傅里叶积分和傅里叶变换

对于不重复的非周期函数不能直接用傅里叶级数表示。但是如果把非周期函数看作周期为无限大的周期函数，求出其傅里叶级数展开式的极限形式，就可得到非周期函数的傅里叶积分公式。下面以傅里叶级数的指数形式为基础，来推导表示非周期函数的傅里叶积分公式。

对于周期函数f（t），其傅里叶级数的指数形式为

其中

Ck的幅度频谱和相位频谱是kω1的函数，且为线状的，谱线间隔为

随着周期T变得越来越大，Ck的幅度|Ck|及谱线间隔Δωk也变得越来越小。当T→∞时，频谱变成连续的了，其幅度|Ck|→0，不过TCk仍可为有限值。这样可定义一个新的函数

当T→∞时，；各次谐波频率kω1由原来离散的变为连续的，kω 1→ω，这样式（5 -12）可写成

式（5-13）称为傅里叶正变换。

另外还可由式（5-10）得

当T →∞时，上式的求和变成积分式，即

式（5-14）称为傅里叶反变换或傅里叶积分。

用傅里叶变换可以求出非周期函数的各频率分量，如同用傅里叶级数对周期函数进行谐波分解那样，不过这里频率是连续的，各频率分量的幅值是无穷小量。

F（jω）一般是一个复变函数，它可写为

其中|F（jω） |称为幅度频谱或幅频特性，θ（jω）称为相位频谱或相频特性。F（jω）则称为频谱密度函数，简称为频谱函数。傅里叶正变换把时域函数f（t）变换为频域的频谱函数，傅里叶反变换则相反。

应当指出，从式（5-10）推出式（5-14）是不够严格的。按古典傅里叶变换理论，f（t）除了应满足狄里赫利条件外，尚需在无限区间上绝对可积，即

后一个条件是很苛刻的，像工程上的单位阶跃函数、正弦函数等都不满足，需用广义下的傅里叶变换处理。

如果电路中的时域函数（如电压、电流等）可用傅里叶变换变为相应的频谱函数，就可在频域内应用叠加定理来分析电路问题。例如，某一无源二端网络上施加一非周期电压u（t），要求计算其电流i（t），如图5-10所示。可先对给定非周期电压u（t）进行傅里叶变换，求出其频谱函数

电压的傅里叶积分为

图5-10　非周期激励电路

式中相当于一个电压相量，它代表角频率为ω的频率分量。若无源二端网络在角频率为ω时的等效阻抗为Z（jω），则根据欧姆定律的相量形式，电流相量应为dω。电压积分式中各个分量所产生的电流分量叠加起来即为实际电流

式中U（jω） /Z（jω）是电流的频谱函数I（jω），因此上式就是电流频谱函数的傅里叶反变换。

例5-7　试用傅里叶变换求图5-11（a）所示电路对指数衰减电压u（t） =Ue-at（t≥0）的响应i（t）。

图5-11　例5-7图

解　首先将非周期电压u（t）变换为它的频谱

画出图5-11 （a）所示电路的相量模型，如图5-11（b）所示，计算电流频谱得

为了求得i（t），可采用傅里叶反变换，然而采用下面的部分分式法更简便。为此先将上式分解为部分分式，得

比较等式（c）两边同类项系数则得

由上两式联立求解，得

参照式（a），求式（d）的傅里叶反变换，得