抽样估计的方法

抽样估计的基本方法有两种：点估计和区间估计。 点估计是直接用样本平均数估计总体平均数，用样本成数估计总体成数。 这种估计方法简单，但估计结果没有可靠保证，也即是没有估计的把握程度。

区间估计就是在一定的把握程度下，根据样本指标估计总体指标的可能范围的一种估计方法。 包括对总体平均数的估计和对总体成数的估计。

对总体平均数估计的区间范围：

x－Δx≤X≤x＋Δx（7．15）

若对总量XN进行估计，其区间表示为：

（x－Δx）N≤XN≤（x＋Δx）N （7．16）

对总体成数估计的区间范围：

p－Δp≤P≤p＋Δp（7．17）

若对总量PN进行估计，其区间表示为：

（p－Δp）N≤PN≤（p＋Δp）N （7．18）

归纳起来，区间估计要明确三点：

①估计只是一个可能的范围（如：Δx＝tμx）；

②区间估计是根据样本指标和允许误差推断的总体指标的可能范围（如：x－Δx≤X≤x＋Δx）；

③扩大允许误差范围（降低准确性）可以提高估计的把握程度（可靠性），缩小允许误差范围（提高准确性）则会降低估计的把握程度。

例7．8 某高职学院有3500名学生，按简单随机不重复抽样，抽出32名学生进行月生活消费支出调查，资料如下：

表7．6

要求：以68．27％的可靠性保证，推断全校学生月平均生活消费支出的可能范围。 若把可靠性提高到95．45％，推断全校学生月平均生活消费支出的可能范围。

根据以上资料，要推断全校学生月平均生活消费支出的可能范围，就是对总体平均数进行区间估计，即

x－Δx≤X≤x＋Δx

在此需要知道x，Δx，即

Δx＝tμx，t可以根据可靠性F（t）＝68．27％，查表得t＝1。

由于σ2未知，可用s2代替

Δx＝tμx＝1×15．51元＝15．51元

由x－Δx≤X≤x＋Δx得

306．25－15．51≤X≤306．25＋15．51

即 290．74≤X≤321．76

结果说明，以68．27％可靠性保证，全校学生的月平均消费支出在290．74～321．76元。 估计区间为［290．74，321．76］。

若以95．45％的可靠性保证，即F（t）＝95．45％，查表得t＝2。

Δx＝tμx＝2×15．51元＝31．02元

由x－Δx≤X≤x＋Δx，得

306．25－30．02≤X≤306．25＋30．02

即 276．23≤X≤336．27

结果说明，若可靠性提高到95．45％，全校学生的月平均消费支出将为276．23～336．27元。 估计区间范围扩大到［276．23，336．27］，即可靠性提高了，准确程度降低了。

本例也可以对全校学生月消费总额进行区间估计。

若以95．45％的可靠性估计全校学生月消费总额（XN）的可能范围：

由（x－Δx）N≤XN≤（x＋Δx）N，得

（306．25－30．02） ×3500≤XN≤（306．25＋30．02） ×3500

即 966805≤XN≤1176945

以上说明，以95．45％的可靠性估计全校学生的月总消费支出的范围在966805～1176945元。

例7．9 以例7．8资料，若以95．45％的可靠性推断全部学生中生活消费支出在300元以下人数比重的区间范围及生活消费在300元以下学生人数的区间范围。

本题目就是要求估计全部学生消费支出是300元以下的成数（p－Δp≤P≤p＋Δp）和消费支出在300元以下总人数（（p－Δp）N≤PN≤（p＋Δp）N）的区间范围。

总体P未知可以用样本p代替。

Δp＝tμp＝2×8．16％＝16．32％

由 p－Δp≤P≤p＋Δp，得

68．75％－16．32％≤P≤68．75％＋16．32％

即 52．43％≤P≤85．07％

结果说明，以95．45％可靠性保证，全校学生生活消费支出在300元以下的人数比重为52．43％～85．07％。

生活消费支出在300元以下总人数（PN）可能范围：

由（p－Δp）N≤PN≤（p＋Δp）N，得

（68．75％－16．32％） ×3500≤PN≤（68．75％＋16．32％） ×3500

得 1835．05≤PN≤2977．45

以上说明，以95．45％可靠性保证，生活消费在300元以下学生人数在1835～2978人。

例7．10 服装设计师想知道推出的新款服装受到哪种年龄人群的喜爱，抽选了100名购买者进行调查，样本得到的平均年龄为26岁，标准差为10岁，要求估计误差范围不超过2岁。 以多大的可靠性保证，总体喜欢此款服装的平均年龄的区间范围。

已知：n＝100 x＝26 s＝10 Δx＝2

由 x－Δx≤X≤x＋Δx，得

26－2≤X≤26＋2

25≤X≤27

以95．45％的可靠性保证，总体喜欢此款服装的平均年龄在25～27岁。

例7．11 对某广播电台的800名经常听众进行调查，发现有600名是青少年，要求允许误差范围不超过3％。 试以多大的概率保证全部听众中青少年听众所占比重的区间范围。

由 p－Δp≤P≤p－Δp，得

75％－3％≤P≤75％＋3％

72％≤P≤78％

以95％的概率保证，全部听众中青少年听众所占比重的区间范围为72％～78％。

例7．12 某厂家生产一种家电产品，广告声称某市有20％以上的家庭在使用这种产品。 抽样调查该市300个家庭，发现有69个家庭使用了这种产品。 试以95％的概率推算，是否能证实该厂家的说法。

Δx＝tμx＝1．96×2．43％＝4．67％

由p－Δp≤P≤p－Δp，得

23％－4．76％≤P≤23％＋4．76％

18．24％≤P≤27．76％

推断结果，以95％的可靠保证，不能证实该厂家声称有20％以上家庭在使用的说法。