【摘要】:考虑[-π,π)上的测度:对任意1>ρ>0,η>0,a>0,我们回忆引理2.1.3[23]设0<p≤1,0<r<1.若f在闭单位圆盘U上全纯,则证明:取单调递增序列rn→ρ,n=0,1,2,…
考虑[-π,π)上的测度:对任意1>ρ>0,η>0,a>0,
我们回忆
引理2.1.3[23]设0<p≤1,0<r<1.若f在闭单位圆盘U上全纯,则
证明:取单调递增序列rn→ρ,n=0,1,2,…及r0=r.由Cauchy积分公式易知
则
即
可得
结合 (2.10),有
令r-1=0,上式可重写为
再由Mp(r,f)的单增性,我们可得
和
故有
M1(r,f)≤Cp(ρ-r)1-1/pMp(ρ,f).
引理2.1.4 对任意1>η≥0,k-1∈N和f∈H(U),有
证明:对任ρ∈(0,1),我们有
(f(z)-Pk[f](z))′
其中
显然
其中
在引理2.1.3中取g(λ)=F(λ,z),结合不等式 (2.13),得到
f(z)-Pk[f](z))′η
注:尽管后面我们只是利用引理2.1.4中η=1的情况,得到其一般的情况还是有意义的.
引理2.1.5[1]若k,β∈N,则对任意β∈N,
而且存在一常数Cβ,使得
证明:回忆
由引理2.1.5得
注意到(1-ρ)η-1⋍k1-η,ρη(1-k)⋍1和
这就得到了所需结果.
引理2.1.7 若f∈Qp,δ>0,λ>0,r∈N,则
证明:对n利用归纳法,易得 (参见[2])
令n= [λ],其中[λ]表示小于等于λ的最大整数.由光滑模的单增性和(2.14),可得
ωr(λδ,f,Qp)≤ωr((n+1)δ,f,Qp)
≤(n+1)rωr(δ,f,Qp)
≤(λ+1)rωr(δ,f,Qp).
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