数学建模例举

对于一些机理比较简单的实际问题，可采用初等数学方程建模.

例4.24 在足球比赛中，甲方边锋从乙方所守球门附近带球过人沿直线向前推进(见图4.20)，试问，边锋在何处射门命中率最大?

图4.20

图4.21

本题尚简，认真考察图4.20之后，即可按流程进入第Ⅱ步: 假设，化简. 人高、球门高、球员射门力度等因素不予考虑. 设乙球门两立柱为A、B两点，边锋在C点，本题实际上是求，当C在何处时，张角∠ACB最大. 可以把足球场左边线、底边线当作纵轴与横轴，两边线的交点当作原点，C到球场左边线的垂直距离为x，OA=a， OB=b，a＞b，a，b为定值，于是三点A(O，a)，B(O，b)，C(x，O)位置基本确定. 问题变成: x取什么值∠ACB最大?

建模求解.

模型1 设∠ACB=α，∠BCO=β，则∠ACO=α+β，而α＜，因为

当x=即x=时，tanα最大，而在0°～90°范围内tanα递增，故当x=时，∠ACB=α取得最大值arctan表明当边锋C距球门边线时，射门命中率最大.

模型2 在△ABC中，由正弦定理有

所以

当x1=时，即x=时，分母最小，原式值最大，即sin∠ACB最大⇒∠ACB最大.

模型3 在△ABC中，由余弦定理

模型4因为S△ABC=AB·CD，又S△ABC=AC·BCsin∠ACB.

故

即

模型2、3、4都可以具体算出，读者可进一步细算，所有四个模型的具体的数值解，总会有点差异. 因此，数学模型对实际问题的解决是一种近似刻画.

涉及初等数学建模的问题实在很多，只要注意，即可顺手可得. 现再举几个如下:

(1)在公路l上，拍摄一张含A、B两村新农村建设的照片，应怎样选择位置?

(2)在1 000 km的方形地带含有51座城市，现拟修建11000km的公路网，使任二城之间都有公路相通，请拟出一种方案.

(3)在1m×1m的正方形薄板上冲压出直径为0.1m的圆片，如何冲压可使得到的圆最多?

(4)木工、电工、油漆工三人协作装修自己的房子，装修前每人工作日协议如表4-9:

表4-9

每人工资每日60～80元之间，且每人的日工资数使其总收入与总支出相等. 试求三人日工资.

例4.25 质量为m的物体自某高度自由下落(初速度为0)，在下落的过程中所受空气阻力与它下落的速度的平方成正比，求该物体运动规律.

模型假设 为了能用符号表示物体下落的规律，需要作以下假设: 用S表示物体所经过的路程(即高度)，物体下落必具备一定的速度v=.作用于物体的力P=mg——沿运动方向的重力;重力的影响，产生加速度a=空气的阻力F=kv2(问题中的条件，与运动反向相反).

模型建立

根据牛顿第二定律: P=ma，ma=P-F=P-kv2

或

模型求解

因

故 所以

当t=0时v=0，故C1=0，因而ln

由此可见

由于

所以

上式两边再积分，得

因 当t=0时，S=0，所以C2=0.

于是，物体自由下落的运动规律为

而运动的速度

例4.26 一个邮递员，管辖一个地区的邮件报纸递送业务.他从邮局出发，然后回到邮局，几乎走遍管辖区所有街道，问他该如何设计自己的行走路线才使所走的路程最短?

模型准备、假设

首先应把经过的线路画一个图，如图4.22所示，如果这个图可以一笔画出，则可按一笔画的顺序走，把所有邮线走完而无重复，必是最短路线. 否则可采用添弧的办法，使图形成为可以一笔画的，如在图4.22所示的A、H之间添一虚线.

模型构造

要构造这个模型，需要设计一种方法，使所得加的弧最短. 有起点与终点称为路，起点与终点相同称为闭回路. 闭回路中间的点都不相同称圈(如CB-BD-DC是一个圈，FB-BC-CD-DB-BG-GF是闭回路，不是圈)，最优的添加弧(图4.23中的虚线)满足: 虚线连奇点，虚线不重叠;圈上虚线长，不得过半圈，所谓奇点就是通过这点的线路是奇数条. 图4.23中的奇点是B、C、D、E、G、H六点，由于奇点个数一定是偶数，当两点用弧连接以后，就变成偶点了，但不能都连接，以免重复. 我们试作HE、GB、CD 及HA的连线，而A是孤立点，应作闭回路，有闭回路的地方邮递员可以往返，其余不可，于是得到如下一条路线:

图4.22

图4.23

邮局→H→A→H→G→B→E→H→E→M→N→C→B→D→F→B→G→F→L→G→邮局

图4.23上若标数字表示两地的里程(长度). 在作路线图时，尽量不要在长里程两地作往返. 路线图的作出是很麻烦的，因为验算的工作量很大; 本题也适用于推销员问题.

数学是个模型库，不论是经典数学、近代数学还是现代数学，数学模型极多. 而自然社会现实是数学模型的源泉，是数学爱好者的用武之地.

1985年，美国出现了一个叫MCM的一年一度的大学生数学模型竞赛. 中国大学生于1989年开始参加美国MCM，历时近30年了，对促进教学改革，提高教学质量，培养人才有着良好的作用. 由于参赛者注意活生生的数学原型，开放式的竞赛，而且MCM既没有通过、失败这种记分，也不采用数值记分，评阅人主要感兴趣的是论文的方法、论述的清晰性，评选一些论文为表扬奖、有价值的论文和优秀论文. 部分最佳论文将发表在专业性的数学杂志上，以此作为奖励. 吸引了大批学生参与，把竞赛变成了生动的课堂，为人才培养探索出了一条好的路子，也是数学保持清新与活力的必要条件.