1545年，意大利物理学家和数学家吉罗拉莫·卡尔达诺，以一本代数学方面的书在数学界掀起了一场轩然大波。这本书在今天被称为《大衍术或代数学的规则》。直到现在，它仍然被众多学者认为是文艺复兴时期的科学杰作之一。
一本代数书，是什么东西如此重要呢？
《大衍术》（Arts Magna）以一些介绍性的材料开头，这些材料包括标准的线性和二次方程的解法。但是它很快就跃进到未知的领域，首次展示了求解三次和四次代数方程的完整过程。
这本书的确有着惊人的成就，在16世纪余下的大部分时间里，它将为推动欧洲数学的发展扮演重要角色。直到像弗兰索瓦·韦达（Francois Viete，1540—1603）和勒内·笛卡儿（Rene Descartes，1596—1650）这样水平的数学家出现后，这本书的贡献才被取代。
但这本书的影响不止在数学领域，因为文艺复兴也是科学世界的一个形成期，卡尔达诺的书在这方面同样起了重要作用。正如杰出的数学家和学者莫里斯·克莱因所说，“很多人把现代科学的出现主要归功于实验方法的引进，并相信数学只是作为一个方便的工具偶尔起点作用。真实的情况……恰恰相反，文艺复兴时期的科学家是作为数学家进入自然科学研究领域的……实验提供的帮助很小，甚至没有。科学家在当时指望从这些原理推导出新的定律。”(1)
激活了长期潜伏的数学领域，卡尔达诺也为科学的发展提供了动力。比如，数学史家罗纳德·卡林格（Ronald Calinger）就视卡尔达诺为文艺复兴时期新科学的奠基人之一。于是，人们把《大衍术》和维萨里（Vesalius）的《人体构造》（On the Structure of the Human Body）及哥白尼（Copernicus）的《天体运行论》（On the Revolutions of the Heavenly Spheres）相提并论，后两者几乎和《大衍术》同时出现。
然而，维萨里是比利时人，哥白尼是波兰人。很显然，看到他们中的一位对数学的发展作出如此非凡的贡献，意大利的数学家们充满了自豪。
确实，他们是这样表现的，但出现了一个大大的例外。《大衍术》刚刚出版，一位意大利数学家塔尔塔利亚（他通常以这个单名为人所知）开始攻击卡尔达诺。虽然卡尔达诺在书中和好几个场合清楚地声明过，书中一个基本的三次方程解法应归功于塔尔塔利亚。但塔尔塔利亚说，这不是问题所在。在他看来，卡尔达诺背信弃义。义愤填膺的塔尔塔利亚坚持说，当他向卡尔达诺展示他的解法时，卡尔达诺——作为一个基督徒和绅士——信誓旦旦地承诺会在塔尔塔利亚的书之后出版自己的书。
要理解塔尔塔利亚的抗议和因之而起的争端的奇怪后果，我们应该回到16世纪初看一看。
实际开始于14世纪的欧洲文艺复兴，是欧洲智慧在沉睡了一千年后的苏醒和重生。艺术家和学者们，特别是在意大利，不断地发现着过去的富矿，并发扬光大之。科学家、工程师和数学家们也开始苏醒了，虽然慢了点，但毫不逊色。
临近15世纪末时，代数学里出现了数学史上第一个激动人心的时刻。正如文艺复兴的其他方面一样，这些成果在很大程度上是先前工作的再发现。这些辉煌的成就都是古代希腊、阿拉伯和印度的数学家们创造的。他们在很多个世纪以前就找到了线性方程和二次方程（形如 ax＋b＝c和ax2＋bx＋c＝d的方程）的解法。
阿拉伯的数学家们早在9世纪（或许更早）就解决了某些三次方程，但都是针对某些特别数字问题的几何解法，甚至是猜想的解法。极度需要解决的是普通三次方程（ax3＋bx2＋cx＋d＝0）的解，这也是大家积极寻求的。在《大衍术》之前意大利数学界最有影响力的书的作者卢卡·帕乔利（Luca Pacioli）在1494年主张，这样的解法不会被找到。
然后，在1510年到1515年之间的某个时候，博洛尼亚（Bologna）大学的数学教授希皮奥内·德尔·费罗（Scipione del Ferro，1465—1526）提出了第一个三次方程的代数学解法。他发明了一个解决“压缩的三次方程”（缺少二次项的三次方程）的代数公式。换句话说，他找到了形如x3＋ax＝b的方程的通用解法，这里a和b都是正数。这是一个真正的突破，但他保密得相当严实，坚持了至少十几年。如何解释这种奇怪的行为呢？
