伯努利伯努利

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【摘要】：事实上，那个时代大约有六位最主要的数学家，他们差不多都是伯努利两兄弟之一的学生。实际上，这个传统仍在继续：约翰的第三个儿子也成为一名数学教授，后来，这个儿子的两个儿子也在自然科学和数学界很活跃。今天，有六个数学方程、定理和函数都以伯努利命名。与此同时，约翰对数学的钻研更加精深了。这种设计有时被称为等时线或等时曲线。

伯努利家族是一个令人惊异的瑞士家族，他们家族三代人出了八位著名的数学家。

我们故事中的两位主角是雅各布和约翰兄弟。生于1654年的雅各布是十个孩子中的第五个。他们的父亲是一位成功的香料商人，他希望雅各布能进入政府部门。雅各布甚至还为此专门学习过一段时间，但是雅各布真正感兴趣的是数学，他通过自学来钻研数学。1676年在他22岁时，雅各布就在教其他学生数学了。1687年，他成为巴塞尔大学的一名教授。大约在这个时候，也就是莱布尼兹发表他在微积分上的第一篇论文后不久（1684年和1686年），雅各布就已经投身其中做微积分研究了。1690年，莱布尼兹经常这样评价他：“（莱布尼兹的）微积分的思路还只有少数人懂得，我还没听说比这个著名的人（雅各布）更懂我意思的人。”⁽¹⁾

约翰是伯努利家的第十个孩子，他生于1667年，比雅各布要小十二岁半。让他父亲沮丧的是，事实表明他不适合从商。1685年，约翰开始学医，甚至拿到了医学学位，但是和雅各布一样，他的心在数学上。可能是在1687年，约翰开始私下里跟哥哥雅各布学习数学。大约过了两年，他的水平已经和哥哥差不多了。他们两位是首先认识到微积分的重要性，并将其投入运用，并向世界宣传它的意义的数学家。

1691年，约翰向纪尧姆·弗朗西斯·罗必塔（Guillaume Francois L'Hospital）传授新数学知识。遵照约翰的课程计划，罗必塔坚持下来，写出了第一本微积分的系统教科书《无穷小分析》（Analyse des infiniment petits，1696）。约翰还教过莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）数学，后者成长为18世纪的数学巨人。事实上，那个时代大约有六位最主要的数学家，他们差不多都是伯努利两兄弟之一的学生。一个有趣的巧合是，约翰有一个学生名叫J·C·法蒂奥·德·丢勒（J. C. Fatio de Duillier），他的哥哥在牛顿—莱布尼兹争端中扮演了重要的角色，正如我们在上一章看到的那样。

对我们的故事更重要的是，约翰教授数学给自己的两个儿子丹尼尔（Daniel）和尼古拉（Nicholas），他们俩都成为非常受人尊敬的数学家。实际上，这个传统仍在继续：约翰的第三个儿子也成为一名数学教授，后来，这个儿子的两个儿子也在自然科学和数学界很活跃。今天，有六个数学方程、定理和函数都以伯努利命名。

我们很容易以为伯努利家是一个伟大而快乐的家庭，两兄弟也特别满意他们的成就和教学生涯。

但是，事实完全不是这样的。虽然雅各布和约翰都成功而忙碌，且几乎不间断地与莱布尼兹及其他数学家保持着交流，他们兄弟之间也保持沟通，但他们也抓住一切机会互相挑战、争论、诽谤。这是一个闹得极大的手足相争，因为雅各布一直都不能接受这样的事实：比他年轻得多的弟弟跟他旗鼓相当，在某种程度上，甚至还超过了他。而约翰呢？！——好了，我们马上就会看到，对于雅各布兄长的地位，弟弟约翰做出了怎样的反应。

到17世纪90年代初，雅各布已经在使积分规范化方面做了很多工作，比莱布尼兹本人做的还多，因为莱布尼兹忙于处理个人问题，没有给这个学科制定通用的规则。与此同时，约翰对数学的钻研更加精深了。于是，通过相互激励的奇怪方式，两兄弟用新数学作为工具解决了困扰数学家们多年，甚至几个世纪的问题。

约在1659年时，荷兰数学家和物理学家克里斯蒂安·惠更斯（1629—1695）寻求找到这样一条曲线：沿着曲线，一个物体在重力的作用下，从曲线上的任一点开始下降，都会花同样的时间到达曲线底部。他用几何方法显示该曲线是一条摆线，于是，惠更斯运用这个观念设计了一个走时准确的摆钟。这种设计有时被称为等时线或等时曲线。伽利略在早些时候提出过用钟摆制作时钟的观点，莱布尼兹在这个问题上也做过一些数学方面的基础工作。

1690年，在微积分的基础上，雅各布在《博学学报》上发表了他对等时问题的分析。通过对这种下降速度不变的曲线建立微分方程，他解决了这个问题。他向大家展示，这种曲线是摆线。大体上，他运用分析的方法证明了惠更斯的结论。这篇论文之所以重要还有一个原因：积分（integral）这个重要的微积分术语第一次出现了。

