可靠性指标分配

在装备设计阶段，由生产方与订货方共同协商确定整个系统的可靠性指标，根据已给条件及预测数据，以及系统的组成结构，采取一种分配方法，在系统的各个分系统间进行分配，然后各分系统将分配得到的可靠度指标再分配给各个部件，每个部件按所分配的可靠度进行设计，选取元件、零件，以确保系统可靠度指标的要求。这种将系统的可靠性指标分配给分系统及部件的方法，称为可靠性分配。简而言之，可靠性分配就是要将系统可靠性指标由上到下层层分解，使各级设计人员都明确其相应的可靠性设计要求，从而采取合适的措施来满足这一要求。

要进行可靠性分配，必须首先明确设计目标、限制条件、系统下属各级定义的清晰程度及有关信息（如类似产品的可靠性数据等）的多寡。例如，有的是在设计的早期阶段，产品并不十分清晰的情况下进行初步可靠性分配；有的是在假设各分系统串联条件下进行分配；有的是以某些可靠性指标作为限制条件，规定它的最低值，在这一限制下，要求费用、重量、体积等系统的其他参数尽可能小；有的则给出最低费用的限制，在这一限制条件下，要求可靠性最高。随着具体情况不同，可靠性分配方法也不同。但是，其最终目的都是以最小的代价（如制造费用最低、研制时间最短等）来达到系统可靠性的要求。

可靠性基本分配方法有比例分配法、按重要度分配法、按复杂程度分配法以及最优化分配法等。

11.2.1 比例分配法

工作中，应根据系统所要完成的任务及给出的不同条件来进行可靠度分配。这里所给的条件是系统中的各部件的预测可靠度相近似，或允许失效率与预测失效率成比例。首先讨论串联系统的分配法，再讨论简单的复合系统的分配方法。

1）等分配法

假设系统S由n个分系统串联组成，并且各分系统所受环境影响基本相同。根据经验所知，各分系统的可靠度相近似，或各分系统的预测可靠度相近。那么，可以认为该系统是均匀的。

如果已知系统可靠度指标R，于是各系统可靠度指标R*i那可按下方式分配：

由于预测可靠度Ri有

R1≈R2≈…≈Rn

可以使（R*i）n=R*，即有

等分配法的特点是，不管系统的结构如何，也不管系统的各个组成部分的实际情况怎样，各个组成部分平均分担可靠性指标。

例11.1 若系统S由三个分系统串联组成，R*=0.9，则分配给各分系统的可靠度指标

这种分配方法计算起来特别简单，应用非常方便，但必须要求系统具有均匀性。其分配指标只与系统所给的可靠度指标R*有关，而与分系统的重要度无关，与其预测可靠度也无关。因而，只是在近似分配时才使用这种分配方法。

2）串联比例分配法（一）

假设系统S由n个分系统串联组成。假设系统及其分系统都只有正常或失效这两种状态，且各分系统相互独立。若分系统Ai在工作时间t内的可靠度为Ri（i=1，2，…，n），则系统S在工作时间t内的可靠度为

如果每个分系统都服从指数分布，则系统S也服从指数分布。设分系统Ai的失效率为λi，则分系统Ai在工作时间t内的可靠度为

故系统S在工作时间t内的可靠度为

或者分系统在工作时间t内的失效概率为

qi=1-Ri（11-3）

系统S在工作时间t内的失效概率为

q=1-R，即R=1-q（11-4）

如果系统S是均匀的，并且各分系统所受的环境影响基本相同。那么，可认为系统的允许失效概率正比于预测失效概率。就是说若分系统Ai的预测失效概率为qi比分系统Aj （i≠j）的预测失效概率qj高k倍时，那么，分配给系统Ai的允许失效概率q*i比分配给分系统Aj的允许失效概率q*j也高k倍。

根据系统S的最高需求，若已知系统S的可靠度指标R*，那么，系统S的允许失效概率1-R*=q*。如果分系统Ai的预测可靠度为Ri，则分系统Ai的预测失效概率为qi=1-Ri，于是有

