犖狇狌犻狊狋判据

1）系统特征矢量的幅角变化与稳定性的关系

设系统特征方程根为p1、p2、…、pn，系统的特征多项式可写成

D（s）＝a0sn＋a1sn－1＋a2sn－2＋…＋an－1s＋an＝a0（s－p1）（s－p2）…（s－pn）令s＝jω代入得

D（jω）＝a0（jω－p1）（jω－p2）…（jω－pn）＝∣D（jω）∣∠D（jω）

式中：∣D（jω）∣为特征矢量的幅值；∠D（jω）为特征矢量的幅角，且有

∣D（jω）∣＝a0∣jω－p1∣∣jω－p2∣…∣jω－pn∣

∠D（jω）＝∠（jω－p1）＋∠（jω－p2）＋…＋∠（jω－pn）

即特征矢量D（jω）的幅值和幅角分别为各特征根pi对应的矢量（jω－pi）的幅值之积和幅角之和。

图5-36 D（jω）轨迹

图5-36（a）表示s平面上任意一个特征方程根pi，该根对应的矢量（jω1－pi）为D（jω1）所提供的幅角∠（jω1－pi）。若令频率ω由0→∞，即复变量s沿着s平面的虚轴自零点向上移动，则在s平面上得到一条特征矢量D（jω）的矢端轨迹，即D（jω）轨迹。当ω＝ω1时，矢量D（jω1）所具有的幅角为∠D（jω1），如图5-36（b）所示。当频率ω由0→∞时，轨迹D（jω）的幅角变化为

图5-37是一阶系统分别为负实特征根和正实特征根时的幅角。

（1）图5-37（a）中的负实特征根对应的

（2）图5-37（b）中的正实特征根对应的

图5-37 一阶系统的幅角

（a）负实特征根； （b）正实特征根

图5-38为二阶系统幅角当两个特征根在s平面不同位置的情况：

（1）图5-38（a）中的两个负实特征根对应的

（2）图5-38（b）中的一正一负实特征根对应的

（3）图5-38（c）中的两个正实特征根对应的

（4）图5-38（d）中的一对负实部共轭复根对应

图5-38 二阶系统的幅角

（a）两个负实特征根； （b）一个正实特征根＋一个负实特征根； （c）两个正实特征根；（d）负实部的共轭复根； （e）正实部的共轭复根

由图5-37和图5-38知对于开环特征方程的任意左根和右根，当ω由0→∞时，有

（1）每一个正实根

（2）每一个负实根

（3）每一对正实部的共轭复根

（4）每一对负实部的共轭复根

设n阶系统特征方程有m个根在s平面右半部，则必有（n－m）个根在s平面的左半部。此时，当ω由0→∞时，D（jω）轨迹的幅角总变化为

如果系统稳定，特征方程根应该全部位于s平面左半部，右半部没有根，m＝0，则D（jω）的幅角变化为

上式可得出采用D（jω）轨迹的幅角变化来判断系统稳定性的方法，即米哈依洛夫判据：

当频率ω由0→∞时，若n阶系统D（jω）轨迹转过的角度为，则系统稳定。或者说，当频率ω由0→∞时，系统D（jω）轨迹由正实轴开始逆时针转过n个象限，则系统稳定。

2）Nquist稳定性判据

设闭环系统如图5-39所示。系统的开环传递函数

式中：MG（s）、DG（s）分别为G（s）的分子和分母多项式；MH（s）、DH（s）为H（s）的分子和分母多项式；DK（s）为开环特征多项式；MK（s）为开环传递函数的分子多项式。