在等时问题上的成功，雅各布倍感自豪，他在这篇论文里接着提出了一个相关的问题：在高度相同的固定两点之间悬挂一条易弯曲但没有弹性的线，求所得曲线的形状。对这个问题的推算至少可以追溯到15世纪的莱昂纳多·达·芬奇。伽利略考虑过这个问题，并猜测该曲线是抛物线。

雅各布发表论文后13个月，1691年6月的《博学学报》上出现了好几种关于该问题的解法。答案是一种被称为悬链线的曲线，它们的作者是莱布尼兹、惠更斯——还有约翰。前面有一段引自雅各布的引文，他称之为“Additamentum ad Problema Funicularium”。文中，他声称在弟弟给出该问题的答案后，他进一步研究了该问题的一些变化形式，如绳子厚度和重量不均时的情况，这些问题他都解决了⁽²⁾。我们将会看到，雅各布的引文对原问题不是一个严格的解答，该引文有几种不同的解释。

约翰强调他能够解决这个悬链线问题，而他的哥哥——也是他的老师——却不能。这是1691年的事。大约27年后的1718年，约翰在给他的同行兼朋友皮埃尔·雷蒙德·德·蒙莫尔（Pierre Remond de Montmort）的一封信中，道出了后来他和哥哥的关系状况。信中谈到他13年前死去的哥哥，用语轻蔑。从这里，我们能看到他们兄弟之间因永无休止的竞争而导致的紧张关系。很显然，蒙莫尔先生之前一直以为雅各布解决了悬链线问题，但约翰不以为然。他写道：

我哥哥的努力没有结果。而我却幸运得多，因为我找到了（我这样说不是吹嘘——我为什么要隐瞒真相呢？）完全解决它的技巧，并把它简化为只是对抛物线做出一些修正。的确，我花了整整一晚上来钻研它而没有休息片刻……但在第二天早上，我满怀喜悦，跑到我哥哥那里去，他还在痛苦地思索如何解开这个戈尔蒂之结。他茫无头绪，老是像伽利略那样认为悬链线是一种抛物线。打住！打住！我对他说，不要再用试图证明悬链线是抛物线来折磨你自己了，因为这完全错了……这两条曲线完全不同，一条是代数的，另一条是超越的……但是，后来你（蒙莫尔）断定我哥哥找到了解决这个问题的方法，这让我很吃惊……我问你，你真的这样认为？如果我哥哥解决了这个问题，他会很乐意帮助我，使我不和惠更斯先生及莱布尼兹先生一起出现在解决者的名单中——这样做使我放弃了以首先解决者的身份单独出现在舞台上的荣誉⁽³⁾。

约翰实际上已经看到了两种解决方法间的重要不同之处。

对于抛物线，在笛卡儿坐标系中标准方程最简单的形式是

这显然是一个代数方程。对于悬链线，约翰表明它是超越方程：

不久之后，约翰求出了风帆线⁽⁴⁾的微分方程。他不是那种能在私底下享受快乐的人，于是到处宣扬他的成就。

面对两兄弟各自的声明和反诉，梳理出背后的事实是我们从一开始就面临的困难，实际上我们已经遭遇到这样的困难了。尽管约翰声称他已经解决了悬链线和风帆线问题，这也得到了一些作者的支持⁽⁵⁾，但其他人对他这两项声明都有争论。比如，备受尊敬的数学史家W·W·鲁斯·波尔（W. W. Rouse Ball）争辩说，这两项成就的荣誉都应该归于雅各布。波尔主张，雅各布对风帆线问题的解答，以及对莱布尼兹给出的悬链线图形的证明都是正确的，都是他最伟大发现的一部分。⁽⁶⁾另外，有资料显示：雅各布的方法在后来被证明更有用，比如在吊桥和高压塔等建筑的设计中⁽⁷⁾。正如我前面提到的，雅各布1691年的论文包括了对悬链线问题变化形式的处理，并进一步将其推广，这表明他确实对这些原始问题有一些理解。

弗洛里恩·卡约黎（Florian Cajori）对这场混乱给出了一种可能的解释，他认为雅各布喜欢不作解释地发表解答，而约翰则会另外给出它们的原理⁽⁸⁾。

好了，问题有些明朗了。这一次很可能是约翰竭力想摆脱小弟弟的角色，于是宣扬自己的成就，或许还有所夸张。在这个问题上，约翰坚持认为他比雅各布更早找到解法，而且解法更好，又有谁能阻止他这样做呢？

莱比锡大学的数学教授鲁迪格·希勒（Rudiger Thiele）说，两位数学家的父亲的消极态度对兄弟两人的个性产生了不幸的影响。然而，希勒教授认为作为小弟弟的约翰受害尤其深重。随着年岁渐长，约翰养成了极度自负的性格，以此弥补他早年所受到的伤害。他竭尽所能去争取名誉，但他总是发现自己活在哥哥的影子中。于是，他尝试着夸大自己的重要性。