首先，16世纪之初不是一个“发表或者消失”的时代。当时，没有同行评议的期刊，没有互联网。实际上，对于一个新发现的主人来说，最有可能的做法就是将其严格保密，并且只在能设法证明它确实有利时才公开地用它（如果他确实要这样做的话）。
例如，任期制的想法在很久以后的将来才出现，所以数学上的学术职务会很微妙。席位是依据地位和名望来安排的，随时都要迎接公开的挑战。论战有时会引起公开的、有规模的争辩，争议者的学生和支持者通常会参与。在有些事例中，论战吸引了很多人，甚至掺入了激动人心的打赌。德尔·费罗显然相信，如果有人挑战他，拿着一堆问题要他解答，他能一直用他的解法作为有效的还击手段。
德尔·费罗是否曾经这样用过他的解法，历史没有记载。但我们确知，在1526年他去世的时候，他写有这种解法的论文传给了他的女婿兼继任者安尼贝勒·德拉·纳夫（Annibale della Nave）。更重要的是，传给了他一个学生安东尼奥·玛丽亚·费尔（Antonio Maria Fior）(2)。
费尔认为他现在掌握了一个无价之宝，于是他回到家乡威尼斯，希望成为一位数学老师。他让公众知道他在解三次方程方面有特殊才能。但他经常听人说这也许算不了什么，别的人也有这种能耐。他听到的名字是塔尔塔利亚，一位威尼斯的数学老师。后者做过几次声明，声称也会解三次方程。
费尔考虑向塔尔塔利亚发出公开的挑战。如果塔尔塔利亚夸大其词（这看起来非常有可能），那么这次挑战将是撕下对手的伪装并为自己树立名声的绝好途径。
塔尔塔利亚1499年在意大利北部的布雷西亚（Brescia）出生时，看起来他将来能在数学上作出贡献的可能性非常小。他的父亲是一名邮差，家境贫寒。塔尔塔利亚所学的数学和科学知识，都是靠自学得来。
他并不是一直都叫塔尔塔利亚，他的原名是尼科洛·冯塔纳（Niccolo Fontana）。那是一个危险的年代。在他大约12岁时，他所在的镇被法国人洗劫了。年少的尼科洛嘴巴和上颚严重受伤，差点死了。虽然在他妈妈的精心护理下，他熬了过来，但这次受伤却永久地损害了他的发声器官。结果，他有了塔尔塔利亚的绰号，意为“口吃者”。这名字沿用至今。
塔尔塔利亚最后在威尼斯定居下来，以教数学为生。和其他数学老师一样，通过参加公开的论战和辩论，他竭尽所能在公众面前保住名声。看起来他已经在这些论战中取得了不少成功。19世纪的传记作者亨利·莫雷（Henry Morley）这样描述塔尔塔利亚：“通过自己的努力”，他可能“完全够格让我们称其是一位杰出的数学家，同样确定的是，他像很多其他自学成才的人一样，粗犷而自负。”(3)
塔尔塔利亚曾暗示一位同事，他已经解决了形如x3＋cx2＝d的常数方程。这足以对费尔形成一个直接的挑战。1535年初，费尔公开向塔尔塔利亚挑战。他们达成一项协议：每个人向对方出30道题，30天后，谁解题多，谁就是胜利者。因为当时没有其他地方可以求助，所以不用担心耍鬼。
没人知道在论战之初塔尔塔利亚到底知道多少，但在1535年2月13日的晚上，他解决了两种形式的常数三次方程（有x2项和没有x2项的），这真是一个巨大的成功！这意味着它能解决费尔的全部30道题。另一方面，塔尔塔利亚充分意识到费尔只会解压缩了的三次方程，于是他围绕着这种形式（上述两种形式的常数三次方程）设计他的出题。因此，费尔对塔尔塔利亚的题一筹莫展。
塔尔塔利亚大获全胜。从此，费尔在公众面前销声匿迹了。
塔尔塔利亚的名声传开了，他的学生数量急剧增长。照我们今天的想法，我们也许以为塔尔塔利亚会发表他新发现的（或者说新发展的）解决三次方程的技巧。但他没有，他也做了严格的保密。莫雷在后来抱怨说：“他把他的关于三次方程的新解法当作私有财产一样保存，珍视它们如珍视魔法装备一般，以确保他在代数学的争端中保持常胜，并使他享有盛名、受人敬畏……”他接着说：“这是科学成果一种自私的用法，今天（1854）的学者没有谁会同情，在16世纪，甚至我们怪异的、激动人心的卡尔达诺也认为这种做法是吝啬的……”(4)
正如我们将会看到的，他这样说也许更好：“特别是我们怪异的、激动人心的卡尔达诺。”
但是请记住，数学是很有用的工具，也是让人醉心的谜。当时很多西方强国在争夺意大利的控制权，将数学应用于弹道学是一个热门课题，塔尔塔利亚也投身其中。所以，在1537年，塔尔塔利亚不再关注三次方程，而去钻研弹道学。他在该领域成功地出版了一本书《新科学》（Nova Scientia），书中对新方法和新器械都有描述。