即分系统Ai的分配失效概率指标为

所以分配给分系统Ai的可靠度指标为

R*i=1-q*i（i=1，2，…，n）（11-6）

其中

而

解：已知R1=0.98，q1=0.02，于是

所以

R*1=1-0.010=0.990

同理可以算得R*i（i=2，3，…，10），如表11-4所示。

表11-4 可靠度指标分配结果

这种分配方法通俗易懂，计算简明。但是这种方法在实际应用中是困难的，由例10.2可以看出，这种分配方式提高了所有分系统的可靠度指标，从而使各个分系统的可靠性都需要改进，因此给工作带来了困难。另外我们应用了R=1-q，实际上R≈1-q，而R=e-λt。所以，这种分配法是一种近似分配法。下面讨论第二种比例分配法。

3）串联比例分配法（二）

假设系统S由n个分系统Ai（i=1，2，…，n）串联组成。若每个分系统都服从指数分布，其失效率为λi，那么，分系统Ai在工作时间（0，t）内的可靠度为

设系统的失效率为λ，那么系统S在工作时间（0，t）内的可靠度为

其中

称λit为分系统Ai在工作时间（0，t）内的任务失效率（或累积失效率），则由式（11-7）可得

λit=-ln Ri（11-9）

同样，称λt为系统S在工作时间（0，t）内的任务失效率，且λt=-ln R。

若已知系统S在工作时间（0，t）内的可靠度指标为R*，那么在（0，t）内系统S的允许任务失效率为

λ*t=-ln R* （11-10）

又知分系统Ai（i=1，2，3，…，n）在工作时间（0，t）内的可靠度指标为Ri（t）=e-λit （i=1，2，…，n），那么在（0，t）内分系统Ai（i=1，2，3，…，n）的允许任务失效率为

λ*it=-ln R*i（i=1，2，3，…，n）（11-11）

假设各系统所受到的环境、技术等因素影响基本相同，因此可以认为分系统的允许失效率λ*i与其预测失效率λi成比例，则

即

故

所以各分系统Ai（i=1，2，3，…，n）的可靠度指标为

例11.3 无线电引信由三个分系统：自差收发机A1、低频放大器及信号处理装置A2，执行级A3。串联组成如图11-1所示。假设电源正常，若已给引信在（0，t）时间内的可靠度指标R*=0.900，则引信的允许失效率λ*t=0.10536，已知分系统在工作时间内的预测可靠度R*i（见表11-5），试分配各分系统可靠度指标。

图11-1 无线电引信组成

解：已知分系统A1、A2、A3的预测可靠度

R1=0.9000，R2=0.9180，R3=0.9080

则预测任务失效率为

λ1t=0.10536，λ2t=0.08556，λ3t=0.09651

故

允许任务失效率为

所以分系统A2的可靠度指标为

其他可靠度指标可类似计算，结果如表11-5所示。

表11-5 可靠度指标分配

运用比例分配法必须事先预测各分系统的可靠度，这就是应用比例分配法的不方便之处。

11.2.2 按重要程度分配（AGREE分配法）

前面所讨论的比例分配法，方法简单，使用方便。但是，分配的结果使每个分系统的可靠度都要提高，即对每个分系统的可靠度都要改善，改善分系统的可靠度必然增加分系统的成本费，同时用比例分配法不能体现分系统各自在系统中的重要程度。因此，按重要程度分配法比比例分配法更为完善。

假设S为n个分系统Ai（i=1，2，3，…，n）组成的串联系统，各分系统均由独立的标准组件装置，元件有互相无关的常数失效率，用特定的分系统失效引起系统失效的概率来定义分系统的重要系数：第i个分系统的重要系数ωi为

ωi=P{系统失效|当分系统Ai失效时} i=1，2，…，n

那么，系统S也服从（或近似服从）指数分布，其可靠度为

式中：mi和m分别为分系统Ai和系统S的平均寿命（或平均无故障间隔时间）；mi为待定数。因而在工作时间（0，t）内分系统Ai对系统S而言的实际可靠度应为

若给系统S的可靠度指标R*（t），要求出分配到各分系统的可靠性指标R*i（t）。

如果系统Ai和系统S在工作时间（0，t）内的失效率为λi及λ，且它们之间的关系为

即

由式（11-17）得到Ai分系统的实际可靠度与系统S的可靠性指标的关系为

故有

由式（11-19）得到分系统Ai的平均寿命为

所以分配给Ai分系统的可靠性指标为

我们知道，当|x|很小时，e-x有近似公式

e-x≈1-x，或x=1-e-x（11-22）

若采用近似式（11-22），则Ai分系统的实际可靠度为

将式（11-23）代入式（11-18）得到

对式（11-24）两边取对数，解得平均寿命为

所以分配给各分系统的可靠度指标为

如果分系统Ai在（0，t）内工作时间为ti（0＜ti＜t），则式（11-20）和式（11-25）相应可变为

和

例11.4 设有一台机载电子设备为5个分系统的串联系统，要求工作12h的可靠度为0.923，试求各分系统的可靠度分配，各分系统的有关数据如表11-6所示，试求各分系统的可靠度分配指标。

