了。这个命题的错误就在于，“安全穿过”与“没有安全穿过”这两种可能性，并不是等可能的。美中不足的是，费马和帕斯卡所给出的定义仅仅适用于等可能性的情形。

由于机会均等在概率定义的应用中如此重要，我们也许应该重新考虑在抛掷骰子的情形中，各面出现的可能性是否完全相同。这就是我们常常看到掷骰子者仔细瞧瞧骰子的原因，原来他们是在检查各面出现的次数是否会真正均等。

但是，如果真的必须用掷骰子的方法来验证由概率的数学理论所得出的结果，那么我们倒不如抛弃这个数学理论。事实上，在将骰子扔向空中的情形中，即使不做试验，我们也能正确地判断可能性是相等的。当然，这是逻辑上的假定，但是，这个假定是以关于六面体——不一定是骰子——的知识为坚强支柱的，就如同平面几何公理受经验的支持一样。因此，只要我们可以肯定等可能性的存在，就可以应用上述费马和帕斯卡的方法。

作为一种纯粹的智力游戏，我们现在可以考虑抛掷4枚、5枚……硬币时所涉及的概率。可惜的是，随着硬币数目增多，可能性的情形也将大大增加，因而增加了问题的难度。令人欣慰的是，为此，帕斯卡造出了一个非常有趣的“三角形”，为数学家们解决这样的问题帮了大忙。现在，人们就以他的名字将此命名为“帕斯卡三角形”⁽²⁾。让我们考察下面这个由数字排列而成的三角形：

在这个“三角形”中，每个数都是上一行最邻近的两个数之和（必须补上0，否则两个数会漏掉一个）。这样，第五行中的4是1与3之和；6是3与3之和；等等。因此，仅仅利用加法，我们就能够将此“三角形”逐行写出来。

历史上，概率论最初是为了给赌徒们提供咨询而产生的。现在它已经对许多学科都十分有帮助，倒是在大规模的赌博活动中不怎么借重这一数学理论了。而且，统计方法已经被扩展到应用于工业、经济、保险、医疗、社会学、心理学等许多问题上了，这些问题甚至只有利用概率理论才能解决。为了正确评价这门学科在当今的实用范围，让我们来考查一下与这一理论有关的实际应用。

一个最早且最富有影响的应用，是由修道院院长G·J·孟德尔（Gregor Johann Mendel）做出的。1865年，他利用自己在杂交豌豆方面极其漂亮而精确的实验，奠定了遗传科学的基础。假设有两种纯种豌豆，绿的和黄的。如果让它们杂交，则第二代要么都是绿的，要么都是黄的。对于这种现象，孟德尔解释说，这是两种颜色中的某一种统治并支配了另一种的结果。

孟德尔继续考虑从第三代的各种杂交中产生的后代所应该出现的比例，以及当几个独立的特征同时交叉繁殖时应该出现的比例。概率的数学理论所预测的每一种情形，在实际试验中都产生了。

利用这一类的知识，园艺学、动物畜牧学方面的专家现在已经在实际中产生了极好的效果，他们培植了新的水果、花卉，培养出了更加高产的奶牛，改进了动、植物的品种，还育出了抗锈病的小麦、无筋的菜豆，而且哺育出了体形小、含肉量高且适合储存在家用电冰箱中的火鸡。

将概率论运用于人类遗传研究具有特别重要的价值。科学家不能控制男、女婚配。即使他能这样做，那么实验结果也不会如此快地轻易得到。因此，他们必须从如刚才上面例子的思考中推断出遗传事实。也因为人们对性别的判断、喜欢有偏见，因此在这方面数学方法的客观性比在动、植物研究中重要得多。

概率论也决定了美国最大的企业——保险业——所做出的每一项决策。考虑一家保险公司面临的与约翰·琼斯（John Jones）有联系的问题。在琼斯交纳年度保险费的前提下，保险公司同意，在20年届满或在这之前如果他死去了，将付给他或其家属1000美元。公司要求琼斯先生支付的年度保险费应该是多少呢？明显地，这取决于琼斯先生可望活多久。

