一阶电路的零输入响应

动态电路中的激励作用有两类：一类是独立电源的激励作用，称作输入；另一类是储能元件的原始储能的释放，即原始状态的激励作用。动态电路中在无独立源激励的条件下，仅由储能元件的原始储能的释放引起的响应，称为零输入响应。本节讨论一阶电路的零输入响应。

1.RC一阶电路的零输入响应

图6-5（a）所示电路中，开关置于位置1时，电路处于稳态，电容C已充电到电压U0。在t=0时将开关由位置1倒向位置2，则电容C通过电阻R放电，如图6-5（b）所示。

在图中所选的参考方向下，由KVL可得

将元件的电压电流关系

图6-5　RC电路的零输入响应

代入上式则得

式（6-2）是RC电路的零输入响应方程。这是一个一阶线性常系数齐次微分方程式，它的通解为

把式（6-3）代入式（6-2），得特征方程

解得特征根为

所以

式（6-4）中的积分常数A由电路的初始条件确定。根据换路定律，有

将其代入式（6-4）中，得

最后得到

根据电容元件的电压电流关系，有

式（6-5）和式（6-6）表明，换路后电容电压和电流都按指数规律衰减，最终趋于零。图6-6（a）、 （b）所示为uC和i随时间的变化曲线。

令

式中：τ的单位为s，与时间单位相同，则τ = RC称为RC一阶电路的时间常数。此时

图6-6　uC和i随时间的变化曲线

下面讨论时间常数τ的意义。由式（6-8）知，t=0+时，uc（0+）=U0，经过τ的时间，则uC衰减为

所以时间常数τ是按指数规律衰减的量由初始值衰减到它的初始值的36. 8%时所需要的时间。

由式（6-8）可以看出，从理论上讲，t→ ∞时，uC才衰减为零，即要经历无限长的时间电容放电才能结束。而实际情况如何呢？由表6-1可见，经3τ～5τ的时间，电容放电过程就基本结束了，此时电容电压已衰减到0. 05 U0或0. 007 U0。所以，工程上一般认为3τ～5τ的时间为电容放电结束的时间。因此，时间常数τ的大小反映了RC电路中放电过程进展的快慢，即时间常数τ越大，放电时间越长；时间常数越小，放电时间越短。

表6-1　放电过程

RC一阶电路的时间常数与电路的R和C成正比。这是因为在相同的初始电压U0下，C越大，电容的初始储能越多，放电所需的时间越长，故τ与C成正比。在U0和C同样的条件下，R越大，放电电流越小，放电所需的时间越长，故τ与R成正比。所以，时间常数τ可用改变电路参数的办法加以调节或控制。图6-7给出了3种不同τ值下的电容电压uC随时间的变化曲线。

工程上可用示波器观察这些曲线。有了这些变化曲线，可用作图法从曲线上求出电路的时间常数τ。可以证明，电压uC和电流i指数曲线上任意点的次切距长度都等于τ，如图6-8所示。

图6-7　不同τ下的uC曲线

图6-8　从uC曲线上求τ

电容通过电阻放电的能量变化过程是：电容不断地放出能量，电阻则不断消耗能量，最后储存在电容中的电场能量全部被电阻消耗并转换成热能。

例6-4　图6-9（a）所示电路中，开关闭合前电路已处稳态。t=0时开关闭合，求t＞0时电压uC和电流iC、i1、i2。

图6-9　例6-4图

解　（1）换路前，电路已处稳态，电容开路，则电容电压uC（0-）为

（2）由换路定律，则有

换路后（t＞0） ，开关左侧电路被短接，对右侧电路无影响，电容通过3Ω与6Ω并联电阻放电，如图6-9（b）所示。电路时间常数为

由式（6-8）得

由于uC和iC的参考方向相一致，则有

2.RL一阶电路的零输入响应

如图6-10所示电路，换路前已处稳态，电感中的电流。t=0时，开关闭合，它将右侧的RL串联电路短接，电源不再对此电路起激励作用。因此，短接后的RL串联电路的响应为零输入响应。

在图6-10中规定的电压电流参考方向下，由KVL得

图6-10　RL电路的零输入响应

将元件的电压电流关系

代如上式得

式（6-9）为RL串联电路的零输入响应方程。这也是一阶线性常系数齐次微分方程式，它的通解为

把它代入式（6-9）中，则得特征方程为

故特征根为

所以

积分常数A由电路的初始条件确定。由换路定律，则有

把初始条件代入式（6-10）中，得

所以，有

电阻电压和电感电压为

电流i和电压uR、uL随时间的变化曲线如图6-11所示。

图6-11　i、uR和uL随时间的变化曲线

式中τ的单位为s，与时间单位相同，所以称为RL一阶电路的时间常数。此时有

RL一阶电路的零输入响应衰减的快慢同样可用时间常数τ来反映。τ与电路的电感L成正比，而与电阻R成反比。因为在相同的初始电流I0下，L越大，储存在电感中的磁场能量越多，释放完此能量的时间就越长，所以τ与L成正比。在同样I0和L的情况下，R越大，能量消耗得就越快，所以τ与R成反比。

RL一阶电路被短接后的物理过程，实质是把储存在电感中的磁场能量转换为电阻中热能的过程。

由RC和RL一阶电路的零输入响应分析知，零输入响应与初始状态成正比。

例6-5　图6-12所示电路，换路前电路已处于稳态，t=0时开关打开，求开关打开后i和uL的变化规律。

图6-12　例6-5图

解　（1）换路前，电路已处于稳态，电感短路，所以电感中的电流为

（2）由换路定律，则有

电路的时间常数为

由式（6-15）和式（6-17）得