皮球跳起的高度

实践中很少能够直接应用上节中推导出的物体撞击公式，因为“非完全弹性物体”和“完全弹性物体”并不多见，绝大多数的物体都介于二者之间，它们不是完全弹性的，也不是完全非弹性的。

就以日常所见的皮球为例，在这里我们忽略会被古寓言作家嘲笑的可能性来问自己一个问题：球是什么？力学眼中的球是完全弹性的还是非完全弹性的？

要判断皮球的弹性并不难，让它从一定的高度下落到一个坚硬的平面就行了。从物理学的角度来讲，如果它是完全弹性的，下落后它会弹回原来的高度，如果它是非完全弹性的，就不可能弹回到原来的高度。

令人好奇的是，非完全弹性的皮球落地后究竟会怎样呢？我们有必要先来探讨一下弹性撞击。

我们所说的“非完全弹性”的球是指那些当它的形状被外力作用改变后不能完全恢复原状的球。这种球在恢复原状的过程中，作用于它的力要比使它形状改变的力小。相应的，在恢复原状的过程中再次失去的速度也要比它因撞击导致形状改变时失去的速度小，只是它的一部分，我们用小数e来表示这个比例，e就是恢复系数。

显然，第一次失去的速度是，第二次失去的速度是，这次撞击使球失去的总速度为，撞击后剩余的速度为。

撞击中的另外一方速度为u2，它在皮球的反作用的影响下发生后退，它的大小应该是。根据可以得到恢复系数。如果非完全弹性的球向固定的平面上撞击，那么速度，这时的恢复系数为。

我们已经找到了求系数e的方法，e的作用是表示具有“非完全弹性”特点的球的“不完全”程度，是要测量出球下落和跳起的高度，计算出它们的比值后开平方，得到的平方根就是系数e。

图48好的网球从250厘米高度落下后应该能跳起大约140厘米

我们用网球来举例，依据运动的规则，使一只完好的网球从250厘米的高处落下，它与地面碰撞后可以跳起的高度是127厘米～152厘米（如图48所示）。网球的恢复系数e的值应该在之间，也就是说，e的范围是0.71～0.78。现在我们取一个平均值0.75，也就是说假设球的弹性是75%，我们来做几个让运动员非常有兴趣参与的计算。

【题目1】球从高度为H的位置下落，它的第二、第三次以及之后的各次起跳的高度分别是多少？

【解题】第一次起跳的高度可将e=0.75和H=250厘米代入公式，即，得到140≈h厘米。

第二次起跳相当于从140厘米的位置下落，它跳起的高度h1通过对计算可得：h1≈79厘米。第三次起跳的高度h2通过对计算可得：。

接下来用同样的方法也可依次计算出每次起跳的高度值。

假设这个球是从埃菲尔铁塔上（H=300米）落下的，那么在不计算空气阻力的情况下，它的第一次起跳高度是168米，第二次是94米，等等（见图49）。但事实上由于速度太快，空气的阻力也会特别大。

【题目2】球从高度为H的位置上落下后，能保持多久的跳起？

【解题】根据目前已知的每次起跳的高度：

可得每次跳起的时间为：

将每次跳起的时间相加，可以得到各次跳起的时间总和是：

图49球从埃菲尔铁塔落下能跳多高

即：

你可以自己做一下接下来的计算步骤，最后的结果一定是：

把已知的数值H=2.5米、g=9.8米/秒2、e=0.75代入上式，可得到球起跳的总时间为5秒，也就是说，球落下后，会保持5秒钟的跳起。

如果球是从埃菲尔铁塔塔顶落下来的，那么在不计算空气阻力的前提下，假设球在落地时没有被撞碎，它会保持大约54秒的跳起。

球从仅有几米的高度上落下来的速度不大，所以空气的阻力也小，对跳起的高度几乎没有什么影响。曾有人做过一个实验，对这一点进行了证实。他们使一个恢复系数为0.76的球从250厘米高的位置上落下来，它第二次跳起的高度是83厘米，而在真空状态下，它第二次起跳是84厘米，差距并不大。