数学中的悖论

所谓悖论，就是违背道理的论断. 这是逻辑学的名词，指的是一种理论系统中出现的逻辑矛盾. 细言之，就是一个命题B，如果承认B，可推得¬B(非B); 反之，如果承认¬B，又可推得B，称命题B为一悖论. 它与谬论不同，谬论是在相应的理论体系下可以指出其错误在哪里，而悖论尽管是自相矛盾，但在它所在的理论体系中不能阐明其错误的原因. 悖论有三种形式:

(1)一种论断看起来好像是错了，但实际上却是对的(佯谬).

(2) 一种论断看起来好像是对的，但实际上却错了(诡辩)

(3) 一系列推论看起来无懈可击，却导致逻辑上的自相矛盾.

悖论的历史很长，早在古希腊和我国先秦时期已经出现，也不只存在于数学中. 在数学发展的漫长岁月中，曾被历代数学家和哲学家不同程度地思考过. 它的存在反映了人的认识在一定历史条件下的局限性和相对性. 真正作为数学和逻辑学家认真研究的重要课题，乃是20世纪以来的事情. 数学家对悖论的研究和解决，于数学发展有着重要的积极意义. 它不单是给数学带来麻烦和危机，也给数学带来新的生机和希望.

数学史上出现的悖论很多，其最典型例子有三个.

(1) 毕达哥拉斯悖论. 毕达哥拉斯学派的成员发现了“不可公度的线段”(即长度不能用有理数表示的线段)，与毕达哥拉斯所信奉的“万物皆依赖于整数”相违背，被认为是“逻辑上的丑闻”，因而爆发了第一次数学危机，直到公元前370年才基本上得到克服. 我国数理逻辑家莫绍揆指出，“说它是数学的第一次危机，绝不是言过其词，而是非常恰当的”. (引自英绍揆《数学三次危机与数理逻辑》，载《自然杂志》1980年第6期)

(3) 集合论悖论. 19世纪，极限理论和实数理论的建立，使数学分析的基础得以巩固. 同时，作为分析严格化的最高成就——集合论这个现代数学的基础也建立起来了，被越来越多的数学家所接受和应用. 法国数学家庞加莱在1900年巴黎国际数学家大会上宣称: “现在我们可以说，完全严格化已经达到了.”然而，就在第二年，英国数学家罗素(B.Russell，1872—1970)就以一个简单的集合论悖论，冲淡了数学界的喜悦，引起了关于数学基础的新的争论.

罗素的悖论是: 以M表示是其自身成员的集合(如一切概念的集合仍是一个概念)的集合，N表示不是其自身成员(如以自然数为元素作成的集合不是自然数了)的集合，试问集合N是否为它自身的成员? 如果N是它自身的成员，则N属于M而不属于N，也就是N不是它自身的成员; 另一方面，如果N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M. 也就是说N是它自身的成员.无论出现哪一种情况，都导致矛盾.

1919年，罗素又给出了上述悖论的通俗形式——“理发师悖论”: 某乡村理发师声称，他给所有不给自己理发的人理发，并且只给村里这样的人理发. 试问，理发师是否自己理发?如果他给自己理发，他就不符合自己的承诺; 如果他不给自己理发，他就应该给自己理发. 于是得出了自己理发完全等价于不应该给自己理发. 这显然矛盾. 罗素悖论所得出的矛盾是多么简单明了，从而使集合论的基础地位发生了动摇，数学界陷于一片危机之中.从而爆发了第三次数学危机.

下面再举几例:

Ⅰ. 最大序数与最大基数(悖论)

其实，在罗素之前，康托尔和意大利数学家布拉里-福蒂(C.Burali-Forti)曾提出过相同的悖论，即所谓最大基数(序数)悖论.

布拉里-福蒂悖论 康托尔认为集合S应为良序集，每一良序集必有一序数. 小于并包含某已知序数a的所有序数组成的集合为良序集合，其序数为a+1. 设ω为一切序数所组成的集合，可以证明，ω是良序集合，从而有一个序数Ω，但因为ω是一切序数所组成的，故Ω应包含中ω中. 由序数理论，ω的序数应为Ω+1，即Ω不是ω的序数. 矛盾! 此称最大序数悖论.

康托尔悖论(最大基数悖论) 设集合S是由所有集合组成(即S是所有集合的集合)，P(S)是S的幂集. 它们的基数分别是|S|、|P(S)|，现在问|S|＞|P(S)|，还是|S|＜|P(S)|?