显然，他的前景一片光明，但这时出现了一个很意外的转折。因为此时，费尔刚淡出了这个圈子，另一个更危险的对手吉罗拉莫·卡尔达诺就杀了进来。
虽然卡尔达诺和塔尔塔利亚年纪相仿，但他的早年与后者迥异。他1501年生于帕维亚（Pavia）。他后来回忆道：“在我童年，父亲就教我初步的数学知识……12岁以后，他教我欧几里得（Euclid）几何，学了6本书之后，他再没有花太多工夫在这上面，因为我已经能够自学了。”(5)卡尔达诺的父亲是一位受过良好教育的律师和几何学讲师，也是热衷数学的莱昂纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）的朋友。
卡尔达诺的父亲希望他学习法律，而他尽管在数学上展示了过人天赋，却想以医学为业。他19岁时进入帕维亚大学，21岁时就开始参加有关欧几里得几何的公开辩论和演讲了。后来他转学到帕多瓦大学（Padua），25岁时他在那里获得了医学学位。
卡尔达诺的一位传记作者魏斯坦·奥尔（Oystein Ore）写道，“他性情急躁，报复心强，容易发怒，经常卷入严重的争吵中。”(6)卡尔达诺在他的传记中告诉我们，从1524年到1547年，他官司缠身——据他说，他都赢了，对此我们不应感到惊诧。或许，他投身法律界岂不更好？
显然不是这样的。聪明而有个性的他，此时在医学界正声誉日隆。到16世纪30年代，他可能已经成为了意大利北部最受欢迎的医师。但看起来，对比现在，医学在当时代表着不同的职业选择。1537年，他被邀请在帕维亚大学教授医学，但他拒绝了，“因为看起来，这份工作没什么希望赚到钱”(7)。他从医的收入基本上都来自病人和赞助。
卡尔达诺是一个很不寻常的人物，尽管人们发明了“文艺复兴时期的男人”这个词来形容他。因为除了医学，他在其他好几个迥异的领域成就非凡。例如，他是一个资深赌徒。他出版了一本非常受欢迎并且很实用的赌博手册，里面包括了一些概率方面的先进知识，同时也有一些耍鬼的详细做法。
他还为达官显贵们占星，精通数学和天文学的人常干这事。虽然卡尔达诺对他的能力颇感自豪，但这行当让他陷入各种各样的麻烦之中。一个例子是：他给英国的少年国王爱德华六世（Edward Ⅵ）占星，显然他恰好错了。后来他为耶稣也占了一次，这被证明是一个馊主意。
卡尔达诺出生在一个迷信的家庭，继承了家族的传统。在那时，他在医学和自然史（现在称为科学）领域做了一些非常好的观察。正如卡尔达诺在他的自传中所说：“如果你把知识的重要分支数目定为三十六的话，我克制自己不去熟悉其中的（二十六个）……”他接着谦虚地承认，“对其中的十个，我很投入”(8)。
我们关注他的数学成就，特别是他的《大衍术》。当然，他使三次方程和四次方程的代数方法为人所知，这是巨大的贡献。这有多少要归功于塔尔塔利亚和其他人？让我们来审视一下这本书的出台历程。
听说塔尔塔利亚战胜了费尔后，卡尔达诺曾请求塔尔塔利亚允许，在他（卡尔达诺）自己将要付梓的数学书中披露塔尔塔利亚的三次方程解法。他承诺：这种解法将完全归功于塔尔塔利亚。
塔尔塔利亚起初的回复是：他正计划自己写一本书，他将在书中清楚地说明这个规则。什么时候？他不能说，因为在当时他有很多事要忙。这些事包括：首先，他的弹道研究工作；其次，他的欧几里得几何翻译。意识到这个解法重要性的卡尔达诺，不屈不挠，缠着塔尔塔利亚不放，百般恳求。
流传到今天的一系列信件告诉我们，他们之间的关系时而紧张，时而轻松。比如开始的时候，卡尔达诺称塔尔塔利亚贪婪并吝于助人(9)。接着卡尔达诺猛烈地批评塔尔塔利亚弹道学著作里的某些成果。塔尔塔利亚措词激烈地答复了他，用了这样的话：“但是，你用荒唐的敌视来奇迹般地证明我错了，在相信这一点上，我不会说你仅仅证明了你是一个伟大的不学无术之徒，但我会说你证明了你是一个缺乏判断力的人。”(10)
卡尔达诺换了另外一个方法，他说：“你不应该认为我言辞激烈是因为我的敌意……我那样乱写真的只是想激起你的回应。”(11)
