在上节(5.1)数学与美中，我们提到了连分数，用连分数表达的式子，十分整齐，一般有形如
的表达式. 这里，a1，a2，a3，…，b1，b2，b3，…可以是实数或者复数，项可以有限，也可以无限. 如果b1=b2=b3=…=1，这样的连分数称为简单连分数，其中第一项a1可正可负亦可为零，其他各项ai(i=2，3，…)均为正整数. 只含有限项的简单连分数，即如
仅含有限个项a1，a2，…，an，式(5.29)可表示为
第一个加号后的所有“+”号都低半格.
连分数的展开过程，就是不断地作带余除法(辗转相除法)，也就是说，求一个有理数的连分数展式的方法，就是有限次辗转相除法; 反之，给定形如(5.29)式的有限连分数，由下至上算回去，总得一个连分数. 因此，任何一个有理数都能展为有限简单连分数; 任何一个有限简单连分数，都可化为一个有理数，而无理数的连分数的展式将含有无限多项.
天文学和年代学中的许多问题可以用连分数来计算.
(1)关于闰年问题
如果地球绕太阳一周是365天，我们就不需要分平年与闰年了，也就没有必要每隔四年把二月份的28天改为29天了; 如果地球绕太阳一周恰是365
天，那么每四年加一天的算法就很精确，没有必要每隔一百年又少加一天; 如果地球绕太阳一周恰好是365.24天，那一百年就有24个闰年，则一百年必须有24个闰年，即四年一闰而百年少一闰. 这就是我们用的历法的来源.
然而，地球绕太阳一周的时间是365.2422天，这一小误差逐渐引起了季节和日历关系之间变化. 现在我们用求连分数的渐近分数来求得明晰的答案. 我们知道，地球绕太阳一周需时365天5小时48分46秒，也就是
展成连分数:
算法是
分数部分的渐近分数是
这些渐近分数一个比一个精密，表明四年加一天是初步的近似值，29年加7天更好些，33年加上8天又更精密些，即99年加24天正是百年少一闰的由来. 由上述数据还可知，128年加31天接近实际(头三个33年各加8天，后一个29年加7天，共3×33+29=128年即加3×8+7=31天)，等等. 如果过了43200年，一共加了432×24=10368天，但照精密计算，却应当加10463天，一共少加了95天，也就是说，按照百年24闰的算法，过43200年后，人们将提前95天过年，也就是秋初就要过年了. 因此，历法除订定四年一闰，百年少一闰外，还要订每400年又加一闰，这就补偿了按百年24闰少算的差数. 但这样做闰年又多了，所以进一步规定，世纪数不能被4整除的世纪年，如1700年，1800年，1900年，2100年，2200年等不是闰年，而其余的世纪年，如1600年，2000年，2400年等是闰年，但依然有点多，故有人提议4000年，8000年等不作为闰年，这是一个仍未解决的问题.
(2)农历的月大月小、闰年闰月
出现相同月面的间隔的时间称朔望月，即从满月(望)到下一个满月，从新月(朔)到下一个新月，从峨眉月到下一个同样的峨眉月所间隔的时间，通常把朔望月当作农历月. 已知朔望月是29.5306天，把小数部分展成连分数
它的渐近分数是
上述渐近分数的意思是: 就一个月来说，最近似的是30天，两个月是一大一小，而15个月是8大7小，17个月9大8小，49个月中有26大月.
因
(3)日月食
图5.15
天文常识告诉我们，地球绕太阳转，月亮绕地球转，地球的轨道在一个平面上，称为黄道面，而月亮的轨道并不在这个平面上，但月亮轨道穿过黄道面，与黄道面有交点，具体地说，月亮从地球轨道平面这一侧穿到另一侧时有一个交点，再从另一侧穿回这一侧时又有一个交点，其中一个在地球轨道圈内，另一个在圈外. 从圈内交点到圈内交点所需时间称为交点月，交点月约为27.2123天，当太阳、月亮和地球的中心在一直线上，这时就发生日食或月食(如果月亮在地球的另一侧). 如图5.15，由于三点在一直线上，月亮一定在地球轨道平面上，就是月亮在交点上;同时，也是月亮全黑的时候，也就是朔，从这样的位置再回到同样的位置必需要有两个条件: 从一个这点到同一交点(这与交点月有关); 从朔到朔(这与朔望月有关). 现在我们来求朔望月与交点月的比.
考虑渐近分数
而 223×29.5306=6585≈18年11天.
这表示经过了242个交点月或223个朔望月以后，太阳、月亮和地球又差不多回到了原来相对位置，要注意的是这三个天体的中心不一定准在一直线上时才出现日食或月食. 稍偏一些也会发生. 因此18年11天中会发生多次日食和月食(约有41次日食29次月食)，虽然相邻两次日食(或月食)的间隔时间并不是一个固定的数，但是经过了18年11天以后，这三个天体又回到了原来相对位置，因此，在这18年11天中日食，月食发生的规律又重复实现了，这个交食(日食月食的总称)的周期称为沙罗周期，“沙罗”就是重复的意思，求出了沙罗周期，就大大便于日食月食的测定.
(4)干支纪年
用甲子排序，我国起源很早，在夏代就有了，商代的干支记录十分完整，在甲骨文中有全部“甲子”60个一个不缺地依序排列，古代用干(甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸)、支(子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥)表示年、月、日和时的顺序. 干支实际上是“天干”与“地支”的合称，把天干中的一个字摆在前面，后面配上地支中的一个字，就构成一对干支. 如果天干以“甲”字开始，地支以“子”字开始进行组合，就可以得到60对干支，称为“六十干支”或“六十花甲子”. 干支次序如表5-5.
表5-5
按照表的次序，每年用一对干支表示，这种纪年法叫“干支纪年法”. 这种纪年法，至迟在东汉初期已经普遍使用，至今无间断. 我国历史学中特别是近代史常用干支年表述历史事件，为学习的方便，把公历纪年换算成干支纪年，实为必要. 若n是干支表中的序数，x是所求公历纪年数，适当的选取m(m=0，1，2，…)使
0＜n≤60，n=x-3-60m (5.31)
那么所得到的n就可立即从表中查出干支来.
例5.2 求1894年的干支.
解 x=1894，由n=x-3-60m，有x=n+3+60m
选取m=31，则1894=n+60×31=n+1863，n=1894-1863=31. 由干支表即查得，对应的干支是甲午. 1894年正是中日甲午战争发生的年代.
上述公式x只能取公元4年以后的值，天文纪年法规定，公元元年记为+1年，公元前一年记为0年，公元前2年记为-1年，公元前3年记为-2年，……，把公元4年前的x值按这个方法取值，m也可取负整值，则式(5.31)仍然成立.
例5.3 求公元前221年的干支.
依规定，x=-220，取m=-4，则
n=( -220) -3-60×( -4) =17
由干支表查出为庚辰，这就是秦国完成统一，秦始皇称帝的那年.
由干支纪年换算公历纪年，要复杂一些. 因为同一干支对应一系列的公历纪年，它们之间相差60的整数倍.
例如: 唐高祖(李渊)登基是戊寅年，戊寅年序号为15，即n=15，按公式(5.31)，x=n+3+60m. 又知李渊是公元7世纪初当皇帝的，故选取m=10，x=15+3+60×10=618(年). 这表明唐朝是公元618年开始的.
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