图5-39 系统方块图

闭环系统传递函数

式中：Db（s）为闭环特征多项式；Mb（s）为闭环传递函数的分子多项式。

令函数F（s）＝1＋G（s）H（s），则有

F（s）的分母是开环特征多项式，而分子是系统闭环特征多项式。

令s＝jω代入F（s）则有

如前所述，根据闭环Db（jω）轨迹的幅角变化可以判别闭环系统稳定性。对于式（57）当频率ω由0→∞时，有如下的幅角变化关系

由米哈依洛夫判据知闭环系统稳定的充分必要条件是当频率ω由0→∞时，闭环Db（jω）轨迹的幅角变化应该为

如果要用1＋G（jω）H（jω）轨迹的幅角变化来判断该闭环系统的稳定性，由式（58）可知，尚需知道开环Dk（jω）的幅角变化。

（1）开环系统G（jω）H（jω）稳定。

即

欲使闭环稳定，必须满足式（5 10）条件，将式（5 9）、式（5 10）代入式（5 8），此时1＋G（jω）H（jω）轨迹的幅角变化应为

由此得出开环稳定条件下的Nquist判据：系统在开环状态稳定的条件下，闭环系统稳定的充分必要条件是1＋G（jω）H（jω）轨迹不包围［1＋GH］平面的原点。根据此判据，图5-40所示的系统是稳定的。

图5-40 1＋G（jω）H（jω）轨迹和G（jω）H（jω）轨迹

为了直接利用开环G（jω）H（jω）轨迹来判别闭环系统的稳定性，我们仅需将［1＋GH］平面的纵坐标右移一个单位而转换成GH平面，如图5-40虚线所示。则开环稳定条件下的Nquist判据：若系统在开环状态下是稳定的，则系统在闭环状态下稳定的充分必要条件是其开环G（jω）H（jω）轨迹不包围GH平面上的（－1，j0）点。根据此判据，图5-40所示系统是稳定的。

（2）普遍情况。

若开环系统不稳定，并设开环特征方程有m个右根，由式（56）得

欲使闭环稳定，应满足式（5 9）的条件，将式（5 9）、式（5 11）代入式（5 8），则要求1＋G（jω）H（jω）轨迹的幅角变化为

所以，普遍情况下的Nquist稳定判据为：系统若开环状态不稳定，且开环特征方程有m个右根，则闭环系统稳定的充分必要条件是1＋G（jω）H（jω）轨迹逆时针方向包围［1＋GH］平面原点m／2次。

同理，将［1＋GH］平面纵坐标右移一个单位，转换成GH平面，则闭环稳定的充分必要条件也改为逆时针包围GH平面的（－1，j0）点m／2次。

综合上述情况，Nquist稳定性判据：若系统在开环状态下不稳定，且开环特征方程有m个根在s平面的右半部，则闭环系统稳定的充分必要条件是开环G（jω）H（jω）轨迹逆时针方向包围（－1，j0）点m／2次。

［例5-13］ 设系统开环传递函数为G（s）H（s），试判断系统的稳定性。

［解］ 作系统开环G（jω）H（jω）轨迹如图5-41所示。二阶系统中K、T、ζ为物理参数均为正值，故开环稳定。由图5-41知不论这些参数如何变化，G（jω）H（jω）轨迹都不包围（－1，j0）点，故闭环系统稳定。

图5-41 G（jω）H（jω）轨迹

图5-42 G（jω）轨迹

［例5-14］ 设单位反馈系统的开环传递函数为G（s）＝，其中T1＝0．1s、T2＝0．05s、T3＝0．01s，试求闭环系统稳定的K值。

［解］ 由于时间常数T1、T2、T3均为正，故系统开环稳定。

G（jω）的实部和虚部分别为

作开环G（jω）轨迹如图5-42所示，设G（jω）轨迹交负实轴于a点，令V（ω）＝0，得

代入U（ω）得

为使闭环稳定，由Nquist稳定性判据知U（ωa）＞－1，所以闭环系统稳定条件是

将题中T1、T2、T3的值代入，得闭环系统稳定的K值范围是0＜K＜19．8。

3）开环传递函数具有积分环节时的Nquist判据

设系统开环传递函数为

式中：狏为积分环节的个数（即特征方程零根数）；（s）为D（s）中不含零根的部分。

图5-43 s的变化路径

由于开环特征方程有零根，s的变化路径不能完全沿虚轴ω：0→∞而应该用半径很小（r→0）的半圆rejφ绕过原点（ω＝0），如图5-43（a）所示。显然已将该零根s＝0视为s平面左半部的根。因为半径很小，故不影响特征方程其他根的分布。

根据新的s变化路径，G（jω）H（jω）轨迹可分为两个部分。ω＞0部分将s＝jω代入式（512），所得G（jω）H（jω）轨迹如原来形状；另一部分即ω→0部分，以s＝rejφ代入式（5