希勒教授甚至认为，约翰的性格问题事实上让他难以正常评价他自己的数学成就⁽⁹⁾。说到这两兄弟所取得的广泛成就，荣誉应该归谁，希勒指出，在他们相互交往的早期，兄弟俩亲密合作，所以有时很难区分出他们各自的贡献⁽¹⁰⁾。我前面提到的悬链线和风帆线的解决，可以用这个解释来说明。《大英百科全书》（Encyclopedia Britannica）声称约翰的数学贡献在数量上超过了他哥哥的贡献⁽¹¹⁾，希勒认为约翰说了太多假话（Unwahrheiten），以至于确实是他自己该得的名望别人都不承认了⁽¹²⁾。

但他乐此不疲。1701年，约翰写信给他的父亲：“我从来没有收到过父亲的信，这件事说明你更喜欢哥哥们，而对我没有感情。我真的不值得像我的兄长们那样被关心么？……如果你能告诉我他们是怎么从你那里赢得这种信任和感情的——这是你没有给我的，我将非常感激。因为我的父亲不允许我过自己想过的生活，我已经将自己置于神的引导下。所以，请你不要来巴塞尔带走我的名誉，并说你与之毫无关系。”⁽¹³⁾

雅各布也一样对他们的父亲强烈不满。他按照自己的座右铭行事，这个座右铭翻译过来是这样子：“我违背了父亲的意愿，但我功成名就。”⁽¹⁴⁾

无论如何，在17世纪90年代初，约翰已经真正成为一名数学家。他的名声和实际成就的不断增长，对于需要名望的雅各布来说，已经成为一个实在的威胁。这就埋下了激烈冲突的种子。希勒及其他人认为，随着冲突的升级，约翰往往是事端挑起者。但这种感觉并不总是可靠。数学史家J·E·霍夫曼（J. E. Hofmann）声称雅各布“任性、顽固、好斗、报复心强、自卑心重，但对自己的能力深信不疑。如此性情的他毫无疑问会与自己个性相似的弟弟约翰发生冲突。”⁽¹⁵⁾

正是在这个时期（17世纪90年代初），约翰和罗必塔有了交往。1691年，约翰在巴黎。在这里他作为一个新数学的从业者，备受尊敬。很快就发现了新数学的重要性和价值的罗必塔，聘请约翰做他的私人导师。罗必塔家境殷实，给约翰的报酬颇丰。即使约翰回到巴塞尔后，还通过信件继续他们的课程。这些用书面讲授的课程为第一本微分教科书——罗必塔的《无穷小分析》——提供了主要内容。此书也为罗必塔在数学领域取得受人尊敬的名声打下了基础。

虽然雅各布为约翰的自夸而感到伤心，但两兄弟继续开拓他们的数学事业，同时，他们也与同时代的其他数学家保持交流。他们还继续钻研新数学，并运用于一系列问题中。比如，1694年雅各布对一种迷人的8字形曲线提出了自己的分析。现在的数学课上常会看到这种曲线，通常人们称它为伯努利双纽线。

1695年，哈勒（Halle）大学邀请约翰担任教授，同时荷兰的格罗宁根（Groningen）大学也向他提供了数学教授的席位。他接受了后者，可是他这样做跟对雅各布的怨恨不无关系——他也许会更喜欢雅各布在巴塞尔大学的位置，但他很清楚，只要雅各布占据这个位置，他就没有机会了。况且，雅各布为了挽救自己的名誉，已经开始行动了：为了报复约翰的自夸，他到处说约翰是自己的学生，只会重复在老师那里学到的东西。

然而约翰现在的地位和雅各布一样高。1696年，约翰先是在《博学学报》上，后来通过一个小册子，提出了最速降线问题：两点不在一条垂直线上，一曲线连接此两点，一物体在自身重力的作用下从较高的一点下降到较低的一点，沿着某条曲线时速度最快，求这条曲线。凭直觉，有人会以为这个问题的答案是一条直线，这就是说：这两点之间的最短距离。但伽利略已经意识到，答案不是那样的，但他猜想的是一段圆弧也不对。正如我在前面提到的，1697年5月的《博学学报》一起登载了几位数学家提出的解法。这个光荣的团体由伯努利两兄弟、莱布尼兹、牛顿和罗必塔组成。需要指出的是：罗必塔得到了约翰的帮助。

两兄弟用来解决这个问题的方法尤其有趣，因为在这里，他们充分展示了他们个性和能力的不同。其实，约翰在这里用了一个窍门。他天才的头脑注意到了最快下降路径这个机械问题跟费马的最短时间原理及其在光学中的应用之间的联系。从斯涅耳（Snell）和笛卡儿那里，约翰知道当一束光从一种光学介质传到另一种介质时会发生什么。他指出：他可以把有关折射的正弦定律（详见第2章）与物体在重力作用下的速度方程结合起来：

然后，约翰将该问题中的垂直平面划分成一系列很窄的水平条带，从一个条带到下一个条带，它们的物质密度有轻微的变化。尽管该质点穿过每个条带时将走直线，但从一个条带到下一个条带时，它的路径将有轻微的弯曲，就像在一系列折射系数有轻微变化的光学介质中一样。于是，该质点的最短时间路径与一个光束穿过一个个介质层时方向做无穷小变化时是一样的。

