向心力与向心加速度

先让我们通过例子来了解一下后面即将用到的一些知识。如图35所示，平滑的桌面正中固定着一枚钉子，一根足够长的线将一个小球系在了钉子上，用手触动小球，使其以速度v运动。

图35　被拉直的线使小球做匀速圆周运动

注意观察，在线尚未拉直之前，小球在惯性的作用下会做直线运动，但当线被拉直之后，小球就会匀速地在桌面上以钉子为圆心画圈圈了。

图36将线烧断后小球沿圆周切线方向飞出

这时像图36那样，点燃一根火柴将线突然烧断，你就会看到小球在惯性的作用下，沿着与圆周相切的方向飞了出去。这个场景，就像你用一块钢触碰磨刀砂轮时，看到火星沿砂轮的切线方向飞出去一样。

根据这个实验我们可以发现，使小球从惯性作用下所做的匀速直线状态中摆脱出去的是线的张力。由于力的大小与加速度成正比并且它的方向与加速度相同，所以线的张力给了小球一个与力的作用方向（即圆心方向）相同的加速度。这时，惯性的作用使小球想要离开中心方向，而线的张力却又把它向圆心的方向拉。这个拉它的力就是向心力，相应的加速度就是向心加速度。

现在我们来看一下向心加速度公式的推导过程，图37有助于我们更直观地进行分析。假设小球在开始旋转后的某一个瞬间恰好位于点A处，如果在这时将线烧断，那么小球就会在惯性的作用下，沿着圆周切线的方向至B点，在这期间所用的时间为t，飞过的路程AB=vt。但这时，线的张力——也就是向心力使小球的运动方向垂直向下，并很快到达了位于圆周上的点C处。我们由点C向OA做一条垂线CD，则AD的长度就是小球在一个与向心力相同的力的单独作用下运动的距离。在第二章的公式表中我们可以找到无初速度匀加速运动的公式，通过它可以求得我们这里提到的距离AD的公式：，a是向心加速度。

图37　推导向心加速度的公式

或。因此。

我们这里所做的研究是小球在一个非常短的时间t（可以短到接近于0）内所做的运动，所以公式中含有t2的项和项Ra或项v2比较起来简直微不足道，如果将其忽略，公式可简化为：。