一方面，由集合论中的康托尔定理有|S|＜|P(S)|. 另一方面，由于S 是所有集合的集合，是集合中最大者，所以有S⊃P(S)，于是|S|＞|P(S)|. 亦即|S|＞|P(S)|与|S|＜|P(S)|同时成立，导致矛盾.

Ⅱ. 理查德悖论

理查德(J.Richard)悖论 1905年理查德提出，任何一个自然数的性质都可以用有限长的语句来描述，把各种性质编号记成a1，a2，…，an，由于编号用的数也是自然数，因此又可考虑编号数本身是否具有它所代表的性质. 这里有两种情况: 一是编号数本身恰好具有代所代表的性质(例如，关于素数的定义编在第a7号而7是个素数)，这样的数称为“非理查德数”; 另一种是编号本身并不具有它所代表的性质(如关于厅数编号是a14，14与a14的性质不符)，这样的数称为“理查德数”，它可定义为“与所代表的性质不相符合的自然数”. 理查德数也是自然数的一种性质.一数为“理查德数”，当且仅当它不是“理查德数”，矛盾! 这是悖论产生的语义学原因.

Ⅲ. 阿洛悖论

阿洛(Arrow)选举悖论: 设S={a，b，c，…}是候选人集合J={1，2，3，…}是选民集合，S，J都为有限集合，设j∈J的投票排序为p(j). 如果S={a，b，c}. J={1，2，3}，投票结果如下:

p(1) =abc，p(2) =bca，p(3) =cab.

根据信息，a知道多数人喜欢他，b也知道得到多数人喜欢，c也认为可以胜出，究竟谁可以胜出仍然不得而知.

为了投票排序公平合理，阿洛于1951年提出4条评优公理:

公理1 ∀x，y∈s，存在一种投票方式，使得x优于y:

公理2 若进行两次投票，第一次已判x优于y，第二次投票结果，在所有的p(j)中，x的序号未增大，其他候选人的次序不变，那么第二次应判x优于y.

公理3 S1⊂S，在两次投票中，每个选民对S1中的候选人顺序不变，那么两次判决中，S1中候选人的先后顺序不变.

公理4 对于任何一个候选人，x，y∈S，仅当p(k)中判x优于y，才能最后判x优于y，则k∉J.

阿洛证明，遵守上述4项大家都认同的公平合理的选举是不存在的. 即十全十美的民主选举原则上是不可能实现的. 1972年，阿洛由于对一般经济平衡理论和福利理论开创性的贡献与希克斯一起获得诺贝尔经济学奖.

Ⅳ. 秃头悖论与模糊数

年青人满头秀发，没有人说他是“秃头”，当他的头发脱落一根，不以为然. 于是这个年青人结论说: 一个人不是秃子，减少一根头发肯定不是秃子，即使头发一根根脱下去，仍不是秃子;头发显然有限，减少有限次也不能算秃子，照这样推下去，当他头上一根头发也没有时，他还坚持“不是秃子”. 这是“秃头悖论”.

1965年，美国加里福尼亚大学控制论专家L·A·札德发表论文《模糊集合》，开辟了研究类似人是否秃头这类模糊事物的数学分支.

由于模糊数学在人工智能和专家系统等方面的广泛应用，发展十分迅猛，现在出现模糊拓扑、模糊辟论、模糊测度与积分、模糊图论等各种模糊数学分支. 可预期，随着信息与计算科学的发展，模糊数学将得更大的发展.

自罗素提出其悖论之后，许多数学家为摆脱这一危机而工作. 途径之一，是将整个集合论抛弃，把数学建立在别的理论基础上; 途径之二，是对康托尔集合理论加以改造，引进新理论体系，消除悖论. 通过探索，人们选择了第二条道路.

在消除悖论，引进新的理论体系方面，德国数学家策梅罗(E.F.F.Zermelo，1871—1953)贡献最大，也通过建立公理体系消除矛盾.

康托尔扑素集合论有一个重要原则(造集方法)——概括原则: 对于任意给出的性质P(·)，必定存在集合S，它的元素恰好就是具有该性质P(·)的那些对象，即S={x|P(x)}. 人们发现，由概括原则，“一切非本身集的集”是一个集合，又能推出划分公理[1]. 由划分公理可证得“一切非本身集的集“不是一个集合，所以概括原则本身是自相矛盾的.