12）得

式中：

图5-44 具有零根的开环G（jω）H（jω）迹

（a）1型系统； （b）2型系统

因此开环特征方程具有零根的系统采用Nquist判据时将开环特征方程的零根看作左根，绘出ω由0＋→∞变化时的Nyquist曲线，从G（j0＋）H（j0＋）开始，以∞的半径逆时针补画90狏°的辅助圆弧，然后再看整个的G（jω）H（jω）轨迹是否包围（－1，j0）点来决定闭环系统的稳定性。

如果开环特征方程有纯虚根，其处理方法同上。这时取复变量s的变化路径如图5-43 （b）所示，亦即将虚轴上的根看作为左根，然后按系统G（jω）H（jω）轨迹判断闭环系统稳定性。

如果系统是最小相位系统则辅助线可以简化为：以半径为无穷大的圆弧顺时针方向将正实轴端和轨迹的起始端ω＝0＋连接起来。容易看出图5-44的两个系统的开环轨迹G（jω）H（jω）都不包围（－1，j0）点。

［例5-15］ 已知单位反馈系统的开环传递函数为，试确定闭环系统的稳定性。

［解］ 系统开环特征方程有一个零根，另一个根在s平面左半部，故开环稳定。系统的G（jω）轨迹如图5-45所示，画辅助线将正实轴和G（jω）轨迹起始端G（j0＋）连接起来。由图5-45知G（jω）轨迹不包围（－1，j0）点，故闭环系统是稳定的。

［例5-16］ 已知单位反馈系统的开环传递函数为为正实数，试确定闭环系统的稳定性。

图5-45 系统的G（jω）轨迹

图5-46 系统的GH轨迹

作系统GH轨迹于图5-46，其中从ω＝0＋逆时针作，正好止于负实轴，与负实轴的交点在负无穷大处。开环传递函数中一个特征根为右根，m＝1，闭环稳定的充要条件是逆时针绕（－1，j0）点1／2次，而图5-46中顺时针绕（－1， j0）点1／2次，故闭环系统仍不稳定。

4）Bode图上的Nquist判据

工程上常用Bode图进行系统分析与设计，因此需将Nquist判据从极坐标图转换到Bode图上，即在Bode图上得出G（jω）H（jω）轨迹是否包围（－1，j0）点以及包围次数。

图5-47所示为开环稳定闭环稳定的系统1和开环稳定闭环不稳定的系统2的Nquist图和Bode图。由图可得如下对应关系：

（1）Nquist图上的单位圆对应于Bode图上的对数幅频图上的零分贝线；

（2）单位圆外（∣G（jω）H（jω）∣＞1）区域对应于零分贝线以上（L（ω）＞0）区域，单位圆内（∣G（jω）H（jω）∣＜1）区域对应于零分贝线以下（L（ω）＜0）区域。

（3）Nquist图上负实轴具有－180°相位，对应于相频图上的－180°线。

G（jω）H（jω）轨迹与单位圆交点处频率称为增益交界频率（或剪切频率）ωc；而G（jω）H（jω）轨迹与负实轴（－π线）交点处频率称为相位交界频率ωg。

图5-47 系统的Nquist图和Bode图

1—开环稳定闭环稳定； 2—开环稳定闭环不稳定

由图5-47可知在Nquist图中系统稳定与否的特点：

（1）开环稳定闭环稳定系统：G（jω）H（jω）轨迹不包围（－1，j0）点，随着频率ω增加，G（jω）H（jω）轨迹先穿过单位圆而后穿过负实轴，即

ωc＜ωg　∠G（jωc）H（jωc）＞－π　∣G（jωg）H（jωg）∣＜1

（2）开环稳定闭环不稳定系统：G（jω）H（jω）轨迹包围（－1，j0）点。随着频率ω增加，G（jω）H（jω）轨迹先穿过负实轴而后穿过单位圆，即

ωc＞ωg　∠G（jωc）H（jωc）＜－π　∣G（jωg）H（jωg）∣＞1

由图5-47中稳定系统1和不稳定系统2的Bode图，也可得出：

（1）开环稳定闭环稳定系统：ωc＜ωg，φ（ωc）＞－π，L（ωg）＜0；

（2）开环稳定闭环不稳定系统：ωc＞ωg，φ（ωc）＜－π，L（ωg）＞0。