为了确定这个概率，公司可以将各种可能导致死亡的原因列成表——癌症、心脏病、糖尿病、汽车事故、犯罪，以及其他一些因素。然后就能决定这些因素如何对约翰·琼斯起作用了。为了解决这个问题，公司还必须研究其家庭情况、个人历史以及琼斯的日常活动；还必须研究他身体所有器官的状况。利用这些信息，就能开始进行计算，以便求出答案。经过几天的计算之后，可以肯定出现的只有一件事：最好是将所有的计算都扔进废纸篓里！对琼斯先生单个个人进行分析，无法使保险公司确定各种致死因素何时会对他产生作用。

解决这个问题的方法，是通过另外一个完全不同的途径实现的。约翰·琼斯正好是保险公司所投保的数十万人中的一员。要是公司知道，在一个非常小的误差范围之内，对一般人最有可能发生的是什么，则公司的经营就一定是安全的。因为在琼斯身上的损失，可以在史密斯身上得到补偿，其结果自不待言。这种情况很像赌博——但最终保险公司将是赢家。

保险公司所做的工作，乃是在随机选取的10岁以上的100000人中，研究他们的死亡记录。譬如说，在40岁时，这些记录表明100000人中有78106人依然活着。这样，公司就决定取作为任何年龄为10岁的人将活到40岁的概率。同样，为了得到年龄为40岁的人活到60岁的概率，公司就用活到60岁人的数目除以40岁时活着的人的数目。

以保险公司确定死亡率的过程为例，所说明的概率计算方法是一种基本方法。实质上，对原始数据的数学推理，经常是借助于经验进行的。利用经验得到概率的方法，严格地说来已经超出了数学定律。数学方法是在知道概率后才开始使用的，而且数学家只关注如何对这样得到的数字进行推理。例如，如果一家保险公司希望发行一种涉及一对夫妻的30年期保险单，那么最重要的是要知道，自保险单开出时起至夫妻双方活到30年以上的概率。假设夫妻双方当时都是40岁。现在，一位40岁的人活到70岁的概率大约是0.50，因为在40岁的78106人中，有38569人在70岁时还活着。这就是扔一枚硬币出现正面的概率。因此，夫妻俩都活到70岁的概率，就是抛两枚硬币出现两个正面的概率；因此，夫妻俩都活到70岁的概率是0.25。这里所讨论的，不过是个很简单且十分普通的问题。如所预料的那样，数学可用来解决在保险业中出现的更为复杂的概率问题。

乍看来，这种疗法似乎确有值得称道之处。本来我们预计有2人死亡，但一人也没死。利用概率论，却促使我们重新估价这一疗法。在4个病人的这个特例中，必死2人这个命题并不正确。在这组情形中，可能会全死了，也可能一人都没死，即死亡数可以是0与4之间的任意一个数目。仅仅在大量的情形中，50％这一结论才有效。这种情形在数学中等同于抛掷硬币。任何一位患这种病的人痊愈的机会，就是抛掷一枚硬币出现一次正面的机会。4个人痊愈的概率，就是在抛掷4次硬币时出现4次正面的概率。参考帕斯卡三角形第五行，发现在抛掷4枚硬币时出现4次正面的概率为。因此，这个数字也是医生从所有病人中选取不使用新疗法所治疗的一组4位病人都痊愈的概率。这个概率意味着，如果选取大量的患这种病的4人组，那么一般说来，16组中将有一组（中含4人）的人将全都痊愈。现在，对一个4人组实施其新疗法的医生，也许正好碰上了4位病人均可康复的那一组。因为这种情况并非绝对不可能发生——在赛马赌博中，100对1中彩的情形也不少呢——因此，宣布这种新疗法有效是不安全的。任何结论在宣布以前，应该经过多次试验和尝试。

到目前为止，我们所考虑的问题仅涉及为数不多的几种可能性发生的情形。例如，当一个人掷骰子时，出现的相关结果正好是6种。在死亡率问题中，可能性则仅有两种。但是，在大量的概率问题中，可能出现的结果，或者是无穷，或者数目很大以致在数学上当作无穷来处理比较合适。例如进行长度测量，测量得出的结果中，仅仅只是所能进行的无穷次不同测量中的几个。因此，如果要计算这几次测量值的平均数恰巧正确的概率，就必须考虑测量值的无穷多种可能性。同样，一台生产成千上万个某种款式零件的机器，其产品也是不尽一致的；每个零件都有差异，尽管很小，但终因数量庞大，以至于其总体可看作无穷集合的组成部分。