策梅罗于1908年提出了7条公理(称为Z系统)，弗兰克尔(Fraenkel)加进了一个代换公理，以后又加进选择公理，最后形成ZFC系统.

ZFC系统的公理共9条:

(1)处延公理: 若两个集合含有相同的元素，则它们相等，即一个集合完全由它的元素所决定;

(2)空集存在公理: 存在着一个不含任何元素的集合∅，根据外延公理，∅是唯一的.

(3)配对公理: 任给两个集合X，Y存在着仅含X，Y为元素的集合Z. 如设X={1，2}，Y={3，4}，则Z={{1，2}，{3，4}}. (注意: Z≠{1，2，3，4}!)

(4)并集公理: 设A是一个集合族，则存在着集合S使得X是S的元素，当且仅当X是族A中某一个集合X的元素. 换言之，对任意给定的集合族A，可以把A中元素X(X也是集合)里的元素汇集一起，组成新的集合S，例如A={X，Y}时S=X∪Y.

(5)幂集公理 对于任意集合A，都对应另一个集合，该集合的元素包含逐步形成仅包含A的所有子集，称为A的幂集，记为P(A).

(6)无穷公理 存在着集合族A，满足

①∅∈A;

②对于任意的集合X∈A，存在集合Y∈A，使得集合Y恰含集合X中所有元素及集合X自身. 换言之，存在一个集合A，它含有无穷多个元素.

(7)代换公理: 若对于任意的X恰好存在唯一的Y，使得公式φ(x，y)成立，则对于任意的集合A，存在集合B，它恰含元素Y使得某个X∈A，公式φ(X，Y)成立. 即由公式φ(X，Y)所定义的有序对的类，其定义域饱含在A中时，则它的值域可以限制在B中.

若φ中只含一个变元，即若为φ(X): 对于任意集合A，存在着集合B恰含集合A中满足公式φ(X)的元素.

(8)正则公理: 任意非空集合必有一个ε极小元，就是说，对于任意非空集合X≠φ，则必有一个集合Y，Y∈X，而任何集合Z∈Y，则Z∉X. 这个公理是冯·诺伊曼引进的.

正则公理表明一集合的元素具有某种最小性质. 集合和它的元素具有层次关系. 因此这一公理也叫做基础公理或限制公理.

(9)选择公理: 对于任意两两互不相交的非空集合族A，存在一个集合B，它与A中的每一个集合恰有一个公共元素.

ZFC公理系统是不断修正与补充而形成的，公理1与公理8是对集合的具体描述; 公理2～公理7，都是对概括原则的某种限制; 替换公理是独立于其他公理的，选择公理是涉及“存在性”的公理，但没有给出构造性方法. 现在已经发现，数学的各个领域中有许多重要定理与选择公理是等价的. 除ZFC系统外，比较有名还有一个系统是GBN(哥德尔-贝纳-诺伊曼)系统. 有兴趣的读者可参阅公理集合论有关的资料.

ZFC系统最终建立起来了，使集合概念大为改观，它赶走了“狼”(悖论)，但是否全部赶走了呢? 由于这个系统无矛盾性的证明至今尚未解决，人们心中仍存忧虑，因为“为了防备狼，羊群用篱笆围起来了，但却不知道圈内还有没有狼”. 但是，ZFC系统一直到现在，尚未发现任何矛盾. 这又是令人满意的.

数学中的悖论是形形色色的. 产生的基本原因有二: 一是主观认识的局限性或错误造成的，毕达哥拉斯悖论就是例子; 二是前提并没有明显错误(也可能语义不清)，经过严格的逻辑分析之后，往往得出两个矛盾的结论，这是出在语义或逻辑上.

总的原因是除了主观认识上的形而上学之外，对象的明确、概念的清晰难以达到客观现实的辩证度. 悖论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都源于对无限的认识. 自古以来，哲学家和数学家大都持两种无限观点: 即潜无限(即进程式无限，把无限看作一个永无终止的过程)和实无限(一种实际存在或产生的对象). 恩格斯在《反杜林论》中认为: “无限是一个矛盾，而且充满了种种矛盾. 无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样. ”可认为是实无限观点，而把潜无限也表达于其中. 在经典意义下就是承认如下两个命题同时成立.

对于自然数集N

命题A N中任何自然数都是有限序数;

命题B N中所含自然数的个数为无穷多.

