非线性动态电路的状态方程

本节介绍含有多个非线性动态元件的动态网络的状态方程。

图10-23　非线性动态网络状态方程的建立

输入列向量为

待求的端口电流和端口电压都 可表达为已知电压源电压和电流源电流us1 ， us2 ， …is（m1-），ism以及状态变量q1，q2，…，ψn-1，ψn的函数。因为状态变量q1，q2，…，ψn-1，ψn分别对应于各电容电压和各电感电流，它们都可用电压源和电流源来替代。于是有

或写成矩阵形式

式（10-22）是非线性动态网络状态方程的标准形式。

在直流激励下，V是常矩阵，状态方程可写为

式（10-23）是关于变量t的微分方程，但又不明显的含有t。这类微分方程称为自治方程。

假如激励是时间函数V（t）（例如正弦激励），它们是已知时间函数，此时状态方程可写为

这是时间变量t的微分方程，其中还明显的含有变量t，称为非自治方程。还须说明一点，如果网络中存在时变参数，即C=C（t）或L=L（t），此时状态方程中会明显的含有t，也将是非自治方程。

由此可见，仅含定常元件的直流激励网络，其状态方程是自治方程，这类网络称为自治网络。时变参数或时变激励的网络，其状态方程都是非自治方程，这类网络称为非自治网络。

编写非线性动态网络状态方程的方法与线性动态网络相类似，下面以实例说明之。

例10-6　编写图10-24（a）所示电路的状态方程。各元件的特性关系为u1=f1（q1），u2 =f2 （q2） ， u3 =f3 （i3） ， i4 =f4 （ψ4） ， i5 =f5 （u5） ， i6 =f6 （u6）。

图10-24　例10-6图

解　（1）画出图示电路的有向图，选出一棵特有树，如图10-24（b）所示。选电容电荷q1 、q2和电感磁链ψ4为状态变量。

（2）对树支电容的基本割集列KCL方程；对连支电感的基本回路列KVL方程

（3）对树支电阻的基本割集列KCL方程；对连支电阻的基本回路列KVL方程

（4）用式（b）消去式（a）中非状态变量，得到状态方程为

从例10-6可以看出，网络中的非线性元件必须具有下列特性，才能写出标准形式的状态方程：

（1）非线性电容（树支）必须是电荷控制型，否则无法用q作为状态变量列出方程。

（2）非线性电感（连支）必须是磁链控制型的，否则无法用ψ作为状态变量列出状态方程。

（3）树支非线性电阻必须是电流控制型的。

（4）连支非线性电阻必须是电压控制型的。