接着，约翰写道：“但是，我们现在很容易看到，最速降线就是这样一条曲线：光在穿过一种密度与一个重物在下降过程中的速度成反比的介质时所走过的路径。确实，速度的增加是否取决于阻尼介质含量的多少？我们是否不考虑介质，并假定加速度是由另外的原因遵照与重力相同的定律引起的？——这两种情况下，穿越介质所形成的曲线用的时间都是最短的。我们是否有必要用一种代替另一种呢？”⁽¹⁶⁾通过让水平条带的数量趋于无穷，他得到了悬链线的曲线。

另一方面，雅各布提出了一个更形象但乍一看似乎更笨拙的方法：他画了一条曲线，然后用它作为分析的基础。他说：“这个问题可以由此简化为这样一个纯几何问题：求一条曲线，线上所有点的横坐标在一条正比例线上，而纵坐标的平方根在一条正比例线上。”⁽¹⁷⁾所得的曲线正是要求的。用他们各自的方式，两人向我们展示了这条曲线的正确形式恰好是一条摆线！雅各布的方法更好一些，它更直接、更通用。也就是说，它为同类型的其他几个问题提供了一些通用的法则。

数学史家E·T·贝尔说：“詹姆斯⁽¹⁸⁾·伯努利（就是雅各布）的非凡价值在于——他认识到，从无数曲线中选出一条有给定的最大值和最小值的曲线，这是一种不能用微分解决的新问题，需要发明新方法。这就是变分法在数学上的起源。”⁽¹⁹⁾

变分法是某种广义的微积分。它寻求找到给定的有固定值的方程的轨迹、曲线、曲面。在物理问题中，变分法通常用来求最大值和最小值。

尽管贝尔认为雅各布是这种形式微积分的开创者，但这个说法值得商榷——争论似乎困扰着伯努利家的一切，这是又一个例子。著名学者莫里斯·克莱因同意贝尔的说法，他说，虽然两种解法被证明都有些超前，但在这方面，雅各布的解法更甚⁽²⁰⁾。

但是约翰的解法建立在费马的最小作用量原理上，确实指出了这个问题的解决方向。其他人认为约翰更应该得到这项荣誉。一部重要的数学原始资料的编辑大卫·尤金·史密斯（David Eugene Smith）写道：“一般都认为，变分法起源于让·伯努利（就是约翰）对最速降线的解决。”史密斯的论据围绕着这样的事实：约翰“在一般变分法较简单的问题上，提出了在大体上即使不精确但也是很全面的观点。”⁽²¹⁾

数学史家斯图尔特·霍林代尔（Stuart Hollingdale）立场更坚定：“正是让·伯努利引导欧拉研究了变分法。”⁽²²⁾

这里的一个麻烦在于：问题的焦点是，大家说的是约翰的哪个解法——形势再次不明朗了。J·J·奥康纳（J. J. O'Connor）和E·F·罗伯特森（E. F. Robertson）为一个数学史网上论坛写过一系列关于伯努利兄弟的文章，他们争辩说：约翰后来找到了一个巧妙的解法，该解法利用了布鲁克·泰勒（Brook Taylor）的一个成果，发表于1718年⁽²³⁾。史密斯认为不是这样的，“这种直接的解法在莱布尼兹和约翰于1696年往来的几封信里都提到过，也在莱布尼兹发表在《博学学报》5月号上关于悬链线问题的评论里提到过。”

史密斯承认“这个解法直到1718年才发表，那时雅克（即雅各布）和莱布尼兹都已经去世了。”但他争辩说：“很显然，有人认为这是事实，他们相信让剽窃了他哥哥雅克，为的是使他哥哥关于获得了又一个解法的声明落空。让自己声称之所以延迟发表他的第二个解法，是遵照了莱布尼兹在1696年给他的劝告。”⁽²⁴⁾

作为反驳，霍林代尔辩解道：“然而在欧拉涉足这个课题前，还没有通用的解法。”⁽²⁵⁾换句话说，伯努利兄弟用这种方法只解决了某些特殊问题，如最速降线。欧拉在1732年左右开始研究这个领域，他更热衷于找到一个通用的理论。但是，我们今天看到的这项成果的形式是另一位伟大的数学家约瑟夫-路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）提出来的。

在变分法的起源上，拉格朗日怎么看？史密斯认为：“在变分法的开创工作上”，他（拉格朗日）强调“让扮演的角色和雅克同样重要”⁽²⁶⁾。

我们追溯得太远了。好了，让我们接着开始的话题讲。

霍林代尔加进了一个有趣的观点：“物理学家以及18世纪的科学家把‘最小作用量原理’作为自然科学研究的指导性原则加以应用，有力地推动了变分法的发展。”⁽²⁷⁾

具有讽刺意味的是，这个原理也有强大的理论支持。欧拉说，“既然宇宙的构造和最睿智的造物主的作品是最完美的，那么宇宙中发生的事没有不符合最大值或最小值法则的。”⁽²⁸⁾看到这里，人们的脑海里再一次浮现出约翰对费马最小作用量原理的运用。