作为计划的一部分，他友好地邀请塔尔塔利亚访问他的家，并不失时机地指出，他还会有更多的表示。卡尔达诺声称他非常有兴趣解决纯粹的学术争端。最终让他的诡计得逞的是，他借用了一个大人物的名义：他的赞助人阿方索·德·阿瓦洛斯（Alphonso d'Avalos），也就是德尔·瓦斯托侯爵（Marchese del Vasto）。德·阿瓦洛斯是首都在米兰的伦巴第（Lombardy）的西班牙人总督、驻扎该地的帝国军队首领，是当时意大利最有影响力的人物之一。在给塔尔塔利亚的一封信中，卡尔达诺写道：“必须首先声明，我很崇敬你。你关于弹道学的书一问世，我就买了两本，送了一本给侯爵先生。”(12)
在日期为1539年3月13日的另一封信中，卡尔达诺写道，他的主人“急切地命令我以他的名义立即写这封信给你，建议你见信后务必到米兰来，因为他很想与你谈谈。”塔尔塔利亚非常清楚地意识到与德·阿瓦洛斯的友谊对他会很有帮助，于是同意了：“尽管我不愿意去那边，但我会去的。”(13)
不出所料，当塔尔塔利亚到米兰的时候，德·阿瓦洛斯不在。这是故意的欺骗还是显贵日程匆忙的结果？很难说。魏斯坦·奥尔在卡尔达诺的传记中，衡量了前一种可能性，指出这“将是一个很复杂和危险的方案。如果拿着邀请函的塔尔塔利亚直接给德·阿瓦洛斯写信的话，卡尔达诺就是搬石头砸了自己的脚。”(14)
不过，卡尔达诺还是设法从塔尔塔利亚那里套出他的秘密，但塔尔塔利亚不会那么傻，以至于拱手交出答案。他给卡尔达诺的是解决压缩了的方程的“规则”，而不是普遍解法的“实证”，用现在的话说就是用规则导出解法的证明。另外，他用模糊的诗句这种形式给出他的解法，虽然后来他清楚地向卡尔达诺做了解释。
1539年5月，卡尔达诺的《通用算术实践》（Practica Arithmeticae Generalis）问世了，里面没有塔尔塔利亚的解法。它有一些错误，对此，塔尔塔利亚很高兴地指出来了。实际上，他是在取笑卡尔达诺其人和其书。卡尔达诺在后来的版本里对这本书做了修订。接着，塔尔塔利亚开始听到关于一本代数学的新书将要问世的传闻，卡尔达诺否定了这个传闻，于是风平浪静了一段时间，但实际上，他正在酝酿这样的一本书。
卡尔达诺确实是一个多产的作家。直到去世，他在不同的学科出版了数以千页的书。《衍术》（Ars）将是一部10卷本的百科全书式的数学书，这部书从来没被完成，也没有多少留下来。《大衍术》是他原书名《大衍术或代数学的规则》（Artis Magnae Sive de Regulis Algebraicis）的简称。在英语里，它的意思是《伟大的艺术》（The Great Art）。为了和其他书相区别，书中收录了很多基础成果，诸如他自己早期在算术上的成果。他也很清楚地意识到三次方程的解法对这本书的成功与否意义重大。所以，他同能干的助手卢多维科·费拉里（Ludovico Ferrari，也拼作Lodovico Ferrari）一起，花了数年时间揣摩出那些诗句的意思。当他开始理解了它们之后，他又拓展了它们的含义。因此，正如我们将会看到的，《衍术》所展现的并不是简单地复述塔尔塔利亚的规则。
卡尔达诺的书还运用了大量的几何知识。实际上，正如威廉·顿汉姆（William Dunham）在他的好书《天才之旅》（Journey through Genius）中所说：“他的证明纯粹是几何的，包括了用文字书写的立方体和它们的体积。实际上，当我们回想一下当时代数符号的落后情形，以及在文艺复兴时期数学家心目中古希腊几何学的崇高地位，我们就不会这么吃惊了。”(15)
于是，在每一章中，卡尔达诺首先给出一个特别数值三次方程的几何说明，再写出解决这种方程的一般方法，然后举出一道或多道例题，并用这种法则去解它。因为用零和负数做系数还没有出现，卡尔达诺只好详细说明13种不同的三次方程，每种都只用正系数，并且每种都独立成章。
此外，这些几何解法本来就既转弯抹角又拖沓冗长，当时的符号又很原始，现在的人读它会很困难，我们没必要仔细阅读他的说明文字的任一部分。但展示一下他的演算法则怎样解决一个压缩了的方程的特例还是值得的，他在第11章中给出了这个解法。
在书中，卡尔达诺首先做了一个针对每章所用法则的一般性说明，这些法则将对该形式的所有有数值的例子都有效。接着，他举了一个特例，并展示怎样运用此法则解决这个例子。我将把它们结合起来，写出他的法则，并且为了节省地方，在行文中我将把这个特例的结果简洁地放在方括号里。
用现代符号来表示，这个例子是