处理其可能结果是无穷的问题的理论——连续概率论——是由一位农夫、贵族、政治家、第一流的数学家P·S·拉普拉斯（1749—1827）创立的。卡当、帕斯卡、费马曾被赌博中的概率问题吸引了。拉普拉斯则对“不切实际”的天体方面也同样有兴趣。利用概率论，他得到了从数据中导出的数值结果的可靠性的测量，并设法确定某些天文现象应归于某种确定的原因，而不是纯粹的偶然因素使然的可能性。一种旨在为天文学家提供服务的数学理论，居然会对上千种不同职业的人十分有用，这对我们来说也没有值得大惊小怪的。不过，我们还是来考察几个实例，看看数学的应用范围是多么广阔。

在一种特定现象发生的可能性为无限的情形中，各种可能性的频率分布常常呈正态分布。因此，这样就有可能将从这些分布中所获得的知识运用到连续概率的问题上。事实上，在考虑将正态曲线应用于各种目的时，仅仅只须稍许作一些变换即可。我们可能还记得，正态分布是由平均值、标准差为其特征而确定的。而且，68.2％的情形落在一个标准差之内（即一个σ以内）；27.2％的情形落在σ与2σ之间的区间内；4.4％的情形落在2σ与3σ之间的区间内；剩下的情形，也就是2％的情形，落在3σ以远的部分。这些命题只需要变换成概率就行了。例如，任何在一个平均数σ内的数据的概率必定是0.682，因为事件中的68.2％落在这个区间。确定这个事实的另外一种方法是，平均1000种情形中有682种将落在一个标准差的范围内。当然，其他区间的百分比也应该作这种变换。由于正态频率分布曲线能按上述形式重新解释，因此它经常被看作是正态概率曲线（图75）。

让我们考虑一两个利用正态概率曲线的例子。所有美国男人身高的频率，实际上符合一正态分布，其平均值约为67英寸，标准差为2英寸。那么，随意选取一位美国男人，其身高在65英寸与69英寸之间的概率是多少呢？由于所有65英寸与69英寸之间的高度都位于离平均数（值）一个σ的范围内，而且由于在这个范围内的高度占68.2％，因此其概率为0.682。同样，随意选取一人，其高度在67英寸与71英寸之间的概率是0.477，因为67英寸到71英寸的范围，是从平均值起向右边移2σ，而在这个范围的高度占47.7％。

图75　正态概率曲线

应该注意到，我们没有提出这样的问题：随意选取一人，其高度准确地为68英寸的概率是多少？答案是零，因为这是无穷多种可能性中的任一种可能性的概率。这样的问题没有多大的意义。所有的测量都是近似的，如果测量高度的误差是0.1英寸，那么提出下列问题一定更有意义：任取一人，其身高在67.9英寸与68.1英寸之间的概率是多少？这一问题可以通过参考正态曲线的数据而给出答案，正如我们在上一段中所回答的问题一样。

当我们试图从一个有限的事件（即样本）中去求一概率时，便会产生一个更有趣的问题。作为典型例子的是，男女婴的出生比例是否具有等可能性。某地区的统计表明，在3600个样本中，出生男婴的数目是1890，女婴是1710。这种情况偏离了50：50比率的情形，这是否意味着男、女婴不是等可能出生呢？未必如此，因为我们说男女婴的出生是等可能的，或者说男婴出生的概率为，这仅仅意味着，在大量的选样中，男、女婴的出生数将大致一样多。那么，从对3600个选样的数据中，我们究竟能得出什么结论呢？

首先，假定男、女婴的出生是等可能的，然后，我们再计算在3600名出生的婴儿中，男婴为1890名的概率是多少，由此就可以解决上面提出的问题了。既然在3600名出生的婴儿中，可能的结果是个有限数，也就是，零个男孩，1个男孩，2个男孩……依次类推，直到3600个男孩。由于一个男孩的概率，与一枚硬币出现正面的概率一样，假定为，所以我们就能够利用帕斯卡三角形的第3601项，从而得到出生1890个男孩的概率。但是，借助帕斯卡三角形来进行这样的计算，即使通过快速的代数方法，也是一件繁重而无聊的事。