因为命题B，肯定了N是已完成的潜无限，命题A又断言N的一切元素皆为有限序数. 而任何有限序数都是潜无限延伸所能达到的，这就等于将N的一切元素又纳入变化过程这中. 而如上述，既然区分了两种无限，又通过命题A与命题B予以混淆，就是恩格斯所说的矛盾. 也表明有限同无限不是绝对的对立. 徐利治教授认为: “任何无限过程乃是实无限与潜无限的对立统一体，两种无限概念只不过是对同一无限性对象的两个侧面的模写与反映”……数学上每一个无限过程，本质上是双相无限. 无限的“双相性”，揭示了两种无限的辩证统一. 命题A与命题B是恩格斯有限生成无限思想的简单数学模型，是辩证无穷观的数学化. 因为自然数序列的无穷进展，不仅有量的增加(量变)，同时有质的飞跃. 在飞跃阶段，尽管序列成员(自然数)仍为有限数，但有限数的增长经过飞跃就否定了自身的有限性，达到无限. 在飞跃阶段不仅要承认“非此即彼”，也要承认“亦此亦彼”. 这是我们从数学悖论得到的第一个有量的启示.

在康托尔悖论、罗素悖论、布拉里-福蒂悖论中都肯定了对象的过程性，又都包含了关于对象(集合)的绝对完成性的肯定.尽管是合理的，但对于对象的绝对肯定，和数学受形式逻辑方法的限制，在主观思维上尽力将它们机械地联系起来，客观实在的辩证性在认识过程中受到扭曲，对立统一环节被破坏致使数学(论证)对客观对象实行了不可分离，最终导致悖论. 简言之，集合既是一个完成了的对象，又具有无限扩张的可能性(即集合既是实在的，又是潜在的). 而在人的认识过程中，常常强调完成性而忽视过程性或者相反，使客观现实的辩证性与主观思维的形而上学性无法统一. 这种现象在学习者中往往普遍存在. 如何全面的考虑问题、分析问题、发展思维能力，这是我们共同的重要任务，这也是数学悖论对我们的又一启示.

由于人的认识是在实践中逐步提高的，不可能一次完成. 因此，产生悖论是不可避免的. 试图一劳永逸地消除数学中的悖论，是不可能的. 从数学史上三次危机，可以看出，从产生悖论到消除悖论，人们克服了认识过程中的局限性，所以解决悖论的过程，无疑是发展人的认识即发展数学，以克服历史局限性的过程. 就数学发展而言，悖论作为一种特殊的反常总是是创立新的科学理论的重要契机和力量. 20世纪关于数学基础的三大学派争论十分激烈，进而使现代数理逻辑——公理集合、证明论、模型论和递归论等新学科应运而生. 希尔伯特第十个问题的否定，是20世纪重大的数学成果之一. 要想做到超越，首先要打好基础，做好理论准备; 要发现数学必须要有科学的洞察力、高级的理论思维和直觉的品格. 发现悖论也是如此.“有准备的头脑”无疑是极为有益的，这也是对我们的启示.

悖论是一种特殊的逻辑矛盾，也是一种重要的证伪手段，一个问题(或理论)出现了逻辑矛盾，说明该问题或该理论出现了危机，也意味着变革. 而悖论的解决显然与原来思路不同，也不能走肯定一方面而否定另一方面的道路，只能通过改变某些要领的方法来达到目的. 我们从如上关于悖论的简单叙述和消除悖论的工作可以看出，用要领方法论逐渐取代推理方法论来解决数学发展中的困难，是个精明的选择. 做到既不抛弃旧知，也创造了新识. 因此，关于悖论科学方法论的学习和研究就成了领悟数学的重要课题和方向.

在数学史上，产生悖论是一个客观的事实，除了主观认识上的形而上学以外，还由于数学是在形式逻辑范围内进行探讨的，要求对象的明确和概念的无岐义性，在研究的过程中难以达到客观现实的辩证性与主观思维一致性. 产生悖论是不可避免的.

数学中产生悖论并不可怕，解决悖论的过程就是发展人的认识以克服历史局限的过程，例如在克服集合论悖论的过程中，产生了类型论、多值逻辑、证明论、模型论等新的分支，促进了数理逻辑的发展.

[1] 划分公理: 设C是任一集合，R(θ)是与L的变元θ有关的一句话，则L中一切能使R(θ)为真话的元素可组成一集合LR(θ)，LR(θ)⊂L.