13.1.1 重要度分析
国内外资料上介绍的重要度有八九种之多，但最常用的，也是最基本的是概率重要度、结构重要度和关键重要度三种。本节仅介绍这三种重要度，并指出它们的物理含义和不同的用途。
前面已经提到过，一个部件可以有多种失效模式。在故障树中，每一种失效模式对应一个基本事件。本节所介绍的重要度的定义和计算方法均系基本事件重要度的定义和计算方法。部件重要度应等于它所包含的基本事件的重要度之和。当部件只含一种失效模式时，部件重要度即等于基本事件重要度。
为简单起见，本节假定每个部件只含一种失效模式，则基本事件的重要度即是部件的重要度。
在讨论重要度的概念和计算方法之前，首先介绍两个常用的基本概念，这就是“系统的临界状态”和“关键部件”。
n个部件的两态系统，其部件状态的组合有2n个。这2n种组合分别归结为“系统正常”和“系统失效”。为了区别起见，可以称系统的每一种部件状态组合为系统的微观状态，系统正常或失效为系统的宏观状态。因而，一个据有n个部件的两态系统共有2n种微观状态，而这2n种微观状态又可归结为两种宏观状态。由于在同一时刻两个或两个以上的部件状态同时发生变化的概率很小，可以忽略不计，我们认为每次只有一个部件的状态发生变化。从另一方面看，在2n个微观状态中，并非每一种微观状态发生每一种变化都能导致系统宏观状态发生变化的。只有其中某些特殊微观状态在发生某种特殊变化时才能导致系统宏观状态变化。这些特殊的微观状态即是系统的临界状态。
因而，对系统的临界状态可作如下定义：当且仅当某一个部件状态变化时即可导致系统宏观状态变化，则称此系统处于某种临界状态之中。那些当且仅当该部件状态变化即导致系统宏观状态变化的部件就称为该临界状态的关键部件。任何非临界状态的微观状态都必须首先变成临界状态后才可能使宏观状态发生变化。
图13-1是一个四部件系统可靠性框图；表13-1是如图13-1所示系统的状态表。
图13-1 四部件系统可靠性框图
表13-1 四部件系统状态表
注：1—失效；0—正常；√—临界状态。
表13- 1中列出了系统全部16种微观状态以及其对应的宏观状态。在状态1、2、3中，改变任何一个部件的状态都不可能使系统的宏观状态发生变化。因而，它们是非临界状态。在状态4中，若部件4的状态由0变1，则系统宏观状态也将由0变1，这一个状态就是临界状态。而导致系统状态变化的部件4称为该临界状态的关键部件。
临界状态和关键部件有如下性质：
（1）如前所述，并非系统所有的微观状态都是临界状态，只是其中某些特殊的微观状态才属于临界状态。
（2）一个系统的任一部件都有可能成为关键部件。即任一部件都能在系统的2n个微观状态中找到以其为关键部件的微观状态。显然，这一部件是否成为关键部件取决于其他n-1个部件的状态组合。如图13-1中的部件3，当其他三个部件状态均取0时，不管部件3的状态怎么变，系统宏观状态都不会从0变到1。反之，当部件1、2、4的状态分别为1、0、1时（状态8、14），若部件3的状态由0变到1，系统宏观状态也由0变到1。当部件3状态由1变到0时，系统宏观状态也由1变到0。因而，状态1不是以部件3为关键部件的临界状态，状态8、14都是以部件3为关键部件的临界状态。由此可见，一个部件可以作为多个临界状态的关键部件。
（3）一个临界状态可以对应多个关键部件。如表13-1中的状态13，部件1、2和4的状态从1变到0时，都可以使系统宏观状态从1变到0。因而，部件1、2、4均可作为状态13这一临界状态的关键部件。
下面要讨论的重要度的概念就是以临界状态和关键部件为基础的。
1）概率重要度
设系统的不可靠度函数为g（t），第i个单元的失效概率函数为Qi（t），则定义系统不可靠度函数对单元i的失效概率函数的偏导数为单元i的概率重要度（记作Ipri（t）），即
设系统故障树的结构函数为
ψ（X）=ψ（x1，x2，…，xn）（13-2）
由结构函数分解式可得
ψ（X）=xiψ（1i，X）+（1-xi）ψ（0i，X）（13-3）
对上式两边求数学期望，因为xi和ψ（1i，X）、（1-xi）和ψ（0i，X）分别相互独立，由数学期望的性质可得
E[ψ（X）]=Fi·E[ψ（1i，X）]+（1-Fi）·E[ψ（0i，X）]（13-4）