无论如何，当伯努利兄弟发现摆线也是最速降线问题的答案时，他们既惊讶又高兴。约翰在他的文章中写道：“带着欣赏，我们敬佩惠更斯，因为他首先发现，一个重质点沿着一条普通的摆线下降时，无论它从摆线的什么地方开始下降，所用的时间都是一样的。但是，当我告诉你就是这个摆线，也就是惠更斯的等时曲线，恰恰就是我们要求的最速降线时，你一定会惊呆的！”后来，他再一次提起了这个想法：

惠更斯的等时曲线与我们的最速降线出人意料地一致，在下结论之前，我抑制不住想表达这个惊喜……因为，正如自然习惯于用最简单的方式超前发展，这里它也用一个曲线发挥了两种作用，尽管在任何其他的假设中，两条曲线将是必需的，一条是等时摆动的，另一条是最快下降的。比如，如果下降物体的速度不随高度（下降通过的）的平方根而随它的立方根变化，那么，最速降线的表达式将是代数式，而另一方面，等时曲线（就将是）超越式的⁽²⁹⁾。

在雅各布关于最速降线论文的最后，他列出了可以用他的方法解决三种其他问题，第三个是“找出不同的等周形”。这个问题的起源可以追溯到古希腊以前的时期。从根本上来说，它寻求找到给定周长的平面封闭曲线中哪种图形的面积最大。雅各布构思了一个复杂的例子，并指名道姓地向约翰发出挑战。他甚至悬赏50杜卡特，如果约翰能在年底或6个月后解决这个问题，就可以得到这笔钱。

现在，雏鹰真的开始展翅高飞了。

1697年，约翰提出了一个解法，并宣布应该获得奖金。然而，他没有考虑到等周形问题的变更形式，因此只提供了一个不完整的解法，所得的微分方程少了一阶。雅各布见此很高兴，把他的弟弟无情地批评了一番。

E·A·费尔曼（E. A. Fellman）和J·Q·弗莱肯斯坦（J. Q. Fleckenstein）在《科学传记辞典》（Dictionary of Scientific Biography）中写道：“这是两兄弟疏远并公开不合的开始，也是变分法的诞生之时。”⁽³⁰⁾（但这是变分法诞生的另一种方式）

约翰对雅各布等周形问题的分析，在1701年2月通过法国数学家皮埃尔·伐里农（Pierre Varignon）递交给巴黎科学院。1701年5月，雅各布把他的解法寄给《博学学报》。后人将他的解法与约翰的解法相对比，清楚地表明雅各布的解法更胜一筹。不幸的是，对这个特别的胜利，雅各布却不能为之狂喜。约翰的解法装进了一个密封的信件里，不知什么原因，这封信直到1706年4月才被打开，而这时雅各布死了差不多一年时间。

这是因为甚至在那时约翰就意识到了这个真理吗？他从来没有承认是这样。很久以后——他哥哥已去世，他吸收了布鲁克·泰勒（Brook Taylor）的成果（《增量法》，1715年）——他提出了一个针对等周形问题的巧妙解法。1718年提出的这个方法包含了一些变分法的现代观念，欧拉和拉格朗日将会继续发展这些观念。但是，很奇怪的是，这个解法让人想起了雅各布的解法和风格⁽³¹⁾。

这项荣誉应该归于约翰吗？也许更确切的说法是：由于他们极度好争论，两人都有贡献，这贡献可能是雅各布最初的解法引起的。

1705年，雅各布死了，这使两兄弟之间奇怪的关系产生了新情况。雅各布的众多兴趣中，有一个课题是概率。从1684年到1690年，他在这上面花费了大量精力。虽然两兄弟大部分的数学成果都发表在杂志上，特别是在《博学学报》上，但是雅各布在他生命的最后两年，致力于一本概率论课本的撰写。这本书就是《猜想的艺术》（Ars Conjectandi，The Art of Conjecture）。

这本书包含了组合和排列的基本原理：人们常说的弱大数定律，也以伯努利定理为人所知。今天它已被当作概率论中一个主要的工具。这本书还包括很多其他内容。这是他最重要的专著，也是第一本关于概率的有重要影响的著作。今天，只要用到统计方法的地方，如保险、天气预测、人口采样，都会用到这本书的知识。

这本书分成四个部分，第二部分是关于组合和排列的，他以此做二项式定理指数为正整数时的例证。这一部分还有一张公式和前n个整数r次幂之和的表。运用这张人称伯努利数的表，可以计算出前1000个整数的10次幂的和。接着，雅各布向人们展示他的杰作，并写道：

在这张表格的帮助下，我花了不到一刻钟的时间就求出了前1000个数10次幂的和。它的值是：

91，409，924，241，424，243，424，241，924，242，500

从这里，我们很清楚地看到，伊斯梅尔·布利奥（Ismael Bullialdus）在编辑其卷帙浩繁的《无穷算数》（Arithmetica infinitorum）上的努力是多么的无　益。书中，他除了费尽心力计算前n个数的6次幂外，什么都没做，而这仅仅只是我们在一页纸上就能做好的工作的一部分⁽³²⁾。