，他的法则翻译过来，是这样开头的：
“x的系数的三分之一的立方
；加上此方程常数的一半的平方［102＝100］；取它们和的平方根
。你要把这个值写两个，一个加上你已经平方过的那个数的一半，一个减去它的一半。于是你会得到一个二项式（binomium）
它的余式（apotome）
。把二项式的三次方根减去它的余式的三次方根，你就会得到x的值：
卡尔达诺不耐烦去讲清楚答案，但你们中的数学家会明白这个复杂的表达式的值恰好是2。
并不是所有的例子都得到了整数根。在有些例子中，他发现他得到了虚根。虽然这些虚根困扰着他，但他确实承认了它们的存在。
毫无疑问，卡尔达诺对这个领域的贡献巨大。问题是：他对待塔尔塔利亚背信弃义到何种程度？答案一如既往的扑朔迷离。首先，奥尔指出，跟卡尔达诺同时的人中，没有谁在当时表达出不满，尽管事件的细节传播甚广。负面的观点似乎在后来即18世纪和19世纪初才出现(16)。
有一个关于保密的神圣许诺吗？很多作者（也许是大多数）都做了肯定回答。但这主要是基于塔尔塔利亚的声明。在《大衍术》出版后的第二年，塔尔塔利亚出版了他自己的书《各种问题和发明》（Quesiti et Inventioni Diverse，New Problems and Inventions），里面有他保留下来的他们会面的详细记录(17)。很多作者依据这本书，并引用下面这段文字，即塔尔塔利亚所说卡尔达诺给他的承诺：“我按着神圣的福音书起誓，以一个绅士的名义保证，不仅在你告诉我你的发现之后，永不出版它；而且我以一个真正的基督徒的名义承诺，保证把它们当密码一样藏在心里，即使在我死后，没有人能够理解它们。”(18)
有些人指出这样一个事实：卡尔达诺和塔尔塔利亚会面时，卡尔达诺的秘书和助手卢多维科·费拉里也在场，费拉里后来振振有词地赌咒说，卡尔达诺从来没有发过这样的誓。费拉里声称：在盛怒的狂热下，塔尔塔利亚对以前会面的记录大体上都做了歪曲。
一位现代的传记作家阿兰·怀克斯（Alan Wykes）走得更远。他争辩说，卡尔达诺自己推算出了这些代数方程，至少没有借助塔尔塔利亚。怀克斯说，在《大衍术》中，“也许是记录或记忆的失误，他（卡尔达诺）在书中说塔尔塔利亚曾和他讨论这个发现并允许他使用它。”但是，怀克斯还说：“出于卡尔达诺大方的姿态，它可能不是一个失误，而是故意地含混。”(19)
然而，从塔尔塔利亚拜访卡尔达诺到《大衍术》的出现，6年时间过去了。在这期间，卡尔达诺和费拉里听说另有他人有这个解法，于是他们在1543年来到博洛尼亚，拜访他们的同道安尼贝勒·德拉·纳夫。在那里，他们被允许察看希皮奥内·德尔·费罗的手稿，由此他们得知，德尔·费罗才是最早用代数方法解决此类方程的人，而不是塔尔塔利亚。在这种情况下，他们辩驳说，即使卡尔达诺曾立下誓言，那个誓言也不再有效了。
远在《大衍术》出版之前，已有暗示说有人在从事这项工作。例如，在一次受到塔尔塔利亚的拒绝后，卡尔达诺再次写信恳求，并加上这样的话：“我最好应该把你从你是世界上第一个……的幻觉中拯救出来，我真诚地给你写信，希望你丢掉你自命非凡的幻想。我也亲切地想让你知道，即使你自认为在知识的攀登之旅中已接近顶峰，但实际上你还在谷底。”(20)
他是在这里暗示塔尔塔利亚不是这种解法的原创者吗？为什么不直截了当地说出来呢？这是400年前的事了，事情的发展也许跟我们看到的不一样。
无论如何，卡尔达诺在宣布自己发现这个法则的问题上很谨慎。在三个地方，他引用了前人在解三次方程上的成果。例如，在第一章开始不久，他写道：“在我们的时代，博洛尼亚的希皮奥内·德尔·费罗已经解决了三次方加一次方等于常数的情况，这是了不起的、让人钦佩的成就。既然这项艺术超越了所有人类智慧的微妙和理解力，投身其中的人将会相信世间没有他理解不了的东西。效法费罗，我来自布雷西亚的朋友尼科洛·塔尔塔利亚，一个好胜心极强的人，当他和他（希皮奥内）的学生安东尼奥·玛丽亚·费尔赌赛时解决了同样的问题。在我的多次恳求下，他被感动了，将解法告诉了我。”(21)
卡尔达诺在第11章的开头重复了几乎同样的话：“他（塔尔塔利亚）在我的恳求下，把解法给了我。”但他接着说，塔尔塔利亚保留了这个方法的实证：“借助于这个（法则的）帮助，我找到了（各种）实证。这确实是一件困难的事，接下来把它写出来也很困难。”
