若O′x′y′z′参照系沿着x轴方向以速度v相对于Oxyz参照系匀速运动，且t=0时刻两参照系的原点重合，则两参照系描述同一质点空间位置和时间的参量之间有如下关系：x′=x-vt，y′=y，z′=z， t′=t，这种变换关系式叫伽利略变换。从这个变换式可以推导出两惯性参照系描述同一运动的速度是不同的，但加速度是相等的。伽利略进而得出以下结论：力学定律在所有的惯性系中有相同的形式，即一切惯性系等价，这个结论叫经典力学相对性原理。
一、遇到的问题
一艘船以10m／s的速度做匀速直线运动，船甲板上一质点A以1m／s的速度朝船头方向运动，问站在岸上的观察者观察到质点A的速度是多少？
此问题的答案显然是11m／s。但为什么可以简单地把两个速度相加就得到了答案？其中应用到的知识和原理有哪些呢？在这些很简单、很显然成立的问题中，我们又能学到些什么呢？这实际上是一个相对运动问题，它是物理学常见的一个概念，最早由伽利略提出。从名称上看，我们可以把相对运动理解为一个物体相对另外一个物体的位置随时间而改变，即此物体对另一物体发生了运动，就说此物体处于相对运动的状态。举例来讲，一栋楼房或一棵树对地球来说是静止的，但对太阳来说，它们却都在运动着。还有我们常见的例子，当一列火车从车站出发开始运动时，站在车站的观察者认为这列火车相对车站在运动，但是在火车上的旅客可以认为车站是在与火车运行相反的方向相对火车运动。不同的参考系对运动状态有不同的描述，那么这些不同的描述是否有联系？是否能互相转换？伽利略变换回答了这些问题。
二、伽利略变换建立背景
伽利略变换是意大利学者、科学家伽利略提出的用以研究相对运动问题的一种方法。伽利略最早是在研究天文学问题时提出这一思想的。
欧洲中世纪，经过神学改装了的亚里士多德的自然观占有绝对的政治地位。亚里士多德认为，地球和地上所有物体都是由四种元素组成的，它们分别是气、火、水、土；其中火和气形成向上流动的轻物，水和土形成了向下掉落的重物；而一种叫作“以太”的物质组成了天体。由于受到封建神权的思想统治，没有人敢质疑亚里士多德模式的地心体系。因此，天文学上的行星运动问题，就成为科学摆脱神学而独立形成新的科学体系的关键，也是正确描述运动现象和建立正确的物理理论所必须要解决的问题。
继中世纪托勒密提出的“地心说”和哥白尼提出的“日心说”之后，17世纪初，开普勒首先指出关于亚里士多德对受迫运动和自然圆运动的区分，首次提出了惯性的概念。他根据第谷观测到的行星位置的数据，发现了行星运动的三定律，从而否定了托氏地心体系，并进一步提出研究行星运动的物理原因。
伽利略则把哥白尼、开普勒开创的新科学观加以论证和发展，并以自己在教廷压迫下的牺牲唤醒了人们对日心说的公认。他在他的著作《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》中从理论上论证了日心说的科学基础。该书以三人辩论形式而作，书中三人分别是伽利略的代言人沙尔维萨、亚里士多德的代言人辛普利邱以及中立的沙格列托。书中对话分为4天，本对话的第二天讨论了地球自转会不会引起落体偏西、飞鸟落后、大炮不准、气球散架等现象，并在这里初次阐明惯性定律、运动叠加原理，同时首次提出相对性原理。
在捍卫哥白尼的地动学说，批驳那种认为倘若地球运动就会把地面上的物体抛到地球后面的谬论时，伽利略指出，从行驶着的船的桅杆顶上落下的石子仍然会落到桅杆脚下，并不因为船的运动而落到船的后面；蝴蝶和苍蝇在行驶的船舱中继续随便地四处飞行，绝不会向船尾集中或者为了赶上船的运动而显出疲惫的样子；人们跳向船尾并不比跳向船头远。从对这些现象的观察和惯性原理理论出发，伽利略指出一切惯性系都是平权的。