故障树结构函数的数学期望即是顶事件的发生概率，也就是系统的不可靠度。因而，式（13-4）的左边为g（t）。而Fi即是第i单元的失效概率，可以改写为Qi（t）。E[ψ（1i，X）]为第i单元状态取1时系统的不可靠度，记作g（1i，Q），E[ψ（0i，X）]为第i单元状态取0时系统的不可靠度，记作g（0i，Q）。则式（13-4）可以改写成
g（t）=Qi（t）·g（1i，Q）-Qi（t）·g（0i，Q）（13-5）
上式两边分别对Qi（t）求偏导数，则有
即
Ipri（t）=g（1i，Q）-g（0i，Q）（13-7）
式（13-7）给出了概率重要度的数学含义，即i单元的概率重要度为i单元状态取1时故障树顶事件的概率与i单元状态取0时故障树顶事件概率之差。
作为一个工程中常用的可靠性参数，对于概率重要度来说，仅明确其数学含义是不够的，还必须进一步考察其物理含义。在式（13- 7）中，g（1i，Q）为单元i失效时系统的失效率，g（0i，Q）为单元i正常时系统的失效率，因而，式（13-7）右边表示当单元i从正常变到失效时系统不可靠度的增值，也就是当且仅当单元i从正常变到失效时系统失效的概率。
例13.1 试求一个3中取2系统中任一部件的概率重要度。
解：3中取2系统的故障树结构函数可表示为
ψ=x1x2∪x1x3∪x2x3
显然，上式是用最小割集表示的故障树结构函数。经不交化处理后，上式可以化为
ψ=x1x2+x1x′2x3+x′1x2x3
则顶事件发生概率的表达式为
g（t）=Q1Q2+Q1（1-Q2）Q3+（1-Q1）Q2Q3
由上式可以推导出g（11，Q）和g（01，Q）：
g（11，Q）=Q2+（1-Q2）Q3
g（01，Q）=Q2Q3
根据式（13-7），有
Ipri（t）=Q2+（1-Q2）Q3-Q2Q3
例13.2 试计算两部件串联、两部件并联和3中取2系统各部件的概率重要度。设时间和失效率数据为t=20h，λ1=0.001/h，λ2=0.002/h，λ3=0.003/h。
解：由题设，三个部件的不可靠度分别为
（1）对于2部件串联系统：
g=Q1+Q2-Q1Q2
则
（2）对于2部件并联系统：
g=Q1Q2
则
（3）对于3中取2系统：
g=Q1Q2+Q1Q3+Q2Q3-2Q1Q2Q3
则
上面用简单的实例展现了概率重要度的物理意义。
对于两单元串联系统，只要任何一个单元失效系统即失效。因此，当且仅当单元1失效系统即失效的状态是单元2完好。反之，当且仅当单元2失效系统即失效的状态是单元1完好。故有
Ipr1=1-Q2=R2
Ipr2=1-Q1=R1
对于两单元并联系统，当两单元都失效时系统才失效。因而，当且仅当一个单元失效系统即失效的状态是另一个单元失效，故有
Ipr1=Q2
Ipr2=Q1
2）结构重要度
若一个系统不会由于某单元的失效而由系统失效变成系统正常，则这样的系统称为单调关联系统。船舶及其系统一般均为单调关联系统。因而，本书所讨论的可靠性问题均为单调关联系统的可靠性问题。
对于单调关联系统，当单元i的状态由0变到1时，系统的状态有下列三种方式：
（1）ψ（0i，X）=0，ψ（1i，X）=1，ψ（1i，X）-ψ（0i，X）=1
（2）ψ（0i，X）=0，ψ（1i，X）=0，ψ（1i，X）-ψ（0i，X）=0
（3）ψ（0i，X）=1，ψ（1i，X）=1，ψ（1i，X）-ψ（0i，X）=0
对于单元i的某一给定状态，其余n-1个单元的状态可有2n-1种组合。取其和
显然，这种求和仅仅是将第（1）种情况发生次数进行了累加，其他两种情况的贡献为零。而情况（1）发生的次数就是以i单元为关键单元的临界状态数。以i单元为关键单元的临界状态越多，i单元的失效导致系统失效的可能性越大。故nψi可以作为单元i对系统失效贡献大小的度量。由于这种可能性仅由系统结构而决定，因而，可以用nψi的这种特征来定义部件的结构重要度。为了使每个单元的结构重要度不大于1，可将i单元的结构重要度定义为
从定义式中可以看出，i单元的结构重要度为以i单元为关键单元的临界状态数除i单元外其余n-1个单元状态组合数之比。
当部件i的状态给定时，系统任一状态为（·i，X），ψ（·i，X）=1或ψ（·i，X）=0。（·i， X）中有n-1个部件的状态变量。
为了不失一般性，任设其中k个为失效状态（k=0，1，2，…，n-1），n-1-k个为正常状态。
因而
故式（13-9）可以变为