他的书的确与众不同。在塔尔塔利亚提供给他的基础上，或者说他从其他任何渠道得到的东西的基础上，做了很多扩充。更特别的是，在他的秘书兼助手卢多维科·费拉里的帮助下，他以他开始时用的方法（从塔尔塔利亚或其他人那里得来的解决压缩了的三次方程的方法）为踏脚石。通过运用恰当的代入法，将它们变成我们所熟知的形式，他找到了三种其他三次方程的解法。接着，在费拉里（卡尔达诺给了他应有的评价）的再次帮助下，卡尔达诺也展示了怎样以这些三次方程解法为基础去找到四次方程的解法。另外，卡尔达诺指出，三次方程应该有三个根。
尽管得到了卡尔达诺的承认，塔尔塔利亚还是怒火中烧。第二年，他出版了《各种问题和发明》——这本书我们在前文已述及。书的前半部分确实包含了那些年里他发现的问题及其解决办法，但后半部分却完全用来全力批判卡尔达诺和他的《大衍术》。它包括他们通信的复述，并附有他自己的评论。这是一个充满怨恨的但有力的批判。他公开地大肆嘲笑卡尔达诺的数学能力。怀克斯形容这本书是“猛烈的批判……否认曾经给过卡尔达诺授权，并指控他剽窃。”(22)
正如塔尔塔利亚所料，他收到了回应，但不是他所期望的。因为看起来，我们在这里谈论的不是两个，而是三个好争斗的典型。奥尔写道：“文艺复兴时期充满了鲁莽冲动的天才，费拉里是一个典型。他脾气如此暴躁，以至于卡尔达诺有时都害怕跟他说话。17岁时的某一天，他和别人争吵后回到家，人们发现他右手的手指都没了。”(23)
1547年2月10日，不是卡尔达诺，而是费拉里，以一封印好的挑战书做了回应，宣称塔尔塔利亚几乎可以在任何科学课题上向他挑战，与他辩论。他声称：塔尔塔利亚“写了一些东西，不实并无耻地诽谤了上文提到的吉罗拉莫［原文如此］（卡尔达诺）先生，同他（卡尔达诺）相比，你（塔尔塔利亚）简直一文不值。”(24)费拉里把挑战书同时传给全意大利的很多学者和显贵看，以至于塔尔塔利亚很难拒绝。费拉里的攻势很猛，他认为：塔尔塔利亚利用攻击他人来给自己树碑立传；在自己的书中，发表了一个证据，证明他的成果被剽窃，没被承认；具有讽刺意味的是，他的书里充满了错误。
他们讨价还价了一番。塔尔塔利亚抱怨说，他想挑战的是卡尔达诺，而不是他的学生费拉里。然而，代表卡尔达诺出战的费拉里激烈地对塔尔塔利亚出言不逊，塔尔塔利亚别无选择，只好勉强同意。费拉里还称：卡尔达诺的解法应归功于德尔·费罗和费尔，他们两人都早于塔尔塔利亚找到三次方程的解法，对此，他们无需宣誓保密。
无论如何，在接下来的八月，确实发生了一场公开的赌赛。细节我们不是很清楚，但看起来，在经历了一段简短的充满责骂的战斗后，塔尔塔利亚退了出来。费拉里宣布获胜，卡尔达诺甚至没有参加进来。
虽然赌赛的细节很少流传下来，但后来发生的一些事还是很容易让我们推测出当时的结果。塔尔塔利亚失去了家乡布雷西亚有前途的职位，然而费拉里却收到了很多待遇不错的邀请：他被邀去塔尔塔利亚所住的城市威尼斯讲学，接着他成为博洛尼亚的数学教授。现在，塔尔塔利亚的痛苦真是雪上加霜！
为自己的学识深感自豪，并在数学领域做了一些奠基工作的卡尔达诺显然很满意让费拉里充当他的斗士，这看起来有些奇怪。奥尔指出：“卡尔达诺在他的学生时代就投身大学辩论，取得了显著的成功……卡尔达诺应该很善于辩论；他反应敏锐，记忆力好，谈锋甚健。从他自己的记录可以看出，他在这些争斗中变得如此娴熟，以至于他的对手鲜有胜算，甚至往往颜面扫地。”(25)奥尔所指主要是医学上的论争。卡尔达诺对自己的数学能力不自信吗？
正如很早以前在费尔身上发生的一样，塔尔塔利亚失去了某些公众对他的尊敬和享有的声誉，但是，这只会增加他的痛苦。塔尔塔利亚将他的痛苦都发泄到卡尔达诺身上。他退隐到这个圈子的一角——愤怒着，等待着，观望着，谋划着。
塔尔塔利亚所看到的是一个上升势头正猛的对手，这不是个好对付的对手。怀克斯写道：“卡尔达诺博士的名声在哲学、占星术、数学、自然科学和医学诸领域无处不在。佩特里乌斯（Petrieus）出版社（他的出版商）给他出版了二十本书、小册子、论文。”(26)这种事该会怎样地激怒塔尔塔利亚啊。
