通常，许多物理原因导致个体在特定的时间失效或死亡.要想把这些物理原因分开并从数学上对它们加以说明，那是十分困难的.因此，选择理论分布去接近生存数据是一种技术，同样也是一项科学任务.在这一节里，将介绍几个被广泛地用于描述生存时间的理论分布，概述其特性，说明其应用［3］.
1.指数分布
指数分布在生存研究方面是最简单又最重要的分布.在20世纪40年代后期，研究者们选择指数分布描写电子系统的寿命模型.Davis（1952）［108］给出了许多例子，包括银行结单和总账误差，工资支票误差，自动计算机失效以及雷达接收机组成部分的失效.在这些方面的失效数据可用指数分布充分地描写.Epstein＆Sobel（1953）［109］的报告说明了他们在指数分布和流行的正态分布间优先挑选指数分布的理由，并且指明如何通过删失数据去估计参数.Epstein（1958）［110］还作了某些详细的讨论，说明指数分布的假定是有道理的.指数分布在寿命研究方面所起的作用相似于正态分布在统计学其他领域的作用.
人们常常把指数分布作为纯粹随机失效模型来处理.它作为唯一的“无记忆性的分布”而著名，要求动物或个体的年龄不影响未来的生存.虽然许多生存数据不能完全用指数分布描述，但是对指数分布的理解可以推进，对更一般情形的处理.
当生存时间T遵从含一个参数λ的指数分布Exponential（λ）时，T的概率密度函数是
生存函数是
平均寿命为
寿命方差为
中位寿命是
2.Weibull分布
Weibull分布是指数分布的推广.然而，与指数分布不同，它不呈常数危险率，从而有较广阔的应用.Weibull（1951）［111］讨论了这种分布对于各种失效情形的适用性.它已经被用到许多应用问题中，Peto等人（1972）［112］和Williams（1978）［113］用于分析致癌物的实验Scott＆Hahn（1980）［114］用于刻画早期放射反应概率的特性以及Juckett＆Rosenberg（1990）［115］用于模拟人类特殊病的致命性.
参数为α和λ的Weibull分布，记为Weibull（α，λ），α的值决定分布曲线的形状而λ的值决定它的刻度，因而分别称α和λ为形状参数和刻度参数.
当生存时间T遵从Weibull（α，λ）时，T的概率密度函数是
生存函数是
平均寿命为
寿命方差为
这里Γ（α）是著名的Γ函数，定义为
3.对数正态分布
对数正态分布能够定义为这样的一个变量的分布，该变量的对数遵从正态分布.其起源可以追溯到1879年，那时Mcalister（1879）［116］明确地描述了这个分布的理论.此后其大多数方面一直在研究之中，Gaddum（1945a，b）［117-118］给出它在生物学里应用情况的回顾，随之是Boag（1949）［119］应用于癌症研究.有关它的历史，特性，估计问题以及在经济学中的用处，Aitchison＆Brown（1957）［120］已作了详细的讨论.后来，几个其他的研究考察者例如Osgood（1958）［121］，Feinleib＆Macmahon（1960）［122］也观察了几种疾病，例如Hodgkin病（主动脉老年性粉瘤病）和慢性白血病的生存时间的分布能够用对数正态分布相当紧密地接近，因为它们明显地向右倾斜而生存时间的对数是接近正态分布的.Horner（1987）［123］指出在Alzheimer病（一种早老性精神病，迅速成为痴呆）发作时期的寿命分布也遵从对数正态分布.
对于生存时间T，若ln T遵从含均值μ和方差σ2的正态分布，则称T遵从对数正态分布Lognormal（μ，σ2）.务必注意μ和σ2不是对数正态分布的均值和方差，它们分别是刻度参数和形状参数.概率密度函数是
生存函数是
平均寿命为
寿命方差为
中位寿命是
4.Gamma分布
Gamma分布（包括指数分布和χ2分布）被Brown＆Flood（1947）［124］用于描述在顾客自取饭菜的食堂里平均大玻璃杯流通的寿命，也被Birnbaum＆Sauders（1958）［125］用作材料的寿命长短的统计模型.自那时开始，这种分布已经作为工业可靠性问题的模型.（例如，Dreuick（1960）［126］，Gupta＆Groll（1961）［127］，作为正常成年人和患肝硬化、障碍性黄疸患者的肝搏动描述记录模型［Galli等人（1983）［128］］，用于发音振幅的模型［Nieder-john＆Haworth（1986）［129］］，用于血小板生存的模型［Bolin＆Greene（1986）［130］］.
参数为α和λ的Gamma分布，记为Gamma（α，λ），α的值决定分布曲线的形状而λ的值决定它的刻度，因而分别称α和λ为形状参数和刻度参数.
当生存时间T遵从Gamma（α，λ）时，T的概率密度函数是
生存函数是
平均寿命为
寿命方差为
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