随机变量的独立性不仅是概率论的基本概念之一，同时也是许多概率模型和统计问题的基本前提条件.第一章引进了事件的独立性概念，研究了独立事件的性质.现在研究随机变量之间的独立性.随机变量的独立性是通过与其相联系的事件的独立性引进的，随机变量独立性的研究也是通过事件的独立性展开的.
直观上，独立随机变量是独立试验中被测量的量.两个随机变量相互独立，是指一个变量的行为不影响另一个变量的统计规律性.例如，一天之内到过商场的顾客人次，与该商场的销售额显然不独立，而与火车站一天的票款收入显然独立；掷一枚骰子，“出现偶数点”和“出现奇数点”显然不独立；掷两枚骰子各自出现的点数显然相互独立；两条高速公路上日发生交通事故的次数一般是相互独立的……
下面将给出随机变量独立性的定义.同事件的独立性一样，应用中在许多情形下，不是根据定义验证随机变量是否独立，而是根据有关理论、实践知识或直观，来判断随机变量是否独立.这时，独立性的定义当做独立随机变量的性质使用.对于独立随机变量，各个随机变量的概率分布可以决定它们的联合分布.
则称随机变量X和Y是相互独立的.
（3.4.1）式表示随机变量的独立性要求联合分布函数等于边缘分布函数的乘积.
分别对离散型和连续型随机变量，可以用以下定理判断其独立性.
证明略.
在实际中使用（3.4.2）式或（3.4.3 ）式要比（3.4.1）式方便.
从这个定理可知：当随机变量相互独立时，联合分布律（密度函数）与边缘分布律（密度函数）可以相互唯一确定.而从前面的讨论知道这一结论一般不成立.
注：常数与任何随机变量独立.从直观上来看，这是显然的.
例3.4.1设二维随机变量（X， Y）的联合分布律为
试证X和Y相互独立.
证 由联合分布律可求得X和Y的边缘分布律分别为
和
例3.4.2已知二维随机变量（X， Y）的联合分布律为
试确定常数a， b，使X与Y相互独立.
解 先求出（X， Y）关于X和Y的边缘分布律
例3.4.4设二维随机变量（X， Y）的概率密度函数分别为
问X与Y是否相互独立？
解（1）边缘密度函数分别为
（2）边缘密度函数分别为
例3.4.5一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知X和Y的联合分布函数为
问X和Y是否独立？
解 由题设条件知，X和Y的边缘分布函数分别为
同事件的独立性类似，绝对独立的随机变量实际上是不存在的，如果X与Y的依赖程度非常弱，我们就可以视为相互独立，从而去使用那些公式.
例3.4.6设X服从参数为λ = 2的指数分布，Y～ U（0， 2），且X与Y相互独立.
（1）写出（X， Y）的联合密度函数； （2）求P｛X+Y≤3｝ .
解（1） X与Y的密度函数分别为
因为X与Y相互独立，所以（X， Y）的联合密度函数
例3.4.7设二维随机变量（X， Y）服从二维正态分布，其联合密度函数见（3.3.5 ）式，证明随机变量X与Y相互独立的充要条件是ρ=0.
证（X， Y）的联合密度函数为
（充分性） 假设ρ=0，则（X， Y）的联合密度函数为
而X与Y的边缘密度函数分别为
例3.4.7说明，服从二维正态分布的随机变量相互独立的充分必要条件是参数ρ=0，这是正态分布的又一优良特性.
下面的定理说明独立随机变量的函数仍然是独立的，这是个很重要的结论.
定理3.4.2设X与Y是相互独立的随机变量，h（x）和g（y）均为连续或单调函数，则随机变量h（X）与g（Y）也是相互独立的.
证明略.
应该指出，定理3.4.2的逆定理是不成立的.
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