但是，我们可以将3600名出生的婴儿考虑为包含巨大（严格地说是无穷）数目的集合中的一个子集合，其中每个集合都有3600名婴儿。在这许多种集合中，有些集合将出生零个男孩，有些出生一个男孩，等等。如果我们将这样的集合与每一组男婴的数目建立一种对应关系，这样，就会得到一个正态频率分布。（这个事实，差不多可以从前面帕斯卡三角形的研究中预测到。例如，第7行告诉我们，扔6枚硬币，3枚正面3枚反面将在64次中出现20次，而其他结果则对称地分布在这个结果的两侧。）假设男、女婴是等可能出生的，则在最大的数集中将有1800名男婴，1800名女婴。因此，男婴的这个数目就是男婴的平均数。现在，我们必须使用一个统计公式（在此不详细讨论）来求出该频率分布的标准差，在这种情形σ＝30，亦即有68.2％的集合其中男孩的数目在1770和1830之间，在有3600个婴儿的集合中，实际观察到的男孩数目是1890。这个数目位于平均值右边的3σ范围内。而出现在3σ或者位于平均值右边3σ更远范围以外的概率仅仅为0.001，即1000次中才出现一次。由于这个概率实在太小，因此，我们关于男、女婴等可能出生的假设必定是错误的。事实上，数千种出生记录表明，男、女婴出生之比是51：49，这可能是上帝英明的决断，或是女孩生来要比男孩珍贵一点这一事实的真实写照。

我们考虑的以上一些问题，大多是求一种特殊事件出现的概率，如在3600名出生的婴儿中有1800名男婴的概率，这种可能的情形位于整个可能性分布的某个特殊区间内。只要参考正态概率曲线，便很容易求出这一问题的答案。下面要讨论的是一个稍微不同的另一种类型的问题。

一位纱线制造商以平均每个纱球重一磅⁽³⁾来出售产品。他宣称，每个纱球出厂时其重量与一磅的标准重量将不会超过0.1磅。一位零售商买了2500个这样的纱球，称得其重量总量为2450磅，也就是这些纱球平均一个重为0.98磅。这样，纱球的平均重量就完全落在制造厂商所宣布的0.1磅的误差范围内。反之，制造商也可能故意制造0.98磅的纱球，从而暗中获利。这位制造商诚实吗？也就是，从制造商所提供的产品中任意选取2500个纱球，可能正好就平均每个少0.02磅吗？

这个问题涉及样本平均的性质。样本平均与母群体（工厂的总产品）的平均数，要有多接近才能使我们相信它是产品中的一个样本呢？这个问题可由研究所有含2500单位的可能样本的平均数的频率分布来找到答案，在这里，我们不准备进一步讨论平均值的分布理论。必须说明的是，这些平均值足以形成一正态分布；而且，这种平均值的频率分布的平均值可以等于1，这种平均值分布的标准差能被证明是0.0006，在这个特殊的问题中，消费者得到的纱球平均重量为0.98磅。这一平均值与平均的1磅相差0.02磅，因此这大约是0.006的30倍，即大约在这一类平均值左边30σ处。一个数据落在离平均值30σ处远的概率非常非常小，可以忽略不计。因此，消费者买到的2500个纱球，尽管的确是制造商解释的一磅纱球这种样本产品的可能性，但是仍然是不可信的。我们现在已经充分证明了这样的判断：厂商故意制造了每个重量平均少于一磅的纱球。

概率的数学理论最新近的最有趣的应用，是“证明”了超感觉能力（extra-sensory perception）的存在。在这里，这个证明又再一次以样本和母群体两者之间的关系为基础。J·B·莱恩（Joseph Banks Rhine）教授和其他人一直坚持主张，存在着超感官的知觉，因为的确存在着特殊人，他们能够猜出从一副扑克牌中抽出的牌的花色与数字，其准确率比依据数学概率算出的要大得多。也就是说，在给定的事件中正确预测的概率是，即被实验者能够猜中的正确次数大约为总次数的。但是，假定说在800次实验中，被实验者居然猜对了207次而不是所预料的160次，在800次实验这种特殊情形中，超过所预料的160次（多出了47次）究竟是一种偶然呢，还是一个十分有意义的结果呢？在莱恩看来，超过预计猜对这样大数目的情形，意味着在被实验者看不到扑克牌标记的情况下，有非同一般的超感官知觉的智能在起作用。这额外猜对的47次是否确实说明问题，现在仍处于争论之中。莱恩计算出，在800次特殊的实验中，多猜对47次的概率仅为。这个概率很小，因此莱恩认为，不能把这么多猜对的情形归结为纯属偶然。