雅各布死时，这份手稿接近完成。但即使他死后，两兄弟之间的仇恨仍没有消减。这项成果在约翰的监督下发表，看上去理所当然。雅各布的遗孀根本就反对这个想法，她担心那位报复心重的弟弟会利用这个机会损害甚至彻底破坏这项事业。约翰的大儿子尼古拉（Nicholas）在和雅各布一起做研究时读过这份手稿，本着忠诚的家族精神，在雅各布死后，他在他的论文里引用过它，也在其他地方引用过。当这份手稿在1713年最终出版时，尼古拉写了一篇简短的前言。在承认他太年轻，缺乏经验为这份手稿的出版做得更多之后，他说他建议出版商将它公之于众，尽管作者已经离开了这个世界。这本书后来成为雅各布取得崇高声誉的核心著作。

雅各布似乎预见自己会早死，至少他担心过。在他的研究过程中，他钻研过吸引人的等角螺线问题。这是一种可以在海贝和蜘蛛网上看到的曲线。它和圆有些相似，但有一个主要的区别。圆与它的半径相交成直角，而等角螺线虽然也与它的半径相交成一定角度，但这个角不是90度。有某种神秘心理倾向的雅各布，被这种在很多种数学变换中一再出现的曲线所吸引。他请求别人把这种曲线和碑铭“纵使改变，依然故我”（Eadem mutate resurgo）一起刻在他的墓碑上。1705年雅各布去世时，他还很年轻，只有51岁。至死他都一直把持着巴塞尔大学的数学讲座教授的席位。他的席位现在空出来了，提供给了约翰，而这是约翰非常乐于接受的。

雅各布走了，好争论的约翰似乎得找其他人交战了。作为一个健康、精力充沛的人，他还有长达43年的时间去继续研究、争论、交战。比如，罗必塔的《微积分》课本在1696年出版了。开始时约翰似乎对此事很高兴。收到一份从罗必塔那里送来的副本后，他回信感谢书中提及自己。他甚至答应，如果他也出版了这样一本书，也会用同样的方式向罗必塔致敬。罗必塔居然建议，顺其自然地继《微积分》之后再出版一本专论积分的教科书，既然莱布尼兹似乎不愿意在这些事上下工夫。但是，伯努利回复说，他被一些国内的事物所纠缠，心情很不好。对这些事，我们下面马上就会谈到。

这就是伯努利最初的反应。但是这本书将欧洲大陆数学家引入了一个激动人心的新领域。它越来越成功，约翰的忌妒和恼怒也与之俱增。在雅各布去世后的那几年，他对境遇充满抱怨。他连书带作者一并攻击，根本就是在指控罗必塔剽窃。罗必塔已经在前言中对约翰的贡献表示了感谢，他写道：“伯努利兄弟提出了很多睿智的观点，我要向他们致敬，特别是现在的格罗宁根大学教授小伯努利先生。”⁽³³⁾但现在约翰认为这样的承认还不够，他竭尽所能想告诉世界谁才是真正的作者。但人们对他的呼吁似乎无动于衷。

例如，书中第九部分提出的“一些问题的解法……”，包括了我们现在称作的不定型。尽管它主要是通过几何形式表达的，但它的结论在后来被称作罗必塔法则（L'Hospital's rule）——求不定型值的一种数学方法。约翰对此极其恼怒，他认为罗必塔应该在书中清楚地写明这是他的成果，而不是罗必塔的。但是，公正地说，事实上罗必塔从来都没有说这是他的创造。命运难料的是这本书的广泛应用，才导致这个结论如此命名——不是他，而是别人啊！

罗必塔不再为自己辩护了。1704年，他死了。不过，这只会让约翰走得更远。在约翰漫长的一生（他死于1748年，享年81岁），罗必塔的《分析》一直是高等数学的标准教材，甚至用得更长久。后人比较了约翰的讲课笔记和罗必塔的书，表明他们之间在根本上是一致的，尽管很多笔记上的错误没有出现在书中。由此可以看出，罗必塔或者另有其人对约翰的讲稿做了一些卓有成效的修订工作。

按照学者杰拉德·希克斯马（Gerard Sierksma）的说法，约翰与罗必塔达成的有偿协议意味着约翰已经将他的发现卖给了罗必塔，于是约翰不能发表他自己的作品，至少在一段时间内不能⁽³⁴⁾。这也可以用来解释约翰的不快。

约翰在他给罗必塔的回信中所说的一些国内事情指的是什么？他脑中的想法可能有好几个。1697年，他失去了一个心爱的女儿。不久之后，他患上了重病。

更有可能的是，这与他在格罗宁根呆的这些年时间有关。从1695年到1705年，他一直住在这个城市。由于这个城市的议员和所在省的议员因宗教分歧而产生敌意，格罗宁根大学里每个人的日子都不好过。约翰在一个虔诚的加尔文教派家庭长大，一直是这个教派的狂热成员之一，但部分由于其著述，他被控是一个恶劣的异教徒。我们可以回想一下约翰还受过医学教育，有人认为他在一段时间从过医。也许在这段时间的医学实践过程中，他发表过一些关于人体持续新陈代谢的评论。他遭到了一个学生和著名的神学家鲍卢斯·哈尔休斯（Paulus Hulsius）的猛烈抨击。他们指责他否认耶稣的复活。⁽³⁵⁾

