一阶系统的时域响应

一阶系统指能用一阶微分方程来描述的系统，当以传递函数表达时，则为

式中：T为一阶系统的时间常数。

1）一阶系统的单位阶跃响应

当输入信号为单位阶跃函数（R（s）＝1／s）时，系统输出

拉氏反变换得

可绘出一阶系统的单位阶跃响应曲线如图3-5所示，可知：

（1）一阶系统单位阶跃响应由两部分组成，即稳态分量1和瞬态分量－e－t／T，后者随时间增长按指数律不断衰减，由初值1最后衰减到零，最终复现单位阶跃输入而无稳态误差。

（2）时间常数T决定了阶跃响应曲线的形状。T越大，暂态分量衰减得越慢，则瞬态响应时间越长，反之，T越小则瞬态响应时间（即过渡过程时间）越短。图3-6为一阶系统极点位置图。一阶系统的闭环极点为s＝－1／T。极点距离虚轴越远（即时间常数T越小）则系统瞬态响应过程越快。反之，极点距离虚轴越近则响应越慢。故将1／T定义为一阶系统的衰减系数，在s平面中对应极点离虚轴的距离。

（3）t＝T时，c（T）＝0．632。一阶系统单位阶跃响应曲线上输出稳态值的63．2％所对应的时间即为时间常数T，常用于由实验曲线求取一阶系统时间常数T。

图3-5 一阶系统单位阶跃响应曲线

图3-6 一阶系统极点位置

（4）t＝3T和t＝4T时，响应曲线分别达到稳态值的95％和98．2％，且响应曲线将分别保持在稳态值的5％和2％的允许误差范围内，因此3T或4T可用作评价一阶系统响应时间长短的指标。

（5）响应曲线中瞬态分量－e－t／T指数衰减，c（∞）＝0，整个过程中系统无超调。

2）一阶系统的单位斜坡响应

一阶系统在单位斜坡函数（R（s）＝1／s2）输入下，系统输出

拉氏反变换得

如图3-7所示，一阶系统斜坡响应由稳态分量和瞬态分量两部分组成。稳态分量为t－T，单位斜坡函数加一个时间常数T的稳态误差。瞬态分量为Te－t／T，以衰减系数1／T指数衰减。

图3-7 一阶系统的单位斜坡响应

图3-8 一阶系统的脉冲响应

3）一阶系统的单位脉冲响应

当输入信号为单位脉冲函数（R（s）＝1）时，系统输出

拉氏反变换可得

如图3-8所示，一阶系统的单位脉冲响应只包含瞬态分量，随着时间增长，逐渐衰减到零。

［例3-03］ 给出一阶系统在矩形信号输入时的响应形状。

［解］ 如图3-9（a）所示，矩形信号可以认为一个正阶跃信号与一个同幅值的负阶跃的线性叠加，输入线性系统后，其响应为两个信号响应的线性叠加，可以单独绘出各自的形状然后相加，也可以信号相加后求取其时域表达。图3-9（b）是在SIMULINK中建立本题的系统模型。系统输入f1（t）＝5u（t）、f2（t）＝5u（t－t0），其中u（t）为单位阶跃函数，因此输入信号f（t）＝f1（t）＋f2（t）是一个幅值为5、时长为t0的矩形信号。图3-9（c）是t0分别取值为T、2T、3T、4T、6T、8T的时间响应曲线，如图所示，当t0＜4T时，正阶跃响应还未进入稳态，负阶跃的响应便生效；当t0≥4T时，正阶跃响应已进入稳态，负阶跃从正阶跃响应的稳态值进行衰减。

图3-9 在矩形信号输入到一阶系统的响应

（a）信号分解； （b）系统SIMULINK建模； （c）时间响应曲线

将一阶系统的单位阶跃响应、单位斜坡响应和单位脉冲响应的输入r（t）和输出c（t）对比列入表3-1。由表3-1可以看出，各个输出信号中的瞬态分量的指数函数的指数均为即一阶系统的衰减由其唯一参数即时间常数决定，也即由一阶系统极点离虚轴的距离决定，越近衰减越慢。

表3-1中输入函数r（t）由上至下为依次求导关系，而对应的输出函数自上而下也是依次求导关系。这是线性定常系统的一个重要性质：系统对于输入信号微分的响应，等于系统对该输入信号响应的微分；而系统对于输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分，积分时间常数则由零输出的初始条件确定。这一重要性质适用于任何阶线性定常系统，但不适用于线性时变系统和非线性系统。

表3-1 输入信号与输出响应的对比

［例3-04］ 某线性定常系统单位斜坡信号的输出，试求该系统的传递函数。

［解］ 由于是线性定常系统，故可得系统在单位阶跃输入时的输出

而系统在单位脉冲输入时的输出有

对之求拉氏变换，即得该系统的传递函数

1）二阶系统传递函数的标准形式

二阶系统的标准形式传递函数为