节点电压法

和支路电流一样，b个支路电压也不都是独立的。因为每个回路的各支路电压都服从KVL约束，所以每个回路上就有一个支路电压不是独立的。由于电路的独立回路数为（bn+1）个，故电路的独立电压的数目为（n-1）个。可见满足下列条件的电压是一组独立电压变量：

（1）电压变量数为（n-1）个。

（2）足以唯一确定全部支路电压。

电路中人为规定电位为零的节点叫参考点。

即

同理

而

所以，全部支路电压都可用节点电压表示。可见支路电压与节点电压的关系是KVL的体现，即节点电压自动满足KVL。

图2-20　节点法

综上所述，电路的节点电压是一组独立的电压变量。以节点电压作电路变量列写电路方程的方法，称为节点电压法，简称节点法。

下面以图2-20为例，推导节点电压方程。由于节点电压已自动满足KVL，故不必列写KVL方程。只要对（n-1）个独立节点列KCL方程，再通过支路特性方程把各支路电流用节点电压表示，就可以得到一组与节点电压数目相等的独立方程——节点电压方程。

对图2-20所示的节点1、2、3，应用KCL，有

各支路特性方程为

将式（2-35）代入式（2-34），即通过支路特性方程把支路电流用节点电压替代，整理则得

式中：，k=1，2，…，6。式（2-36）即为图2-20所示电路的节点（电压）方程。

这样式（2-36）就可以改写为

式（2-37）就是具有3个独立节点电路的节点（电压）方程的一般形式。

对于具有（n-1）个独立节点的电路，节点（电压）方程可由式（2-37）推广而得

式中：Gkk （ k=1，2，…n-1）为节点k的自导，总是正的；Gkj是节点k与j间的互导，总是负的。

在无受控源的电阻性电路中，Gkj=Gjk，iskk是流入节点k的电流源的源电流的代数和。

当电路中含有电压源和电阻串联组合的支路时，先把电压源和电阻的串联组合等效变换成电流源和电阻的并联组合，然后再依据式（2-38）列方程。

对于只有一个独立节点的电路，如图2-21（a）所示电路，可用节点法直接求出独立节点的电压。先把图2-21（a）中电压源和电阻的串联组合变为电流源和电阻的并联组合，如图2-21（b）所示。则

图2-21　弥尔曼定理举例

写成一般形式

式（2-39）称为弥尔曼定理。代数和Σ（ Gkusk）中，当电压源的正极性端接到节点1时，Gkusk前取“+”号，反之取“-”号。

当电路中含有电压源支路时，由于没有电阻与电压源串联，此支路电导Gk = ∞，则使与此支路电导有关的自导和互导都变成无限大，式（2-38）不再适用，这种情况可另行处理。

例2-11　求图2-22所示电路中各电阻中的电流。

解　采用节点法：

（1）选节点0为参考节点，则独立节点1、2的节点电压分别为un1和un2 。

（2）列出节点方程

图2-22　例2-11图

（3）由式（1）解得节点电压为

（4）计算支路电流

例2-12　求图2-23所示电路中受控电流源吸收的功率。

解　采用节点法：

（1）选2V电压源的端点0为参考节点，则独立节点1、2、3的节点电压分别为un1 、 un2、un3，其中un3是已知的，不必列出节点3的节点电压方程，避免引入2V电压源中电流这个未知量。

（2）列出节点方程，并把受控电流源的控制量用节点电压表示：

图2-23　例2-12图

把式（1）、式（4）代入式（2）、式（3），整理得

（3）求解式（5）得

（4）计算受控电流源吸收的功率

综合上面所述，节点法的步骤如下：

（1）指定参考节点，独立节点的节点电压以参考节点为“-”极性。

（2）列出节点电压方程。如果电路中有电压源和电阻串联组合，要先等效变换成电流源和电阻并联组合；如果电路中有受控电流源，要设法把控制量用节点电压表示，并把受控电流源看作独立源，列写初始节点方程，通过合并同类项得到最终节点方程；如果电路中含有电压源支路，则另行处理，例2-12就是一种处理方法。

（3）由节点方程解出节点电压，然后求出各支路电压和支路电流。