上述演算结果表明，当所有部件的失效概率和正常概率均为1/2时，部件的概率重要度等于其结构重要度。这样，就提供了一个通过概率重要度来求结构重要度的方法，大大地简化了式（13-9）的计算。
例13.3 对于两部件并联系统，分别用上述两种方法计算各部件的结构重要度。
解：两部件系统部件状态组合数为4，当其中一个部件的状态固定时，系统可能取的微观状态只有两个，即另一个部件的两种状态。
对于并联系统，用第一种方法得到的概率重要度为
用第二种方法计算结构重要度时，先假设两个部件的失效概率分别等于1/2，则有
例13.4 试计算如图13-2所示系统各部件的结构重要度。
图13-2 可靠性框图
解：不难看出，这个系统有四个最小割集，它们是：
{x4}，{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}
所以
由于部件2、3和部件1在系统中的地位相同，它们的结构重要度应相等。故
3）关键重要度
前面已经谈到，概率重要度Ipri（t）在数学上的意义是：i单元失效概率改变一个单位所引起的系统失效概率的变化。但由于单元原有失效概率的大小不同，其同样变化一个单位的难易也不同。在这一点上，概率重要度不能充分反映这个性质。因而，有必要引入一个新的概念来对其进行刻画，这个概念就是关键重要度。
关键重要度是一个变化率的比，单元i的关键重要度就是单元i的失效概率的变化率所引起的系统失效概率的变化率，记作Icri（t），且有
因为
则式（13-10）可以变为
例13.5 试计算例13.2所给三种系统的关键重要度。
解：由例13.2的计算结果得到了各个部件在三种不同系统中的概率重要度。再由式（13-11）即可算得关键重要度。
三个部件的不可靠度分别为
（1）对于两部件串联系统：
则有
（2）对于两部件并联系统：
则：
（3）对于3中取2系统：
则有
13.1.2 关重件确定
不管哪种类型的可靠性分析，其基本目的都是查找系统的薄弱环节，确定关重件，为其改进设计提供依据。
1）依据FMECA确定关重件
根据FMECA结果，从中找出严酷度Ⅰ、Ⅱ类单点故障模式清单和可靠性关键重要产品清单，如表13-2和表13-3所示。
表13-2 严酷度Ⅰ、Ⅱ类单点故障模式清单
表13-3 可靠性关键重要产品清单
2）依据重要度分析确定关重件
概率重要度、结构重要度和关键重要度从不同角度反映了部件对系统的影响程度，因而，它们使用的场合各不相同。在进行系统可靠度分配时，通常使用结构重要度。当进行系统可靠性参数设计以及排列诊断检查顺序时，通常使用关键重要度，而在计算部件结构重要度和关键重要度时，往往又少不了概率重要度这么一个有效的工具。
从关键重要度的表达式来看，式（13-11）可以表示为
式中：1/g对所有单元都相同，不同的是Qi和Ipri。而Ipri是当且仅当单元i失效时系统失效的概率，1/g是单元i失效的概率，那么，QiIpri就是单元i触发系统失效的概率。QiIpri越大，表明由单元i触发系统失效的可能性就越大。
因此，一旦系统发生故障，有理由首先怀疑是关键重要度最大的单元触发了这次故障，也就是认为此单元是关重件。对该单元作快速更换就可使系统恢复正常工作。于是，可以根据单元关键重要度的大小顺序列出系统单元故障诊断检查的顺序表，用来指导系统的运行和维修。这个顺序表在需要快速排除故障的场合，如临战情况，就显得更为有用。只要按照该顺序表首先检查关键重要度最大的单元。若该单元确实已经发生故障，则予以更换，系统立即恢复工作。若不是该单元故障，则应检查顺序表上关键重要度次大的单元。这是保证能以最快速度排除系统故障的最优检查方案。
例13.6 计算如图13-2所示系统各部件的关键重要度，并列出诊断检查顺序表。设Q4=0.2，Q1=Q2=Q3=0.6。
解：由例11.4可知
g=Q4+（1-Q4）Q1Q2+（1-Q4）Q1（1-Q2）Q3+（1-Q4）（1-Q1）Q2Q3
=0.2+0.8×0.62+0.8×0.62×0.4+0.8×0.62×0.4
=0.7184
根据式（13-10），有
部件1、2、3在系统中所处的地位以及其自身的失效概率均为相同，因而，其关键重要度是一样的。
根据上面计算结果，系统故障时部件诊断检查顺序应为：①部件1、2、3；②部件4。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
