支路电压电流关系的矩阵形式

在分析和计算具体电路时，必须知道每一支路的具体构成情况。在电阻电路、正弦电流电路或复频域电路模型的情况下，要用矩阵列写电路方程时，一种有效方法是定义一条“复合支路”，也称一般支路或标准支路。

1.无耦合的复合支路

图8-9是复频域中的无耦合（无互感和受控源）的复合支路，在零初始状态下，支路的电压与电流关系为

图8-9　复合支路

或者写成

式中：Yk（s）=1/Zk（s），k=1，2，3，…，b是支路编号。

把式（8-9）和式（8-10）写成矩阵形式，则为

式中：Zb（s）称为支路阻抗矩阵，它是一个对角阵

（bs）是支路导纳矩阵，它也是一个对角阵

Us（s）和Is（s）是b维的电源向量

式（8-11）和式（8-12）称为支路VCR方程的矩阵形式，Ub（s）和Ib（s）是b维支路电压向量和支路电流向量。

例8-1　图8-10（a）所示网络是零原始状态的，试写出其支路VCR方程的矩阵形式。

图8-10　例8-1图

解　（1）取各支路电压和电流的参考方向为关联参考方向，其复频域模型如图8-10（b）所示。

（2）写出各支路的VCR方程

（3）写出支路VCR方程的矩阵形式

写出支路VCR方程的矩阵形式，关键是要掌握Zb（s）和Us （s）、 Is （s）在结构上的规律性。如果掌握了它们规律性，则无需先写出支路的VCR方程，而是根据网络直接写出支路VCR方程的矩阵形式。Zb（s）是一个对角阵，可按支路编号直接填写。值得注意的是向量Us（s）和Is（s）中各元素的正号。就U（ss）而言，若支路电压源的参考方向与支路电压的参考极性相同，则Us（s）中的相应元素前面取正号；反之取负号。类似地，对（s）而言，若支路电流源的参考方向与支路电流参考方向一致，则（ss）中的相应元素前面取正号；反之取负号。所以在本例中Is2（s）（s4s）前面取正号，而（s3s）前面取负号。

2.有互感的复合支路

如果网络中含有耦合电感元件，并且耦合电感元件又都是零原始状态，不难根据第7章的知识画出其复频域模型，进而写出支路阻抗矩阵。例如图8-11（a）所示的m、n两支路构成一个耦合电感元件，其复频域模型如图8-11（b）所示。此时网络的支路阻抗矩阵不再是对角阵，而是一个对称方阵，其中非对角线上的元素Zm（n s）为sMmn，元素（ms）也是sMmn，下面以例说明之。

图8-11　耦合电感元件及其复频域模型

例8-2　图8-12（a）所示网络是零原始状态的，试写出该网络的支路VCR方程矩阵形式。

图8-12　例8-2图

解　（1）画出电路的复频域模型，如图8-12（b）所示。

（2）填写向量Us（s）、 Is （s）：

（3）用支路阻抗矩阵Z（s）表示的支路的VCR方程

（4）用支路导纳矩阵表示的支路的VCR方程

含耦合电感元件的网络，支路导纳矩阵（bs）不能直接写出，它只能由支路阻抗矩阵Zb （s）求逆得到

所以

含有受控源的复合支路此处不做介绍，读者可参阅相关书籍。