时间数列分析

5．4．1 时间数列长期趋势分析

1）长期趋势分析的意义

长期趋势是指社会经济现象在较长时期内发展变化的基本态势。 我国自改革开放以来，国民生产总值、人均粮食产量、人均纯收入等都呈现上升趋势。 随着生产力水平的不断提高，高新技术在生产中的运用，产品的单位成本、原材料消耗呈现下降趋势。 这些长期趋势，有的是直线增长趋势，有的是曲线增长趋势。 对长期趋势进行分析，就是使用统计特有的方法，消除现象在长期发展变化中所受到的偶然的、短期因素的影响，使原时间数列得到修匀，从而使现象表现出长期发展变化的态势。

长期趋势是影响时间数列变动的主要因素，分析、测定长期趋势是非常有意义的。 通过对长期趋势的研究，可以预测过去一段相当长的时间内现象持续增长或持续下降的趋势，从而掌握现象发展变化的规律；能够根据事物过去的发展趋势预测现象未来的情况；可以把长期趋势的影响从时间数列中分离开来，以便更好地研究其他因素。

2）长期趋势的测定方法

长期趋势的分析、测定是通过对时间数列进行修匀，测定时间数列变动的长期趋势，据以对现象的变动趋势进行预测。 常用的方法有三种。

（1）时距扩大法

时距扩大法是指通过扩大时间数列各项指标所属的时间，并将原时间数列的各项指标数值按新设定的时距加以合并，便形成时距扩大后的新时间数列资料，由此消除因时距短而使各指标值受偶然性因素影响所引起的波动，从而使经过修匀的时间数列能够显著地反映现象发展变动的总趋势。

例5．10 某家电制造厂1998年的工业产值资料如表5．9所示。

表5．9 某家电制造厂1998年的工业产值

从表5．9中可以看出，各月份的工业产值因受多种因素影响而呈上下起伏的发展状态，没有反映出明显的递增或递减的变化趋势。 为此，我们采用时距扩大法，将时距由月扩大到季度，将每季度中的各月产值相加，即得各季度产值，如表5．10所示。

表5．10 某家电制造厂1998年的工业产值

表5．10反映的是时距扩大后的时间数列，该厂的工业产值呈逐季递增的发展趋势。

对时点数列资料而言，由于时点数列各项数值不具可加性，因此，要根据时点数列资料采用时距扩大法来测定现象的长期趋势，就应该按照扩大后的时距计算相应的序时平均数，这样就会形成新的序时平均数数列，便可依此来分析现象发展的长期趋势。

（2）移动平均法

移动平均法是把原来时间数列的时距扩大，并采用逐项移动平均的方法计算扩大时距的序时平均数。 这样就可以得出一个由序时平均数构成的新的时间数列，这个新的时间数列就能消除数列中由于偶然因素所引起的不规则变动，以反映现象的总趋势。

用移动平均法对时间数列进行修匀，主要问题是确定移动平均的项数，即扩大后的时距长度，这将直接影响到对时间数列修匀程度的高低。 时距越长，包括的项数越多，偶然因素影响就越小，长期趋势越明显；反之，长期趋势就会因偶然因素的影响变得模糊不清。 移动平均可以按奇数项平均，也可按偶数项平均。 按奇数项平均后所得的序时平均数放在与奇数项中间一项平行的位置上；按偶数项平均需要进行两次平均，即在第一次移动平均的基础上，再进行一次两项移动平均。

例5．11 我国1985—1999年政策性补贴支出中粮棉油价格补贴资料如表5．11所示，用移动平均法进行修匀。

表5．11 政策性补贴支出中粮棉油价格补贴资料统计表 单位：亿元

从表5．11可以看出，原时间数列中粮棉油价格补贴时高时低，但经过3年移动平均、5年移动平均，特别是7年移动平均之后，粮棉油价格补贴逐年增多的趋势明显地表现出来。

分析现象发展趋势的一个重要目的，是对现象的发展作出科学的预测。按移动平均法修匀后的趋势值首尾损失若干项，因此不便于直接根据修匀后的数列进行预测，表明这还不是确定长期趋势的理想方法。

（3）最小平方法

最小平方法又叫最小二乘法，是分析长期趋势最常用的方法。 其实质是通过数学模型，配合一条较为理想的趋势线。 这条趋势线必须满足两个条件：一是原数列观察值与趋势值的离差之和为零；二是原数列观察值与趋势值的离差平方和为最小。 用公式表示为：

最小平方法既可以对社会经济现象的发展趋势配合直线，也可配合曲线。 具体要根据被研究现象发展变化的情况和原数列反映出来的现象变动特点来确定。 下面介绍用最小二乘法配合趋势直线的过程。