到现在为止，我们所考察的应用中，概率论一直被用于测量某些事件的可能性或可能情况。由于概率论不甘于只替科学和工业做奴仆，这门学科演变成了一个强有力的主人。其所以能发展到这一步，其中的原因我们在前面已经提到过。气体中的分子按牛顿运动定律互相吸引。但是，由于分子的数目巨大，任何企图在牛顿运动定律的基础上预测分子的运动、膨胀、压缩、温度变化的努力，都会变得毫无希望。数学不能精确地解决这个问题，甚至不能解决一个分子在受到其他几个分子的引力作用下的运动问题。

麦克斯韦成功地解决了这个问题，其方法就是由概率论提供的。将一定体积内无穷多数目的分子，都由一个理想的或具有代表性的分子取代，这个分子的大小是所有气体分子中最具可能的大小，其速度是最具可能的速度，其与其他分子的间隔是最具可能的间隔，其他的性质也总是具有其最大可能的。这样，这个理想分子的最大可能的行为，就可被看作是气体本身的行为。令人惊奇但又千真万确的是，用这种方式得到的定律所描述、预见的气体行为的准确性，就和天文学定律预见行星的运动一样，丝毫不差。大体上来说，气体最可能的行为在实际中都出现了，可见是气体真实的行为。

概率论应用于气体运动的巨大的潜在意义，随后将进行讨论。现在，引人注目的是，概率论因而从被作为处理数据和假设的工具的地位，转变成了一种引人注目的获得定律的基本方法。

概率论在科学工作、哲学思想方面的重要作用，早在帕斯卡的著作中就隐约提到了。关于这一理论，他以运用于赌博为起点，而以运用于上帝的行为而作为结束。帕斯卡处于历史的转折点，当时正是新科学开始向旧信仰发动强有力挑战的时候。正如那个时代的每一位思想家一样，他卷入了这场科学与宗教的冲突运动，而且致力于寻求解决这一冲突的哲学方法论。一方面，他那不可抑止的本性使他热心于宗教信仰，另一方面，作为一位对科学、数学做出了杰出贡献的学者，他对这场冲突的感受要比其他任何人深刻得多。由于他对双方都观察得十分清楚，而且对双方都有感情，因此在他的脑海中就形成了一个战场。在一段最引人注目的话中，他毫不掩饰地表达了他的迷惘：

这就是我所看到的令我不安的一切。环顾四周，发现到处一片漆黑。自然界中的万物无一不令人怀疑、不安；要是我无论在何处都看不到上帝的印证，我将会否定他的存在；如果我在每一处都看到了上帝的光辉，我将安心于我的信仰。但是，看到的太多了，以至无法忘却和抛弃，可信的太少了，以至于无法确认。我处于可怜兮兮的境地，我上百次地祈祷，如果上帝支配着自然界，则自然界就应该毫不含糊地显示神迹；或者，如果上帝的印记是谬误，那么自然界就应该把上帝的迹象抹去；大自然要么道出全部真理，要么一言不发。要真能这样，我也就知道我该站在哪一边了。

但是，上帝拒绝泄露天机。因此，帕斯卡专心致力于早期的概率论研究，他为此而解决了赌博中的问题。但是，这一理论对宗教信仰问题有何种启示呢？其答案就是当今众所周知的帕斯卡赌注。

一张彩票的价值，就是中奖概率与奖金的乘积。中奖的概率可能很小，但如果奖金巨大，那么这张彩票的价值依然很大。所以，富于理性的帕斯卡认为，尽管上帝存在的概率和基督教教义正确的概率微乎其微，但是作为信仰的奖赏却是永恒的欢乐。因此，这张天堂的彩票其价值仍可谓大矣。另一方面，如果基督教教义错误的，那么由于坚持这一点而失去的价值，恐怕就是整个生命乐趣的丧失了。因此，我们还是把赌注压在上帝存在这一方吧。

帕斯卡的赌注并不是毫无价值的说教。这是绝望的呐喊。他所面临的问题以一种稍许改头换面的方式重新出现了。通过他所创造的理论，最近这个问题又再度引起了人们的关注。

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(1) 参见第十一章。——译者注

(2) 在中国则被人称为“杨辉三角形”或“贾宪三角形”。——译者注

(3) 1磅＝0.453592千克。——译者注