表11-6 分系统的有关数据

解：R*=0.923，ln R*=0.0801，N=570，利用式（11-28）得

所以各分系统分配的可靠度指标

再考虑串联系统要求的指标R*（12）=0.923，而用分配后分系统的指标计算系统的可靠度为

R*1（12）·R*2（12）·R*3（12）·R*4（3）·R*5（12）=0.92326

两者差值为0.00026。

11.2.3 按复杂程度分配

1）串联系统

假设系统S由n个分系统Ai（i=1，2，…，n）串联组成，Ai可靠度为Ri（i=1，2，…，n），系统S的可靠度为

我们知道，一个系统的复杂程度或复杂系数反映该系统失效的容易程度，因此，可以认为，系统的失效概率q与复杂程度系数成正比，故有分系统Ai的失效概率qi与其复杂程度系数ci成正比，即

qi=kci（i=1，2，…，n）（11-30）

于是系统S的可靠度为

其中k＞0，若给定系统的可靠度指标为R*，试求各分系统的分配可靠度指标R*i。

由式（11-31）有

R*=（1-kc1）（1-kc2）…（1-kcn）（11-32）

方程（11-32）可改写为

当k＞0且甚小时，可以取

得系统的失效概率为

其中q*=1-R*。分系统Ai的失效概率为

则有

qi=ωiq*，Ri=1-ωiq*（i=1，2，…，n）（11-35）

这里Ri是分配指标R*i的近似值，因此，应采取修正系数来求R*i。令

R*i=h Ri（i=1，2，…，n）（11-36）

其中h为修正系数，则

即

式中

所以，各分系统的分配可靠度指标为

例11.5 假设系统由4个分系统串联组成，已知各分系统的复杂系数分别为：10， 25，5，40，又给系统S的可靠度指标R=0.8，试求各分系统的分配可靠度指标。

解：先算出ωi及q*：

再算得

由式（11-37）求出各分系统的分配可靠度指标（见表11-7）。

表11-7 各分系统的分配可靠度指标

2）并联系统

假设系统S由n个分系统Ai（i=1，2，3，…，n）并联组成，这里考虑的是系统的可靠度。分系统服从指数分布，系统近似地服从指数分布，则系统S的可靠度为

式中：λs是系统的失效率；Fs（t）是系统的不可靠度。

设λi是分系统Ai（i=1，2，3，…，n）的失效率，则分系统的可靠度为

则系统的可靠度为

因而系统的不可靠度为

其中ti为分系统Ai的工作时间，0＜ti≤t（i=1，2，3，…，n）。

当ti=t时，则有

当ti=2时，则有

λs=λ1λ2t（11-43）

已知系统的失效率指标为λ*s，若分系统Ai的复杂程度系数ci与Ai的预测失效率λi成比例，即有

由式（11-43）和式（11-44）可得到

即A1的失效率分配指标为

同理可以推得A2的失效率分配指标为

例11.6 今有串并联系统S如图11-2所示，已知系统寿命近似地服从指数分布，部件的预测失效率及复杂程度系数ci列入表11-8中，当工作时间为500h时，系统可靠度指标为99%，试求在工作时间为500h时各部件的可靠度分配指标。

图11-2 系统S可靠性框图

表11-8 部件的预测失效率及复杂程度系数

解：系统S由部件A，C及分系统S1组成。

先求系统的失效率指标λ*S，由于

则

再求分系统S1的复杂系数c S1

c S1=（λE+λB）λDt

=9×10-6×10×10-6×500

=4.5×10-8

复杂系数的总和：

c A+c C+c S1=10.145×10-6

根据式（11-34）得到分配的失效率指标为

采用R*i（t）≈1-λ*it近似式求得各部件的可靠度分配指标为

R*A≈1-1.97×10-6×500=0.9990

R*B≈1-0.1696×10-4×500=0.9945

R*C=0.9910

R*D=0.9930

R*E=0.9992

11.2.4 最优化分配

许多最优化理论都可以用于可靠性分配，如线性规划方法等等。这些方法的关键均在于找到合适的优化目标函数以及相应的约束条件。在此，仅用拉格朗日算法为例作简要说明。

已经知道，可靠度分配由于所具有的条件不同，其分配的方法不同。在实际工作中往往根据某些明确的要求（或限制）来进行分配，如有的要求按各分系统制造费用最低进行分配；有的要求按体积最小进行分配；有的要求按达到一定灵敏度水平进行分配等。一般是根据系统所完成任务而起主导作用的那些特性参数来选取分配方案，对于这种有约束的系统的分配，可以采用拉格朗日乘数法。