三、伽利略变换的数学推导
设惯性系S′（O′x′y′z′）沿惯性系S（Oxyz）的x轴正向以速度v匀速运动，自惯性系S到惯性系S′的平直时空的坐标变换应当是线性变换，所以我们假设一运动质点在两参照系中的位置和时间满足下列关系：
式中a，b，m，n都是常数，对式（4-1）进行微分，得到微分关系式：
如果该质点静止于S′系内的任意一点，在S′系内观察，其速度为0；在S系内观察，其速度为v，有
如果该质点静止于S系内的任意一点，在S系内观察，其速度为0；在S′系内观察，其速度为-v，有
将式（4-3）和式（4-4）分别代入微分关系式（4-2），求得各个变换系数间的关系式，即
b=-av，n=a（4-5）
将式（4-5）代入式（4-1）可得
下面求逆变换。因为A的逆矩阵为A的伴随矩阵A*除以A矩阵对应的行列式值，即
所以式（4-6）逆变换可写成
由式（4-1）两边微分可得
dx′=adx+bdt（4-8）
依据线性代数中线性空间的定义，在矢量空间中定义不同的内积可得到不同的线性空间，伽利略变换成立的空间是欧氏空间，而时间独立于空间之外，“同时”具有绝对性。因此，在欧氏空间，在任意坐标系同时测量两点之间的距离应该得到相同的结果。即可令
将式（4-9）代入式（4-8）可得a=1。
同理在逆变换中可令
因为“同时”具有绝对性，所以dt=dt′，将式（4-10）与式（4-6）微分后的形式比较可得m=0。
由此我们已经获得矩阵A中的a和m的值，将其代入矩阵A的表达式可得
那么，伽利略变换式的矩阵形式为
。该矩阵的代数表达式为
式（4-12）就是我们要找的伽利略变换等式。
四、伽利略变换的两个推论
推论1：运动物体相对于惯性参照系A（O′x′y′z′）的运动速度v′等于该物体相对于惯性参照系B（Oxyz）的运动速度v与惯性参照系A相对于惯性参照系B的速度v0之差。即
v′=v-v0（4-13）
式中，v0通常称为牵连速度，v′称为相对速度，v称为绝对速度。
证明：设该运动物体沿着x轴方向运动，并且在t=0时正好处于两个参照系的原点，则经过了时间t之后，该物体在参照系A中的坐标为
x′=v′t
y′=0
z′=0（4-14）
同样地，经过了时间t之后，该物体在参照系B中的坐标为
x=vt
y=0
z=0（4-15）
将式（4-14）和式（4-15）代入伽利略变换式（4-12）（该式中原有的v用v0x表示）可得
x′=x-v0xt
y′=y
z′=z（4-16）
式（4-16）两边对时间求导可得
v′x=vx-v0x（4-17）
由于B做匀速直线运动，v0y=v0z=0，所以式（4-17）可以推广到三维空间，有式（4-13）得证。
v′=v-v0（4-18）
推论2：运动物体相对于惯性参照系A（O′x′y′z′）的运动加速度a′等于该物体相对于惯性参照系B（Oxyz）的运动加速度a，即加速度与参照系无关。
我们对推论1等式两边微分就可以得到推论2，所以它的数学证明是显然的。它的意义在于从它出发可以引出力学相对性原理：一切力学规律在不同的惯性系下形式上是相同的，或者说一切惯性系都是平权的。在牛顿经典力学中，伽利略变换是适用的。力学规律经伽利略变换形式不变，不同的惯性系看到的同一外力做功是相同的，从而机械能守恒定律在各惯性系都成立。
有了伽利略变换，我们可以针对不同的问题，适当地选择坐标系，可以把复杂的问题简单化，方便我们解决实际生活生产中的一系列复杂问题。