他首先设法用一个复杂的计谋诱使卡尔达诺上当。这个计谋利用了他（卡尔达诺）与戈那扎加（Gonazaga）的友情和教皇对占星术的沉溺。戈那扎加是米兰的总督，也是教皇的对手。塔尔塔利亚有一个主意：他可以通过巧妙安排，邀请卡尔达诺作为一个占星家和医生为教皇服务。或许，他认为可以由此激起某种针对政治密谋的指控。
但卡尔达诺志得意满，不需要任何保护人。他以个人原因拒绝了这个邀请。塔尔塔利亚接着竭力向人们灌输这样的想法：卡尔达诺通过拒绝邀请来冒犯教皇陛下。塔尔塔利亚还抄写了一份卡尔达诺早年对耶稣的占星分析，意欲使教皇明白这是在亵渎神明。很明显，形势对卡尔达诺很不利。但这次塔尔塔利亚初步的报复尝试在16世纪50年代早期逐渐偃旗息鼓了。他退了下来，筹划着另一场战役。
卡尔达诺的事业依然如日中天。他把持着帕维亚大学的医学讲席，这为他赢得了物质财富、写作时间和崇高威望。各种各样的邀请接踵而至。塔尔塔利亚努力地克制着自己，终于，他的耐心得到了回报。命运女神垂青于他，让他满载而归。
卡尔达诺在很多方面都很幸运，但说到他的孩子们，却是另一回事。他的三个孩子，两个儿子和一个女儿，都在为他铺着走上毁灭的路。得益于卡尔达诺的显赫，他的女儿齐亚拉（Chiara）嫁了一个好人家，她与来自贵族世家的巴托洛缪·萨科（Bartolomeo Sacco）结了婚。不幸的是，齐亚拉是一个生活放荡的年轻女人。萨科不仅要求解除婚约，还想让卡尔达诺为这个“下贱的女人”(27)做出赔偿。在1557年和1558年这两年，卡尔达诺身陷法律和教会的纠纷中难以脱身，他曾经光耀无比的名声开始损毁。
虽然他设法继续他作为一个医生和哲学家、学者、作家的工作，但他深深地受困于女儿的麻烦之中，祸不单行，另一个麻烦来了。1557年12月，他最喜爱的大儿子简巴蒂斯塔（Giambattista）结婚了。卡尔达诺本来期望这个孩子能娶一个好女人，但他却选了一个穷困没落人家的女儿。这家人指望卡尔达诺能扶持他们，而卡尔达诺也确实在他们身上花费了自己大部分的资金。
这桩婚姻的细节难以确知，但肯定是糟糕至极。因为过了两年，简巴蒂斯塔的妻子死于砒霜中毒，卡尔达诺的儿子以谋杀罪被逮捕。卡尔达诺竭尽所能证明他儿子是无辜的，但简巴蒂斯塔自己做了坦白交代并被处决。卡尔达诺无法从这个阴影里走出来，这可能极大地影响了他的神智，因为他开始变得疑神疑鬼，怀疑有人对他图谋不轨。
当然，有人企图用这种或那种办法毁了他是有可能的，嫉妒名人并不少见。而且考虑到他刚愎好斗的性格，有些人竭尽所能地想拉他下马，这是完全可信的。
在他正在面临的和即将到来的困境中，他另一个儿子阿尔多（Aldo）又给他带来了新麻烦——阿尔多成为一个酒鬼和赌棍。他有一段时间和卡尔达诺住在一起，但两个人相处不好。在16世纪60年代早期，阿尔多搬出去了，但债台高筑的阿尔多闯入卡尔达诺的房子并被抓了起来。卡尔达诺再也不对他抱什么指望了，这是他子女中的又一个灾难。
于是，他再次全神贯注于写作之中。但现在有人图谋把他从帕维亚大学的医学讲席上赶下来，接着就是要剥夺他在米兰的更有威望的大学里的席位。1563年，他被取消了讲学资格，还被控犯了好几种罪。他实际上已经被米兰城驱逐，帕维亚大学也跟着这样做，他带着深深的失望在1563年底离开了那里。他的财富没了，他的书被没收了。
这10年里剩下的时光，卡尔达诺没有取得任何进展。他的祖国被西班牙统治着，战死无数，人民深深受累于苛捐杂税。西班牙宗教裁判所的工作如火如荼，影响巨大。各类学者都受到了怀疑，但塔尔塔利亚还是设法平安度日。卡尔达诺找不到工作，并且，据怀克斯说：“正是塔尔塔利亚煽动那些学院和大学，使他们大多拒绝了卡尔达诺的申请。宗教裁判所的网络遍布城市、葡萄园、村庄和公共广场，把一只阴暗的手放在任何一个公民的肩上都非常容易，无论这个公民是大人物还是小人物。”(28)
但这只是开头而已。1570年10月13日，差不多在《大衍术》出版后25年，塔尔塔利亚给了卡尔达诺双重打击。利用卡尔达诺亲生儿子阿尔多作为告密者来透露卡尔达诺的行踪，塔尔塔利亚把他（卡尔达诺）交给了裁判所。塔尔塔利亚收集对卡尔达诺不利的证据多年了。其中一条“罪证”就是：卡尔达诺拒绝教皇的邀请，不去做他的占星家和医生。塔尔塔利亚在卡尔达诺的评论中指出了一条“挖苦性的”证据。这段评论是这样的：“因为他的占星术研究，毫无疑问，教皇陛下已成为此类科学家中最伟大的一员，他已不需要我这样的人的帮助。”(29)