假设系统S由n个部件组成，显然系统的可靠度RS是各部件的可靠度Ri（i=1，2，…， n）的函数，即有

RS=R（R1，R2，…，Rn）（11-48）

若Ri与变量xi（如xi是第i个部件的成本费、体积或重量）

xi=xi（Ri）（i=1，2，…，n）

且xi（Ri）是单调增函数，要求系统S的可靠度为R*的条件下，使

最小进行分配，即在约束条件

R*=R（R1，R2，…，Rn）

的限制下，求满足

的解（R*1，R*2，…，R*n）。

引入拉格朗日函数

式中λ是拉格朗日待定系数。根据极值的必要条件有

求式（11-50）的解，如果有一解（R（k）1，R（k）2，…，R（k）n）满足极小值的充分条件，则（R（k）1， R（k）2，…，R（k）n）即为所要求的分配指标。如果式（11-50）只有唯一的正数解（R11，R12，…， R1n）且R≤1，（i=1，2，…，n），则此解即为所求的分配指标。

例11.7 假设系统S由A1，A2串联组成，R（R1，R2）=R1R2

式中α1=0.9，α2=0.4，xi为分系统Ai的成本费。已知系统的可靠度指标R=0.72，试求各分系统的可靠度指标。

由上面方程组得到

R21+0.9R1-1.62=0

故有

略去R（2）1=-1.9，将R（1）1代入方程得到

（R（1）1，R（1）2）为唯一极值点。因此，所要求的可靠度分配指标为R*1=0.9，R*2=0.8。

如果在条件

的限制下，求系统的可靠度最大时Vi的最佳分配，即在式（11-51）的约束下，求满足

的解。

引入拉格朗日函数

如果Ri和Vi的关系fi可以用数量表示出来，则可用解析法求得最佳值Vi，Ri和λ。

11.2.5 储备度的分配法

如果系统的固有可靠度不能满足系统规定的可靠度指标，那么，需要采取必要的加储备件的方法来提高系统的可靠度。

1）在部件级上或在系统级上加备件

采用备件的方法提高系统的可靠度必须注意两点：一是设计要求简便；二是备件成本低。希望通过最小努力而达到最大效果，最简单的方法可以采取在部件级上加备件，或在系统级上加备件。

图11-3 原系统图

例如原系统S如图11-3所示，若在系统级上加备件，则采取两个同型系统S并联，如图11-4所示的备件系统S1；若在部件级上加备件，则采取每一个部件并联后再按原

图11-4 系统冗余图

图11-5 部件冗余图

系统结构组合，如图11-5所示的备件系统S2。

已经证明，部件级上加备份的系统的可靠度大于系统一级加备份的系统的可靠度，即有R（S）≤R（S1）≤R（S2）。那么，是不是每一个部件上都要加备份呢？如何设计一个可靠的系统并使其费用最小呢？

通常加备件时，并不是对系统的每个部件都加备件，即使对每个部件加备件时，也不一定是每个部件都加相同数目的备件。由于备件数目多少是直接关系到系统的成本、体积、重量等因素，因此，不能对某个部件增加过多的备件。值得关注的问题是：在系统可靠度达到所需指标的条件下，所用备件数目最小。

设系统S由n个独立部件X1，X2，…，Xn串联组成，各部件的可靠度分别为R1，R2，…， Rn，则系统S的可靠度为

R=f（R1，R2，…，Rn）=R1·R2·…·Rn

如果对部件Xi加一个备件，则新系统Si的可靠度为

R*i=fi（R1，R2，…，Rn）

=R1·R2·…·Ri[1-（1-Ri）2]Ri+Rn

=（2-Ri）R1·R2·…·Rn

=（2-Ri）f（R1·R2·…·Rn）

显然有

R*i＞R

即备件后的新系统比原系统度的可靠度提高了。当（2-Ri）的差值越大，即Ri越小时，系统可靠度提高的幅度越大。因此，我们应该对可靠度最低的部件加备份，这样所加的数量最少。

