【摘要】：傅里叶级数的系数决定于周期函数的波形。通过观察周期函数波形的某种对称性，可预见哪些系数存在，哪些系数为零，同时还能简化求这些系数的运算。下面讨论3种常见的周期函数的对称性。但函数是否是奇谐波函数与计时起点选择无关，只与函数波形有关。解 图5-6所示的矩形波既是偶函数，又是奇谐波函数，所以f的傅里叶展开式中既不含正弦项，又不含恒定分量和偶次谐波，即bk=0，a0=0，ak =0。
傅里叶级数的系数决定于周期函数的波形。通过观察周期函数波形的某种对称性，可预见哪些系数存在，哪些系数为零，同时还能简化求这些系数的运算。下面讨论3种常见的周期函数的对称性。
（1）周期函数f（t）是奇函数，即f（t）=-f（-t），函数的波形对称于坐标原点，如图5-3所示，则傅里叶级数中只含有正弦项，不含恒定分量和余弦项，即
（2）周期函数f（t）是偶函数，即f（t） =f（-t），函数的波形对称于纵轴，如图5-4所示，则傅里叶级数中只含有恒定分量和余弦项，而没有正弦项，即
图5-3 周期性奇函数
图5-4 周期性偶函数
（3）若周期函数f（t）前后半波对称，
，如图5-5所示，则傅里叶级数中只含有奇次谐波，即
所以f（t）称为奇谐波函数。
证明
图5-5 前后半波对称的函数
把上式等号右端第一个积分式中的t以
代替，则得
所以
同理可得
证毕。
应当指出：由于系数ak和bk与计时起点的选择有关，所以周期函数是奇函数或偶函数，不仅与函数波形有关，还与计时起点选择有关。但函数是否是奇谐波函数与计时起点选择无关，只与函数波形有关。
例5-1 图5-6所示为矩形波，求其傅里叶级数展开式。
解 图5-6所示的矩形波既是偶函数，又是奇谐波函数，所以f（t）的傅里叶展开式中既不含正弦项，又不含恒定分量和偶次谐波，即bk=0，a0=0，ak =0（k为偶数）。所以
图5-6 例5-1图
所以
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