五、伽利略变换的局限性
伽利略变换假设时间和空间都是绝对的。但在爱因斯坦相对论中，时间与空间并不是绝对的，因此伽利略变换的适用性受到限制。
1．电磁场理论与伽利略变换的不相容性
麦克斯韦方程组是描述电磁现象的基本方程，是经典电磁学的理论基础。然而，人们发现，在伽利略变换下，麦克斯韦方程组不能具有相同的数学形式。也就是说，麦克斯韦方程组不具备在伽利略变换下的协变性。
我们知道，由真空中的麦克斯韦方程组可以导出类似于机械波运动的波动方程，从而预言了电磁波的存在，并且给出了真空中电磁波的传播速度c是一个常量，它与当时实验测量到的光速在真空中的传播速度相同。然而，该理论并没有说明这个速度是电磁波相对哪一个参考系的速度。相当于说，电磁波相对于任意惯性参考系的速度都是c。而按伽利略变换，电磁波的传播速度在不同的惯性参考系中是不同的。那么，麦克斯韦方程组在不同的参考系中就应该有不同的表示形式。这样，两大体系之间便出现了不可调和的矛盾。
2．掷球实验中伽利略变换遇到的困难
有两个小孩A和B在做投掷小球的游戏。设两人的距离为L，且L很大！在t10=0时刻，A开始加速小球，t1时刻小球出手。小球水平速度为u。若假设光的传播速度仍然满足伽利略变换，则B看到A开始投球的动作是在t20=L／c时刻，小球离开A手在t2=t1+L／（c+u）时刻。上述两个动作可以看成两个物理事件，且可以认为两个物理事件发生在同一地点不同时刻。按因果关系：B看到A的两个动作一定有确定的先后顺序，即投球动作在前，球出手在后。但是，当L足够大时，总有下式：L／c＞t1+L／（c+u），即有t2＜t20情况发生，因果律被破坏，这是不允许的。要保证它不被破坏，只有两种选择：
（1）光速无限大，即c→∞，这可以保证t2＞t20，使得因果律成立；
（2）伽利略变换不适用于光，需要新的时空坐标变换。
第1条显然是行不通的，因为光速的有限性早已被测定且得到大家的公认，因此，唯一的选择只有当涉及接近光速的相对运动时必须摒弃伽利略变换，建立新的时空理论。
六、应用举例
例 A舰自北向南以速率v1行驶，B舰自南向北以速率v2行驶。当两舰连线和航线垂直时，B舰向A舰开炮，发射炮弹的速率为v0，如图4-1所示。为了击中A舰目标，试确定炮弹发射的方向与航线之间的夹角。
图4-1
解：以A舰为惯性系S，B为惯性系S′，B相对于A的速度v2-（-v1）=v2+v1为两个参照系之间的速度，即为牵连速度，有
v牵=v2+v1（4-19）
方向由南指向北。
v0为炮弹相对于参照系S′的速度，可视为相对速度，方向与A、B两舰连线成α。如果用v表示炮弹相对于S参照系的速度，即为绝对速度。炮弹要能击中A舰，按照伽利略变换推论这三个速度矢量应该满足
v=v牵+v0（4-20）
因此发射速度与航线之间的夹角α应该满足
式（4-21）即是炮弹发射的方向与航线之间的夹角余弦的表达式。
七、课后练习
4-1 汽车相对地面静止时看到雨下落的方向偏东θ1角，当汽车以速度v0向东行驶时测得雨下落方向偏西θ2，求雨相对地面的速度。
4-2 河宽为l，靠岸处水流的速度为零，河中央水流速度最大，为v0。如图4-2所示，水流流速从河边到中央再到对岸按二次曲线分布，即vx=ay2+by+c。
图4-2
（1）试根据题中给定参数确定常数a，b，c；
（2）如果有人以不变的划速u垂直于流水方向划去，求船划到对岸时偏离原航向的距离。
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