像往常一样，他通过反击来为自己辩护：“他（那个学生）是否不是最差的学生之一，抑或不学无术、藉藉无名，或者受人尊敬、赢得了每一个有识之士的信任，我不会太在意；显然他无法抹黑一个正直人的名誉。更不用提一个享誉学界的教授了，他这样做只会误导年轻人，使他们不走学术的正途。”⁽³⁶⁾

他也因为赞成运用实验去了解自然而受到抨击。幸运的是，他都涉险过关了，但他依然会经常遭遇坎坷。

约翰的无数对手中，另一个是布鲁克·泰勒（1685—1731）。在他1715年的《增量法》（Methodus Incrementorum）一书中，收录了约翰和很多其他人解决过的问题，但他只提到了牛顿的名字——这不奇怪，因为泰勒是一个英国人。伯努利对这种被忽视很不悦，他发表了一篇匿名的论文，指控泰勒剽窃。泰勒猜出了作者，并发表了一个回复作为辩护——也是匿名。他还取笑了伯努利在多年前犯的一个数学错误。约翰的同僚皮埃尔·雷蒙德·德·蒙莫尔竭力想调和这场争端，但无济于事。1719年战斗爆发了。泰勒发表了一篇带有侮辱性的诽谤文章，并决定就此收手。但个性依旧的约翰却不愿善罢甘休。

甚至在多年以后的1731年，泰勒死了，约翰还评论道：“泰勒死了。我的对手们都死在我的前头，还都比我年轻，这是一种命运。在过去的15年中，他是他们中的第六个……他们都攻击并激怒过我……虽然我没有对不住他们的地方。看来上苍是要报复他们对我做过的错事。”⁽³⁷⁾注意：这就是他对命运转折的解读！至少对他来说，他对手的先他而死证明他是对的。

事后证明，约翰和泰勒都没有意识到他们的争论是很没意思的。现在普遍认为泰勒没有剽窃，但他大大落后于欧洲大陆的新进展。更有甚者，大约40年前时年轻的苏格兰人詹姆斯·格雷戈里就已经提出了所谓的“泰勒级数”这个基本方法。

下一场争端，让我们回到这个家庭。约翰的第二个儿子丹尼尔（Danniel）生于1700年。约翰重复他爸爸的奇怪行为，竭力阻止丹尼尔从事数学。照数学史家詹姆斯·R·纽曼（James R. Newman）的说法，约翰做得太过分了，他通过残酷的方式来摧毁孩子的自信⁽³⁸⁾。像他的爸爸对待他一样，约翰尽力把丹尼尔往商界拉，但伯努利家族的某些遗传因素对经商从政是抗拒的。当然，在那个年头，年轻人一般不会说：“对不起，爸爸，那不适合我，我想学数学。”

于是，丹尼尔先是被送去做商业学徒。这不奏效后，约翰又送他去学医，终于，丹尼尔在1721年获得博士学位。但和许多其他伯努利家族人一样，他的心在数学上。在约翰是否教过丹尼尔数学的问题上，史学家颇有分歧。即使约翰教过，也不会太多，丹尼尔所学的数学知识大部分都是他的哥哥尼古拉（Nicholas）教的。这和父亲约翰的经历一样。但是，这还不是主要的。他后来成为当时伯努利家族年轻一代中最有才能的数学家。到1724年，因为他撰写的《数学练习》（Exercitationes Mathematicae）这本覆盖了好几个数学领域的著作，使他在数学界获得了一致好评。

这使他获得了一个圣彼得堡科学院的数学职位。然而，他是一个科学上的多面手。他不仅钻研数学，还钻研诸如医学、生物、生理学、物理学、力学、天文学和海洋学等科学。接下来的几年，他赢得了巴黎科学院颁发的一个奖项。在这些不同的领域里，他都有进入前十名的实力。

哥哥尼古拉也获得了圣彼得堡的一个职位。但是在任期8个月还不到的时候，尼古拉死了，留下丹尼尔一个人在那里倍感孤独，当地恶劣的气候也极其难以忍受。父亲约翰再一次介入进来。我们在这里可以清楚看到他复杂个性的另一面。争强好胜、暴躁易怒、嫉妒心强的约翰，还是安排了他最好的一个学生，就是莱昂哈德·欧拉，在1727年搬到圣彼得堡去，和丹尼尔一起工作。接下来的几年是丹尼尔最有创造力的时期之一。他最感兴趣的课题之一是振动系统。到1728年，丹尼尔和欧拉已经在易变形和弹性物体的力学研究上做了很多重要工作。

