一阶电路的零态响应

电路在零原始状态下，仅由输入（激励）产生的响应称为零态响应。本节讨论一阶电路的零态响应。

1.RC一阶电路在直流激励下的零态响应

图6-13所示为直流电压源通过电阻给电容充电的电路。设开关闭合前电容未充电，即uC（0-） =0，故为零状态。t=0时闭合开关，求电路的零态响应。

换路后，由KVL有

图6-13　RC电路在直流激励下的零态响应

式（6-18）是一阶线性常系数非齐次微分方程；其通解由两部分组成，即

式中，uCp是非齐次微分方程的一个特解，与输入（激励）的形式有关，称为强制分量。当激励为直流量或正弦量时，强制分量又称为稳态分量。对图6-13所示电路

uCh是式（6-18）对应的齐次微分方程

的通解，称为补充函数。

τ=RC称为RC电路的时间常数。由于uCh的变化规律与激励源无关，又称为自由分量。 自由分量最终趋于零，所以又称为暂态分量。这样式（6-18）的通解为

根据换路定律，得到电路的初始条件为

把初始条件代入式（6-19）中，则得

最后得到

uC和i的波形图如图6-14所示。uR的波形与i相似，故在图中未画出uR。

由图6-14看出，电容在充电过程中，电容电压是由零值开始逐渐增长的，其增长率按指数规律衰减，最后电容电压趋于电压源的源电压Us。充电电流开始时最大，即，以后按指数规律衰减为零。到达新的稳态时，电场能量为。

图6-14　uC、i随时间的变化曲线

上述电容充电过程，理论上要无限长的时间才能结束。但当t=τ时，uC（τ） =Us（1-e-1） =0.632Us； t =5 τ时，uC（5τ）= Us（1-e-5 ） = 0.993 Us，可以认为充电过程结束。所以，电路时间常数τ越大，自由分量衰减得越慢，充电持续时间越长，反之亦然。

充电过程中，电源供给的能量，一部分转换为电场能量储存在电容中，另一部分被电阻消耗掉。电阻所吸收的电能为

可见，电源供给的能量只有一半转换为电场能量储存在电容中，充电效率为50%。

例6-6　在图6-15（a）所示电路中，t=0时开关闭合，试求t≥0时电容电压uC。

图6-15　例6-6图

解　（1）将电容左侧的电阻性一端口用戴维南定理化简，如图6-15（b）所示。其中

（2） τ=ReqC=2×103×50×10-6 =0.1（s）

2.RL一阶电路在直流激励下的零态响应

在图6-16（a）所示电路中，开关闭合前电感无电流，即i（0-）=0，电路为零状态。t=0时闭合开关，求电路中零状态响应。

换路后，由KVL有

把代入上式，得

图6-16　RL电路在直流激励下的零态响应

式（6-23）为一阶线性常系数非齐次微分方程，其通解为

其中ip（特解）为稳态分量

而ih为暂态分量（对应齐次方程的通解）

为式（6-23）方程的通解。因为电路的初始条件为

代入式（6-24）中，则得

故得

电流i和电压uR、uL的波形如图6-16（b）、 （c）所示。

由图6-16（b）、（c）知，电感电流i由零值逐渐增长，其增长率按指数规律衰减为零，最后趋于稳态值。电感电压uL开始最大，即为Us，以后按指数规律衰减为零。到达新的稳态时，电感的磁场能量为。

从RC和RL一阶电路在直流激励下零态响应的分析得知，若外施直流激励源增大K倍，则零态响应也增大K倍，即零态响应与外施直流激励源成正比关系。

例6-7　图6-17（a）所示电路中，Us =300V，R1=R2 = R = 100Ω，L = 1.5H，电感中电流i（0-）=0，t =0时闭合开关，求各支路电流。

解　（1）将R和L以外的电路看作一个二端网络，应用戴维南定理将其化简，则有

如图6-17 （b）所示。

图6-17　例6-7图

（2）

则由式（6-25）可得

3.RL一阶电路在正弦激励下的零态响应

图6-18所示电路中，t=0闭合开关，使电路与正弦电压us = Umsin（ωt +ψ）接通，电感的电流i（0-） =0。由于换路时刻是任意的，这里的ψ是接入相位角，是个随机量。

换路后，电路方程为

图6-18　RL电路在正弦激励下的零态响应

这是一阶线性常系数非齐次微分方程，其通解为

稳态分量ip（特解），可按换路后得到的正弦稳态电路计算，即为

而暂态分量ih（对应齐次方程的通解）为

所以

由初始条件i（0+） =i（0- ） =0，代式（6-29）得

最后得

式（6-30）表明，电流的暂态分量是按指数规律衰减的。当暂态分量衰减为零后，电路便进入正弦稳态。但暂态分量的大小与电源电压的接入相位角ψ有关，下面讨论两种特殊情况：

（1） ψ-φ =0，即电压源接入相位角ψ=φ时换路，式（6-30）中的暂态分量等于零，则

换路后电路立刻进入正弦稳态。

（2） ψ-φ=±90°时，如ψ-φ=90°的情况下换路，则

电流暂态分量起始值的绝对值最大，等于稳态分量的最大值。换路后约经半个周期，电流的绝对值达到最大值，其值小于稳态分量最大值Im的两倍，如图6-19所示的电流i、ip、ih的波形。

图6-19　i、ip、ih的变化曲线

图6-20　例6-8图

例6-8　图6-20所示为R=50Ω L = 0.2H的串联电路，在t=0时接到的正弦电压源上，电感中电流i（0-） =0。求接通后电路中的电流i（t）

由式（6-30）知