最优抽样方案的确定

我们想找到q*=（）使得最优加权估计量（p）的估计效率达到最大，即达到最小.

定理5.9 对于固定的p，使达到最小的抽样设计是

其中

证明：令

从定理5.5知

因此

其中

显然当

时达到最小.定理得证.

定义5.1［131］ 设｛p（x；θ）；θ∈I｝是含有实参数θ的概率密度族，其中I是实直钱上的一个区间.如果存在实值统计量T（x），使得对任意的θ1＜θ2，都有

（2）似然比

是T（x）的非降函数（或非增函数），则称概率密度族｛p（x；θ）：θ∈I｝关于T（x）具有非降（或非增）单调似然比，单调似然比（Monotone Likelihood Ratio，简称为MLR）.

引理5.2［131］ 设概率密度族｛p（x；θ）：θ∈I｝关于T（x）具有非降MLR.若φ（t）是t的一个非降函数，则Eθφ（T（x））是θ的一个非降函数.

将公式（5.7）和（5.8）代入公式（5.14），再由不完全Beta函数的定义可得

将公式（5.15）中的整数i用实数x来代替，当x∈［1，m］时，定义函数

由定义5.1和引理5.2可得到以下定理.

定理5.10 对于固定的p，g（x，p）是有唯一最小值的下凸函数.

证明：令g′（x，p）为g（x，p）关于x的导函数，有

其中密度函数f1（u；p，x）和f2（u；p，x）为

和

因为当0＜u＜1时，

所以对于固定的p，函数

在区间（0，p）和（p，1）内都是严格单调增加.另外，当x1＞x2时似然比函数

和

也是单调增加，由引理5.2可知公式（5.16）的两个期望函数关于x严格单调增加，即

是严格单调增加函数，于是定理得证.

由定理5.10可得结论：

（i）若g（i，p）单调增加，则

（ii）若g（i，p）单调减少，则

（iii）若g（i，p）先单调减少后增加，则

下面求使h（i，p）达到最小的秩次rp.首先，我们详细地讨论m=2和m=3的情况.

当m=2时，由公式（5.15）算出

和

秩次i=1为最优当且仅当g（1，p）≤g（2，p），解得

根据对称性，当p≥1/2时i=2为最优秩次.

当m=3时，由公式（5.15）算出

和

最优秩次rp=1当且仅当g（1，p）≤g（2，p），解得

根据对称性，当

即时最优秩次rp=3，剩下的情况当

时rp=2.

利用同样的方法可对m取其他值进行讨论，对于固定的p，秩次i为最优需保证前i-1个秩次都不是最优并且满足g（i，p）≤g（i＋1，p），即

表5.3给出了当

和

时最优秩次值.最优秩次rp满足

例如，当m=4时，

从表5.3中可以看出，当给定m时rp是p的单调增加（分段）函数，粗略地说，

当p=0.5时rp是m的中位数，即当m为奇数时，

当m为偶数时，

或

表5.3　最优秩次rp

对于固定的m和p，最优抽样q*=）是每组样本都只抽取次序为rp的样本单元.基于q*的p分位寿命估计量为

再由定理5.8和定理5.9可知（p）的渐近方差为