有趣的是，约翰所生养的三个儿子全都成为声名卓著的数学家和科学家，丹尼尔是最出名的一个。当约翰开始感受到这个小家伙咄咄逼人的竞争时，他狠狠地做出了回应。

牛顿的光学和动力学与曾经风靡一时的笛卡儿对世界的描述之间的论战当时还在进行，巴黎科学院也参与其中。约翰反对牛顿的观点，在1727年和1730年，他两次在巴黎科学院颇有声望的褒奖竞争中胜出。1734年，他再次获胜，但这一次，父亲约翰不得不与支持牛顿的儿子丹尼尔分享该奖。

丹尼尔多年以来就一直想回到巴塞尔。最后在1734年，他终于获得了巴塞尔大学的解剖学和植物学的讲席。于是他回家了。不幸的是，约翰对不得不与他亲生的儿子分享荣誉的不满与日俱增。分享奖项这桩事导致了他们之间关系的破裂，约翰甚至禁止丹尼尔回到家中。

事情变得越来越糟糕。两人继续数学的研究工作，并不断将其应用到物理问题中。丹尼尔一直在撰写一本名为《流体力学》（Hydrodynamica）的教科书。此书涵盖了液体在流动中的诸多重要问题，包括压力、密度和速度等。它还包含了现在称为伯努利原理的关键方程式。该原理认为：流体的速度增加时，它的压力会减小。1734年左右，他完成了手稿，但因为种种原因，到1738年，这本书才出版。这本书成为丹尼尔最重要的著作，并使他声名远扬。

不甘落后，他的父亲出版了一本书以示竞争，这本书他命名为《水力学》（Hydraulica），几乎在同时出版。这段历史有些模糊不清了，至少约翰试图将他的书的写成日期改到1732年，这样就让人看起来似乎是丹尼尔从他的书中吸取了素材⁽³⁹⁾。最糟的是，父亲实际上从儿子的书中盗用了素材，并竭力使公众认为是他自己的，然后又试图让人看起来似乎是儿子丹尼尔剽窃了他⁽⁴⁰⁾！后来，在1743年一封给欧拉的信中，丹尼尔指出“我写出的《流体力学》从头到尾都不用感谢我的父亲”，并抱怨说“我被抢劫了，失去了10年辛苦的成果。”⁽⁴¹⁾

这事看起来一点都不像是一个自豪而慈爱的父亲的作为，但就是这父亲，曾经体贴周到地把自己的得意弟子欧拉送到圣彼得堡去帮助儿子丹尼尔度过艰难岁月。无论如何，对约翰来说，命运给了他又一个苦果：他又活了10年，亲眼看到丹尼尔的著作成为该领域的经典教科书。

可是，为什么要以这样一个令人不快的记录来结束本章？丹尼尔是一流的科学家，也是一位能干的数学家，他被认为是数学物理学的奠基人之一。如果约翰不能以他儿子的成功为乐，那是他自己的问题。他还有两个儿子，也成为能干的数学家，好几个孙子也有同样成就。对约翰来说，我能看到唯一也是真正使他受到打击是：他三个儿子中的老大尼古拉死于圣彼得堡的教授职位上，年仅31岁。尽管高尔顿（Galton）认为尼古拉是“一位伟大的数学天才”和“当时年轻学者中一颗璀璨的明珠”⁽⁴²⁾，但谁又知道约翰的真实想法呢？

总之，像他的哥哥雅各布以及丹尼尔一样，约翰有太多感到自豪的东西。我们已经看到约翰和雅各布是最先看出新微积分重要性的人，他们两人在世时都在数学上做出了一些很有用的贡献。雅各布死于1705年，莱布尼兹死于1716年，牛顿死于1727年，他们死后，约翰或许是他那个时代最重要的数学家。这大半源于他的努力——通过教学和在无数实例中展示微积分奇妙的能力，莱布尼兹的微分符号，而不是牛顿的流数符号，被欧洲大陆数学家普遍接受，他起了很大的作用。约翰无疑是人类历史上最伟大的教师之一。如后人所见，他也是最伟大的通信者之一。他的科学通信加起来大约有2500封，他与不下110位学者有信件往来。

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(1) 出版商关于雅各布的网址：www.springeronline.com/sgw/cda/frontpage/0，11855，4-40295-2-122580-0，00.html。

(2) 在这里要感谢汉诺威大学的西格蒙德·普罗斯特教授，他帮助我整理出了悬链线问题。

(3) 克莱因，1972年，第473页。原引自：约翰·伯努利，《约翰·伯努利通信集》（Der Briefwechsel von Johann Bernoulli）（瑞士巴塞尔：Birkhauser Verlag出版社，1955年），第 97—98页。

(4) 矩形帆在大风时鼓满所形成的曲线。

(5) 例如，对于悬链线问题：克莱茵，1972年，第 472—473页；对于风帆线：卡约里，1980年，第221页，还有费尔曼和弗莱肯斯坦，1970年，第53页。

(6) 波尔，1960年，第366页。

(7) 贝尔，1937年，第134页；《大英百科全书》，第2卷，1998年，第154页；杜兰特（Durant），1963年，第501页；卡林格，1995年，第419页。

(8) 卡约黎，1980年，第221页。

(9) 希勒，1997年，第261页。

(10) 私人交流，2004年10月13日。

(11) 《大英百科全书》，第2卷，1998年，第154页。