例11.8 设系统由S个三个部件X1，X2，X3串联组成（见图11-6），各部件的可靠度分别为0.5，0.8， 0.85，系统S的可靠度0.34，试增加最小数目的备件，使系统的可靠度指标达到0.7。

图11-6 系统S组成

解：三个部件中X1的可靠度最小，因而先对X1加一个备件，加备件后系统S1如图11-7所示。

图11-7 系统S1组成

系统S1的可靠度为

R1=（2-0.5）×0.5×0.8×0.85

=0.51

S1的可靠度仍不满足要求，因此再加备件，这里X1加备件后形成并联结构X′1，且X′1的可靠度为

R′1=1-（1-0.5）2=0.75

于是系统S1可视为X′1，X2，X3的串联系统，且X′1的可靠度为0.75，比X2，X3的可靠度小，因此再加备件X1得到X″1结构，其可靠度为

R″1=1-（1-0.5）3=0.875

于是可以得到如图11-8所示的由X″1，X2及X3串联所组成的系统S2。

图11-8 系统S2组成

系统S2的可靠度为

R*2=0.875×0.8×0.85=0.595

仍然没有达到要求的指标，此时部件X2的可靠度最小，因此对部件X2加备件得系统S3，如图11-9所示。

系统的S3可靠度为

R*3=[1-（1-0.8）2]×0.875×0.85=0.714

图11-9 系统S3组成

所得系统S3的可靠度超过要求指标（0.7），即所求系统为S3。

2）成本最小可靠性最高的加备件方法

现在从成本最小出发加备件，假设系统由n个独立部件串联组成，各部件的可靠度为R1，R2，…，Rn，各部件的成本费为c1，c2，…，cn，要求系统的可靠度达到预定的指标但所用备件的成本最小。这个问题可以演化为两种约束极值问题。

（1）已知系统应达到的可靠度指标R*。m1，m2，…，mn为未知数，要求满足条件，即

使

最小，这是对系统的可靠度进行限制，使系统的成本费最小，求正整数mi（i=1，2，…，n），这是整数规划问题。

（2）也可以对系统的成本进行限制，使可靠度达到最大，即要求满足

条件，使

最大，式中c为系统备件后的总成本。

上面两个问题可以利用数学规划方法求解。下面举一个利用运筹学中的方法来找满足式（11-53），并使费用函数式（11-54）最小的非负整数m1，m2，…，mn的例子。

例11.9 假设系统S由5个部件X1，X2，X3，X4，X5串联组成，其可靠度分别为0.96，0.93，0.85，0.8，0.75，各部件的成本费分别是300元，1200元，800元，500元， 1000元。备件后要求系统的可靠度不小于0.8，使系统的成本费最小。

解：选择备件时既要考虑成本又要考虑部件的可靠度，选取可靠度较小成本较低的部件先加备件，并且根据参数

进行选择，当μi值最大时优先备件。

式（11-57）中ki是第i个部件所加备件数，Ri（ki）是第i个部件加ki个备件的可靠度，初始状态Ri（0）=Ri表示所加备件数为零。

首先计算μi（ki）。已知R1（0）=0.96，则

同理算得

由以上可知，μ4（0）最大，因此先对X4加备件，加备件后的系统S1的可靠度为

0.96×0.93×0.85×[1-（1-0.8）2]×0.75=0.546

增加备件X4后，系统的成本费增加500无，系统S1如图11-10所示。

图11-10 系统S1

系统S1的可靠度为0.546，没有达到预定指标，还需要加备件，故再计算μi。由于X1， X2，X3，X5没加备件，μi参数仍为μi=μi（0）（i=1，2，3，5）。

所以此时μ5（0）=9.67×10-5最大，因此对X5加备件，加备件后的系统S2的可靠度为0.96×0.93×0.85×0.96×[1-（1-0.75）2]=0.683

系统增加成本费为c4+c5=500+1000=1500元，系统S2如图11-11所示。

图11-11 系统S2

系统S2的可靠度为0.683，仍然没有达到预定指标，因此还需要加备件。以同样的计算方法得到表11-9。

表11-9 备件计算表

从表中可以看出，系统S4（见图11-12）已达到要求，其增加成本费用达2600元。

图11-12 系统S4