设趋势直线方程为：

a——直线在y轴上的截距；

x——时间序号，可以是年、月、日，也可以重新设定。

解方程组得：

对时间数列来说，x代表时间序号，可对x另行赋值，且令∑x＝0，这样上述求解a和b的公式可以简化为：

例5．12 某地区2005—2013年社会商品零售额资料如表5．12所示，现用最小平方法配合趋势直线方程，并预测2014年的社会商品零售额。

设趋势直线方程为：

根据求解参数a，b的简化公式可得：

则趋势直线方程为：

预测2014年该地区社会商品零售额：

表5．12 某地区社会商品零售额最小平方法计算表

5．4．2 季节变动分析

1）季节变动及其意义

（1）季节变动的概念

季节变动是指某些现象由于受自然因素和社会条件的影响，在一年之内，随着季节更换而有规律性的变动。

在现实生活中，季节变动是一种极为普遍的现象。 例如，商业经营中时令商品的销售量，农业生产中的蔬菜、水果、禽蛋的生产量，工业生产中的制糖、禽蛋加工、水力发电等，都受生产条件和气候变化的影响而形成有规则的周期性的重复变动。 季节变动具有三个特征：一是季节变动按一定的周期进行，是一种有规律性的变动；二是季节变动每年重复进行；三是每个周期变化强度大体相同。 季节变动是各种周期性变动中的重要一种，分析季节变动的原理和方法，是分析其他周期性变动的基础。

（2）分析季节变动的意义

分析季节变动的主要目的是为了取其利避其害。 归纳起来，其意义如下：

①分析季节变动，掌握季节变动的规律，有利于指导当前的社会生产和各种经济活动。 季节变动有时会给社会生产、人们的健康和群众的生活带来不良影响，而研究季节变动就可以认识它，从而克服、控制由于季节变动带来的消极作用，掌握其变动规律，以便更好地采取措施组织生产、预防疾病，安排好人民的经济生活。 例如，在工农业生产中，由于季节变动可能影响劳动力和固定资产的利用，统计研究中掌握季节变动的规律，就可以更加合理地调配劳动力，适当安排设备的维修与保养。 商业部门可以根据季节变动规律合理利用流动资金，适当地组织货源，保证市场供给。 卫生部门可以根据季节变动规律，采取预防措施，减少某些疾病的发病率，提高人民的健康水平。

②分析季节变动，就可以根据季节变动规律配合适当的季节模型，结合长期趋势进行经济预测，规划未来的行动。

③分析季节变动，有利于消除季节变动对时间数列的影响，更好地研究长期趋势或循环波动。

季节变动预测一般是根据数年的时间数列资料，采用测定季节变动的各种特有方法，揭示客观事物季节变动的方向和程度，据以进行科学的预测，以便正确地指导生产、组织货源、安排市场供应，以满足社会经济发展的需要。

2）季节变动的测定方法

（1）按月（或季）平均季节指数法

如果时间数列不含长期趋势，即不受长期趋势因素的影响，而仅受季节变动因素的影响，对这样的时间数列进行季节变动测定所采用的方法称为季节指数法。 季节指数法运算的一般步骤是：

①搜集历年各月（季）的资料。 一般要有3年以上的时间数列资料，才能比较明显地表现出季节变动的规律。

②计算数年内同月（或同季）的平均数。

③计算总的月（或季）的平均数。

④计算各月（或各季）的季节指数，即：

⑤预测。 根据季节指数和已知某年一个月或几个月的实际值，就可以采用比率法预测该年其他各月或各季的数值。

例5．13 某地区2009—2013年某商品各季度销售量资料如表5．13所示，又知2014年第一、第二季度的销售量分别为178万件和242万件。 试计算该商品销售量的季节指数，并预测2014年第三季度的商品销售量。

表5．13 某地区2009—2013年某商品销售量季节指数计算表 单位：万件

第一步 计算5年间同季平均销售量。 如：

一季度平均销售量＝（77＋113＋148＋160＋172）/5万件＝134万件

第二步 计算5年间总的季平均销售量。

总的季平均销售量＝4195/20万件＝210万件

第三步 计算各季度的季节指数。 如：

一季度的季节指数＝134/210＝63．8％

第四步 调整季节指数。

调整系数＝400/399．5＝1．00125

调整后一季度的季节指数＝63．8％×1．00125＝63．9％

第五步 根据季节指数进行预测。

从计算表中可以看出，季节指数形成了一个时间数列，从数列中看出该商品销售量在一年中的变化规律，第三季度为销售旺季。

月（季）平均季节指数法的优点是计算简便，容易理解。 但是，在事物发展过程中，特别是在年数较多的情况下，除了季节变动之外，还包含着长期趋势等因素在内，而月（季）平均季节指数法并未考虑这些因素对季节变动的影响，要解决这一问题，就需要用另一种方法——趋势剔除法。

（2）长期趋势剔除法

长期趋势剔除法是先剔除时间数列中的长期趋势，然后再进行季节变动的测定。 具体方法如下：

①用表列出3年以上分月（季）资料。

⑤把各月（季）的季节指数加起来，其合计应等于1200％（若是季度资料其合计应等于400％），如果不符，还应把1200％与实际加总的各月季节指数相比求出校正系数，将校正系数分别乘上各月的季节指数，随即可得出剔除了长期趋势后的季节指数。

例5．14 现以某商店某商品的销售量资料为例，说明其计算方法。 如表5．14、表5．15所示。

表5．14 某商店某商品销售量的季节变动表 单位：百件

将表5．14中各月季节指数相加，得1193．58％小于1200％，须用1200％/1193．58％＝100．54％作为校正系数，分别乘上各月的季节指数，即得剔除长期趋势影响后的季节指数（如表5．15最后一栏）。

表5．15 某商店某商品销售量的季节指数计算表（％）

计算结果表明，该地某商店销售存在明显季节性变动。 每年从9月份进入销售旺季，一直持续到次年3月，从4月起迅速回落，一直到8月都是销售淡季。