卡尔达诺关于耶稣的命盘分析也是灾难性的，就像其他一些断章取义的说法一样，都会被解读为亵渎神明。例如，他在一本书中说：神是普遍存在的灵，他的仁慈不仅仅施于信仰基督教的人。在今天，因为这种广为接受的说法，他会被人们尊敬；但在当时，这显然是一个危险的想法。
于是他受审了。幸运的是，卡尔达诺没有受刑更没有被处死，但他还是被投入监狱。他近乎绝望地寻求帮助，终于他的求救被教会的一个官员汉弥尔顿大主教（Archbishop Hamilton）得知，后者在过去曾要求卡尔达诺如有需要就去拜访他。大主教成功地营救了卡尔达诺，使他在几个月后被释放。这真是太及时了！因为不久以后，大主教本人的命运就发生了转折：他被苏格兰女王玛丽的军队抓获并被斩首。
塔尔塔利亚终于报复成功了。卡尔达诺隐姓埋名住在罗马，在那里，他埋头于自己的自传，这是一本以全本流传至今的作品。他也许永远都不知道——幸好他不知道——他的女儿齐亚拉已经死于梅毒。正是儿子阿尔多向裁判所出卖了他，由此在博洛尼亚得到一个官方行刑手和刽子手的差使。
卡尔达诺死于1576年。不到一年，塔尔塔利亚也随他而去。
仔细研究过卡尔达诺的奥尔说：“他在其他领域的原创性有时让人生疑，但《机会性游戏手册》（De Ludo Aleae）这本晦涩难懂、在某种程度上算得上是声名狼藉的书，写的是怎么在纸牌和骰子游戏中获胜，展示了他毫无争议的天才。”(30)另外，威尔海姆·戈特弗里德·莱布尼兹（Wilhelm Gottfried Leibniz）（详见本书第3章）主张：“卡尔达诺是一个有很多缺点的伟人；没有这些缺点，他将无与伦比。”(31)
对于塔尔塔利亚，奥尔相信：“如果塔尔塔利亚没有来到世间，数学科学就不存在伟大而富有创意的想法。”(32) 塔尔塔利亚死后，有人尝试汇编并出版他未付梓的手稿。奇怪的是，什么都没找到，连三次方程的解法都没找到。
奥尔说，无论如何，塔尔塔利亚不是一个懒散的人。在其他（正常）情况下，他的成就肯定会更辉煌。正如奥尔所说：“他最大的悲剧是与当时世界仅有的两个对手（卡尔达诺和费拉里）激烈争斗，而这两个人的水平高于他。”(33)
当塔尔塔利亚和卡尔达诺两人鹬蚌相争时，毫无疑问，数学是那个得利的渔翁。
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(1) 克莱因，1953年，第109页。
(2) 也拼作Fiore，在有些文章中甚至拼作Florido。
(3) 莫雷，1854年，第1卷，第218页。
(4) 莫雷，1854年，第1卷，第220页。
(5) 卡丹（Cardan），1962年，第142页。
(6) 奥尔，1953年，第129页。
(7) 卡丹，1962年，第15页。
(8) 同上书，第170页。
(9) 费尔德曼（Feldman），1961年，第162页。
(10) 奥尔，1953年，第72页。
(11) 同上书，第74页。
(12) 莫雷，1854年，第2卷，第233页。
(13) 同上书，第246页。
(14) 奥尔，1953年，第78页。
(15) 顿汉姆，1990年，第142页。
(16) 奥尔，1953年，第84、85页。
(17) 卡尔达诺，1993年，第x页。奥尔，1953年，第86页。
(18) 莫雷，1854年，第2卷，第249页。
(19) 怀克斯（Wykes），1969年，第115页。
(20) 奥尔，1953年，第68页。
(21) 卡尔达诺，1993年，第8页。
(22) 怀克斯，1969年，第115—116页。
(23) 奥尔，1953年，第81页。
(24) 卡尔达诺，1993年，第xi页。
(25) 奥尔，1953年，第53页。
(26) 怀克斯，1969年，第118页。
(27) 怀克斯，1969年，第150页。
(28) 怀克斯，1969年，第173页。
(29) 怀克斯，1969年，第174—175页。
(30) 奥尔，1953年，第49—50页。
(31) 奥尔文集，1953年，第52页。
(32) 奥尔，1953年，第106页。
(33) 同上。
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